数值分析 第五版 李庆扬 第6章 解线性方程组的迭代法
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
数值分析--第6章 解线性方程组的迭代法
数值分析--第6章解线性方程组的迭代法第6章 解线性方程组的迭代法直接方法比较适用于中小型方程组。
对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。
迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。
故能有效地解一些高阶方程组。
1 迭代法概述迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。
由不同的计算规则得到不同的迭代法。
迭代法的一般格式(1)()(1)()(,,,),0,1,k k k k m kF k +--==x x x x式中(1)k +x 与()(1)(),,,k k k m --x x x 有关，称为多步迭代法。
若(1)k +x 只与()k x 有关，即(1)()(),0,1,k k kF k +==x x称为单步迭代法。
再设kF 是线性的，即(1)(),0,1,k kk kk +=+=x B x f式中n nk ⨯∈B R ，称为单步线性迭代法。
kB 称为迭代矩阵。
若k B 和kf 与k 无关，即(1)(),0,1,k k k +=+=x Bx f称为单步定常线性迭代法。
本章主要讨论具有这种形式的各种迭代方法。
1.1 向量序列和矩阵序列的极限由于nR 中的向量可与nR 的点建立——对应关系，由点列的收敛概念及向量范数的等价性，可得到向量序列的收敛概念。
定义6.1 设(){}k x 为n R 中的向量序列，nx R ∈，如果()lim 0k k x x →∞-=其中为向量范数，则称序列(){}k x 收敛于x ，记为()lim k k x x →∞=。
定理6.1 nR 中的向量序列(){}k x 收敛于nR 中的向量x 当且仅当()lim (1,2,,)k i i k x x i n →∞==其中()()()()1212(,,,),(,,,)k k k k T Tnnx x x x x x x x ==。
(精校版)迭代法解线性方程组数值分析实验报告
(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告的全部内容。
数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组专业：信息与计算科学学号: 1309302—24姓名：谭孜指导教师：郭兵成绩:二零一六年六月二十日一、前言：(目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤.②了解雅可比迭代法，高斯—赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2。
实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
比较雅可比迭代法，高斯—赛德尔迭代方法和松弛法,举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较.二、数学原理：设有方程组b Ax = …① 将其转化为等价的,便于迭代的形式f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。
对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x x k k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1。
雅可比迭代法基本原理设有方程组),,3,2,1(1n i b x a j j nj ij ==∑= …①矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠从式①中第i 个方程中解出x,得其等价形式)(111j nj j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x x =，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(111)()1(∑≠=++-=nj j i k j ij ii k ib x a a x…③ 也可记为矩阵形式：J x J k F B x k +==)()1( …④ 若将系数矩阵A 分解为A=D —L-U ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=--00000000000000111211212211212222111211n n n nn n nn nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a U L D A式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a D2211,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000121323121nn n n a a a a a a L ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000122311312n n n n a a a a a a U 。
数值分析第六章线性方程组迭代解法
1)
b2 a21x1(k) a23x3(k)
xn( k
1)
bn an1x1(k) an2 x2(k)
a1n
x(k) n
a11
a2n xn(k) a22
an,n1
x(k) n1
ann
x(k1) D1(L U ) x(k) D1b
D1(D A) x(k) D1b
(I D1A) x(k) D1b x(k) D1(b Ax(k) )
x(7) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T 如何确定 SOR 迭代中的最优松弛因子是一件很困难的事
26
收敛性
收敛性定理 Jacobi 迭代收敛的充要条件 (J)<1 G-S 迭代收敛的充要条件 (G)<1 SOR 迭代收敛的充要条件 (L)<1
Jacobi 迭代收敛的充分条件 ||J|| <1 G-S 迭代收敛的充分条件 ||G|| < 1 SOR 迭代收敛的充分条件 ||L|| < 1
x1( k x2( k
1) 1)
1
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
x(k) 3
3
x3(k1)
5
x ( k 1) 2
2
迭代可得： x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
25
举例
SOR 迭代：
x(k1) i
bi
i 1
a x(k1) ij j
n
aij
x(jk
)
aii
j 1
j i 1
李庆扬-数值分析第五版第6章习题答案(20130819)
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。 雅可比迭代的收敛条件是
( J ) ( D 1 ( L U )) 1
高斯赛德尔迭代法收敛条件是
(G ) (( D L) 1U ) 1
因此只需要求响应的谱半径即可。 本题仅解 a)，b）的解法类似。 解：
3.设线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a11 , a12 0 a21 x1 a22 x2 b2
证明解此方程的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散， 并求两种方 法收敛速度之比。 解：
a A 11 a21
则
a12 a22
5. 何谓矩阵 A 严格对角占优？何谓 A 不可约？ P190， 如果 A 的元素满足
aij aij ，i=1,2,3….
j 1 j i
n
称 A 为严格对角占优。 P190 设 A (aij )nn (n 2) ，如果存在置换矩阵 P 使得
A PT AP 11 0
x ( k 1) x ( k )
10 4 时迭代终止。
2 1 5 （a）由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯 2 3 10
赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 x1 4, x 2 3, x3 2 ] （b）使用雅可比迭代法：
2．给出迭代法 x ( k 1) Bx (k ) f 收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。 迭代矩阵收敛的条件是谱半径 ( B0 ) 1 。其误差估计为
1 k
(k) Bk (0)
R ( B) ln B k 迭代法的平均收敛速度为 k
解线性方程组的迭代法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
写成
n
aij x j bi
j 1
i 1,2,, n
例题
若 aii 0 (i 1,2,, n) ,分离出变量 xi
xi
1 aii
(bi
n
aij x j )
j 1
ji
i 1,2,, n
迭代法旳基本思想
2 迭代法旳基本思想
迭代法旳基本思想是将线性方程组转化为便于 迭代旳等价方程组，对任选一组初始值 xi(0) (i 1,2,, n) ，按某种计算规则，不断地对所得到旳值进行修正 ，最终取得满足精度要求旳方程组旳近似解。
设 A Rnn 非奇异，b R n，则线性方程组 Ax b
定理1 迭代公式 x(k1) Gx(k) d (k 0,1,) 收敛 旳充分必要条件是迭代矩阵G旳谱半径 (G) 1 。
迭代法旳收敛性
由此定理可知，不论是雅可比迭代法、高斯—塞德 尔迭代法还是简朴迭代法，它们收敛旳充要条件是 其迭代矩阵旳谱半径(G) 1 。
实际上, 在例1中, 迭代矩阵G=
据此建立迭代公式
x (k1) i
1 aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
j 1
ji
i 1,2,n
上式称为解方程组旳Jacobi迭代公式。
13
雅可比（Jacobi）迭代法
2. 雅可比迭代法旳矩阵表达
设方程组 Ax b 旳系数矩阵A非奇异，且主对
角元素 aii 0(i 1,2,, n) ，则可将A分裂成
在例2中,由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为
数值分析线性方程组的迭代解法
数值分析课程实验报告实验名称 线性方程组的迭代解法Ax b =的系数矩阵对角线元素容许误差。
雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组的算法描述如下：任取初始向量(0)(0)1(xx =1+，并且 1,2,...,n ，计算 11(ni j ii j ib a a =≠-∑()k x ，结束；否则执行④，则不收敛，终止程序；否则转② 迭代法的算法描述）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。
基于这种设想构造的迭代公式,n ，k = （2）算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到(Gauss-Seidel)迭代得到的值进一()()()1((1k i ii k k i i x b a x x ωω==+-1,2,,n ，2,k =（3）为松弛因子（显然当1ω=塞德尔迭代公式） ()k ix 通常优于旧值(1)k ix -，在将两者加工成松弛值时，自然要求松弛因子1ω>，以尽量发挥新值的优势，这类迭代就称为逐次超松弛迭代法。
SOR 迭代的关键在于选取合适的松弛因子，松弛因子的取值对收敛速度影响很大，但如何选取最佳松弛因子的问题，至今仍未有效解决，在实际计算时，通常依据系数矩阵的特点，并结合以往的经验选取合适的松弛因子。
练习与思考题分析解答(0)(1,1,1,1)x =[ -0.999976, -0.999976, -0.999976, -0.999976]x =[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =塞德尔迭代算法的收敛速度要比雅可比迭代算法的收敛速度快SOR 迭代实质上是高斯原理和基本方法相同。
如果选择合适的松弛因子，它能够加快收敛速度。
SOR 迭代算法更加普通，当选取一个合适的松弛因子后收敛速度明显加快。
迭代算法将前一步的结果[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999993, -0.999994, -0.999995, -0.999995]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =因为为了保证迭代过程收敛，松弛因子1.3左右。
数值分析(李庆扬)第六章资料
（n1） B （n） g
若收敛
x x { （k）} * ，则
x* Bx* g
n 0，1，2，
即
(I B)x* g D1Ax* D1b
Ax* b
故如果序列收敛, 则收敛到解.B 称迭代矩阵.
例：用Jacobi迭代法求解 1x01x1 10xx2222xx337823 x1 x2 5x3 42
k
k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
(k 1) x(k 1) x
所以 lim x(k) x 等价于 lim (k) 0
k
k
由
x(k 1) Mx (k ) g
x Mx g
则可得
(k 1) M (k )
(k ) M (k 1) M k (0)
问题是在什么条件下
满足
x(k1) Bx(k) g (k 0,1, 2, )
此过程所给出的迭代法称为Jacobi迭代法，又称简单
迭代法。
Jacobid迭代的矩阵形式
0
B
b21
b12
0
b1n 1
b2n
0
0 1
0 1
0
b21
b 12 1
b1n b 2n
b b
n1
n2
0
0
0
1
, n).
0 b12 b13 若记 B b21 0 b23
bn1 bn2 bn3
b1n1 b1n
g1
b2n1
b2
n
g
g
2
bnn1 0
gn
则方程组可简记为 x Bx g
选初值向量x(0)代入 x(1) , x（1） Bx（0） g，代入x(1)
清华第五版数值分析第6章课件
即：
x x
( ( ( ( ( x1k 1) 1 ( a12 x2k ) a13 x3k ) a14 x4k ) a1n xnk ) b1 ) a11 ( ( ( ( ( x2k 1) 1 (a21 x1k 1) a23 x3k ) a24 x4k ) a2 n xnk ) b2 ) a22
( i 1, 2, , n)
或
i 1 n
x
( k 1) i
bi aij x
j 1
(k ) j
j i 1
a
ij
x
(k ) j
a ii
; i 1, 2, , n
雅可比迭代法的矩阵表示
将系数矩阵分裂为：A
D LU
其中 D diag(a11 , a22 , , ann )
G-S迭代算法描叙
1 输入 A, then, , M . 2 if , b, x0 1 x ( a x a 2.1k M for i 1, 2, 2.1.1s=0， , n 2.1.2 for t ( x0 )i
( k 1) i i 1 ii j 1 ij ( k 1) j
Jacobi迭代算法描述
1 输入 A, b, x0 , , M . n 2 if k M , then 1 xi( k 1) (bi aij x (jk ) ) xi( k ) . 2.1 for i 1, 2, , n aii j 1 2.1.1 s=0, 2.1.2 forj 1, 2, , n
过程建立Jacobi迭代公式，即
a
i 1
n
ij
x j bi , aii 0
数值分析第五版_李庆扬
数值分析第五版_李庆扬数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。
本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。
是应用数学的重要分支之一。
建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。
二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。
三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。
第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。
第6章 解线性代数方程组的迭代法 数值分析 第五版 教学课件
收l敛 iε ( m k ) 0 ： liB m k 0 .
k
k
要研 B 满 究 足什B 么 k 0条 k( 件 ) . 下
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取初x 始 (0)， 向量 x(k1)B(kx )f,k0,1, ,
(2.3)
其B 中 M 1NM 1(M A )IM 1A ,fM 1b.
2020/10/29
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一般地 A xb ， 变由 形得x 到 B等 xf.价的
设x * 有 则 , 解
Hale Waihona Puke x * B * x f(1
又设任x(0 取 ),则初 可值 构造迭代序
x(k1)B(k x)f
(1.
定1(义 1 对 ) 于x方 B 程 xf， 组 用 (1.6)公 逐式 步
0
1 1
4
(ai ,bi , ci都不为零 )，
1 0 2 1 2 3
1 2 3
C 2 1 2 0 1 2，D 3 2 1.
1 0 3 0 1 3
0 1 2
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证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，
则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征
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an1 an2 an,n1 ann
i 1 n i 1 n
|2020/|10/2|9a i|i ( )| | j 1 |a i|j j i 1 |a i| j j 1 |a i|j j i 1 |a i|.j
李庆杨数值分析第六章线性方程组的迭代法
y
n k=M? y 输出迭代 失败标志 输出 y1, y2,„ yn
§ 6.3 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法
§ 6.3.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想
在 Jacobi 迭代法中，每次迭代只用到前一次 的迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值
( k 1) ( k 1) k 1) , x2 ,, xi( ，即在求 xi( k 1) 时用新分量 x1 1
据此建立迭代公式 写成 aij x j bi
j 1 n
i 1,2,, n
n 1 1) (k ) x ( i 1 , 2 , , n ) 0 若 , 分离出变量 xi( ka ( b a x ) i 1 , 2 , i n ii i ij j aii j 1 j n i 1 xi (bi aij x j ) i 1,2,, n 上式称为解方程组的 Jacobi迭代公式。 aii j 1
第六章 解线性方程组的迭代法
我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题 ，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而 对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个 收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于 自动计算，而且较直接法更少的计算量就可 获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性 方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线 性方程组的重要方法之一。
x ( x x 1) / 8 ( k 1) ( k 1) (k ) (2 x1 x3 4) / 10 x2 ( k 1) ( k 1) ( k 1) x ( x x 3 ) / 5 3 1 2
( k 1) 1 (k ) 2 (k ) 3
如果
存在极限
x
(k )
x*
第六章解线性方程组的迭代法
a11
A
a22
0
-
a21
0
ann
an1
an2
D LU
x M 1Nx M 1b
这样，可构造迭代法：
0 a12
-
0
0
a1n
a2n
0
取x(0)为初始向量
x(k
1)
Bx(k )
f
(k 0,1,
)
其中：B M 1N M 1(M A) I M 1A, f M 1b, 称 B I M 1A
为迭代法的迭代矩阵，选取 M 阵，就得到解 Ax b 的各
种迭代法。
6.2 基本迭代法
设 aii 0(i 1, 2, , n) ，并将 A 写为三部分：
Jacobi迭代法的分量表示
记 x(k) (x1(k) , , xi(k) , , xn(k) )T 由Jacobi迭代公式可得：Dx(k1) (L U )x(k) b ，写成分量
i1
n
形式即为：aii xi(k1) aij x(jk)
aij
x(k) j
13 15
例：用迭代法求解线性方程组：
9x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3 8
x1 x2 15x3 13
记为：Ax b，其中：
9 1 1 x1 7
A
1
10
1 ,
x
x2
数值分析分章复习(第六章线性方程组迭代解法)
第六章 线性方程组迭代解法要点：（1）线性方程组迭代格式：Jacobi 迭代，G-S 迭代 （2）矩阵范数计算，矩阵谱半径计算（3）线性方程组迭代格式(1)()k k x Bx f +=+的收敛性判断（4）Jacobi 迭代，G-S 迭代收敛的判断 （5）线性方程组的性态 复习题：1、已知线性方程组为123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）写出Jacobi 迭代格式和Seidel 迭代格式； （2）写出Jacobi 迭代矩阵和Seidel 迭代矩阵； （3）判别这两种迭代法的收敛性。
解：(1) Jacobi 迭代格式： (1)()()123(1)()()213(1)()()312111222311122k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪=+-⎪⎩Gauss-Seidel 迭代格式：(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312111222311122k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪=+-⎪⎩（2）Jacobi 迭代矩阵：111022()10111022J B D L U -⎛⎫- ⎪ ⎪=+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭Gauss-Seidel 迭代矩阵：11102211()0221002GS B D L U -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ （3） 35||4J I B λλλ-=+，得J B的特征值为12,30, 2λλ==±()12J B ρ=>， 可见Jacobi 迭代格式不收敛另外， 21||()2GS I B λλλ-=+，得GS B 的特征值为12,310, 2λλ==-1()12GS B ρ=<， 可见Gauss-Seidel 迭代格式收敛2、设方程组1312123879897x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩试问，是否可以适当调整方程的排列顺序，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因解：可通过方程顺序交换，等价为以下方程组1231213979887x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩这样，系数矩阵911190108--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭为严格对角占优矩阵，对该方程组使用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代均收敛3、对方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡43132121x x ，验证Jacobi 迭代法的收敛性，若发散，则说明理由， 并调整方程顺序使得Jacobi 迭代收敛。
解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法设线性方程组为Ax b =其中，A 为n 阶非奇异矩阵，n x R ∈，n b R ∈，0b ≠。
当A 为低阶稠密矩阵，直接法是比较好的方法。
当A 为高阶稀疏矩阵，例如偏微分方程数值解所产生的方阵，这时采用迭代法比较合适了。
不过，这里所谓低阶与高阶并没有明显的分界，在高性能计算机面前，一万阶也不算高。
所谓稀疏矩阵，笼统地说，就是零元素占绝大多数的矩阵，反之就是稠密矩阵了。
1.迭代法的一般理论将Ax b =等价地改写为方程组x Gx f =+其实，就是将原方程组等价变形为不动点方程的格式，以便于进行不动点迭代。
任取初始向量(0)x ，作 (1)(0)x Gx f =+， (2)(1)x Gx f =+， ……(1)()k k x Gx f +=+，0,1,2,k =⋅⋅⋅G 称为迭代矩阵。
如果向量序列{}()k x 是收敛的，假设()*lim k k x x →∞=，或者()*lim 0k k x x →∞−=，则**x Gx f =+也就是说*x 是x Gx f =+的解，即Ax b =的解，而它与初始向量(0)x 的选取无关。
如何保证该向量序列收敛呢？ 设误差()()*k k x x ε=−，则(1)(1)*()*()*()()()k k k k k x x Gx f Gx f G x x G εε++=−=+−+=−=，0,1,2,k =⋅⋅⋅因此，()(1)2(2)3(3)(0)k k k k k G G G G εεεεε−−−====⋅⋅⋅=，0,1,2,k =⋅⋅⋅为了保证对任意初始向量(0)x ，{}()k ε收敛，必须且只须{}k G 收敛。
那么，如何保证{}k G 收敛，{}k G 若收敛，会收敛到哪里？这就需要如下一个引理。
引理1.设n n B C ×∈，则{}k B 收敛当且仅当()1B ρ<。
如果()1B ρ<，则lim 0k k B →∞=。
数值分析 第五版 李庆扬 第6章 解线性方程组的迭代法
( 2.6)
由(2.6)式可知，雅可比迭代法计算公式简单， 每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算 过程中原始矩阵A始终不变.
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6.2.2 高斯－赛德尔迭代法
在 Jacobi 迭代中，计算 xi(k+1)(2 i n)时，使用 xj(k+1)代替xj(k) (1 j i-1)，即有 建 立 迭 代 格 式
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于是，求解Ax=b转化为求解Mx=Nx+b ，即求解
Ax b 求解 x M 1 Nx M 1b.
可构造一阶定常迭代法
x ( 0 ) (初始向量)， ( k 1) (k ) x Bx f ( k 0,1, , ),
( 2.3)
其中 B=M-1N=M-1(M-A)=I-M-1A ， f=M-1b. 称 B=I-M-1A为迭代法的迭代矩阵，选取M矩阵，就得 到解Ax=b的各种迭代法. 设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
x ( k 1) ( D L) 1Ux ( k ) ( D L) 1 b
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下面给出雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式, 记
x
(k )
( x ,, x ,, x ) ,
(k ) 1 (k ) i (k ) T n
由雅可比迭代法(2.5)有
Dx( k 1) ( L U ) x ( k ) b,
每一个分量写出来为
aii xi( k 1) aij x (jk )
代入(1.3)式右边(若(1.3)式为等式即求得方程组的解， 但一般不满足)，得到新的值 x(1)=(x1(1), x2(1), x3(1))T =(3.5, 3, 3)T ，再将x(1)分量代入(1.3)式右边得到 x(2)， 反复利用这个计算程序，得到一向量序列和一般的计
(数值分析)第六章 解线性方程组的迭代法
华长生制作
1
定义1 设 中的向量序列，若有向 k n x 量 x R ，使 lim x x 0 ，则称 k lim x x 收敛于 x ，记为 k
x
k
是R
n
(k)
k
nn A R 定义2 设 是 中的矩阵序列，若有矩 n n lim A A 0 A A R 阵 ，使 ，则称 lim A A 收敛于A，记为
k 1 k x B x f
华长生制作
17
定理5.
设 方 程 x = B x + f 有 惟 一 解 x , 若 B 1 , 则 由
简 单 迭 代 法 产 生 的 向 量 序 列 x 满 足
x x
(k )
x x
B 1 B B
k
k
x( k ) x( k 1) x1 x 0
( 0 ) 取初始向量 x ,代入 ( 2 ), 可得
( 1 ) ( 0 ) x Bx f
依此类推
华长生制作 11
(2 ) ( 1 ) x Bx f
(k) x(k1) Bx f
--------(3)
( k 0 , 1 , 2 , )
这种方式就称为迭代法 ,以上过程称为迭代过程
k
k n l i m Ax 0 , x R 0 的 充要条件是
lim Ak 0.
k
R 定理 4 设矩阵 B ，则 k 的充分 m a x B B . 必要条件是 B 的谱半径 (B) 1 ，其中 i 1 i n
( n n )
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
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(0) (1) (k ) x1 x1 x1 ( 0 ) (1) (1) (k ) x 2 , x x 2 , , x ( k ) x 2 , (0) (1) (k ) x3 x3 x3
(2) 如果limx(k) (k→∞)存在(记为x*), 称此迭代法
收敛, 显然x*就是方程组的解, 否则称此迭代法发散.
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由上述讨论，需要研究{x(k)}的收敛性. 引进误 差向量
递推得
( k 1)
x
( k 1)
x ,
由(1.6)减去(1.5)式，得ε(k+1)=Bε(k)(k=0,1,2,)，
( k ) B ( k 1) B k ( 0 ) .
要考察{x(k)}的收敛性，就要研究B在什么条件下 有limε(k)=0 (k→∞)，亦即要研究B满足什么条件时有 Bk→0(零向量) (k→∞) .
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6.2 基本迭代法
设线性方程组 Ax=b， (2.1) 其中，A=(aij)∈Rn×n为非奇异矩阵，下面研究任何建 立Ax=b的各种迭代法. 将A分裂为 A=M-N. (2.2) 其中，M为可选择的非奇异矩阵，且使Mx=d容易求 解，一般选择A的某种近似，称M为分裂矩阵.
lim x ( k ) x
k
对于任何一个方程组x=Bx+f(由Ax=b变形得到的 等价方程组)，由迭代法产生的向量序列x(k)是否一定 逐步逼近方程组的解x*呢？回答是不一定. 请同学们 考虑用迭代法解下述方程组
x1 2 x2 5, x2 3 x1 5.
但 x(k)并不是 所有的都收 敛到解x*！
方程组的精确解是x*=(3,2,1)T. 现将改写为
上页
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1 3 x 2 2 x 3 20), x1 8 ( 1 x 3 33), x 2 ( 4 x1 11 1 36). x 3 12 ( 6 x1 3 x 2
或写为x=B0x+f，其中
(1.4)
简写为
x(k+1)=B0x(k) +f，
其中k表示迭代次数(k=0,1,2,). 迭代到第10次有
x
(10)
(3.000032, 1.999838, 0.999813) ;
T
(10)
0.000187 ( (10) x (10) x ).
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从此例看出，由迭代法产生的向量序列x(k)逐步 逼近方程组的精确解是x*=(3,2,1)T. 即有
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( k 1) (k ) (k ) x1 ( 3 x2 2 x3 20) / 8, ( k 1) (k ) (k ) x ( 4 x x 2 1 3 33) / 11, ( k 1) (k ) (k ) ( 6 x1 3 x2 36) / 12. x3
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即
A=D-L-U
a11 a 21 A a n1 0 a L 21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann 0
a11 D
a22
ann
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于是，求解Ax=b转化为求解Mx=Nx+b ，即求解
Ax b 求解 x M 1 Nx M 1b.
可构造一阶定常迭代法
x ( 0 ) (初始向量)， ( k 1) (k ) x Bx f ( k 0,1, , ),
( 2.3)
其中 B=M-1N=M-1(M-A)=I-M-1A ， f=M-1b. 称 B=I-M-1A为迭代法的迭代矩阵，选取M矩阵，就得 到解Ax=b的各种迭代法. 设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
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例1 求解方程组
8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1
记为Ax=b，其中
(1.2)
x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3
3 20 2 0 8 8 8 4 33 1 B0 11 0 , f 11 . 11 6 3 0 36 12 12 12
(1.3)
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我们任取初始值，例如取x(0)=(0, 0, 0)T. 将这些值
x ( 0 ) (初始向量)， ( k 1) (k ) x Bx f ( k 0,1, , ),
( 2.5)
其中B=I-D-1A=D-1(L+U)=J, f=D-1b. 称J为解Ax=b的 雅可比迭代法的迭代矩阵.
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于是雅可比迭代法可写为矩阵形式
x ( k 1 ) D 1 ( L U ) x ( k ) D 1 b
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或缩写为
i 1 n 1 ( k 1) ( k 1) (k ) xi ( aij x j aij x j bi ) (i 1,2,, n).uss — Seidel)迭代法.
于是高斯—塞德尔迭代法可写为矩阵形式
代入(1.3)式右边(若(1.3)式为等式即求得方程组的解， 但一般不满足)，得到新的值 x(1)=(x1(1), x2(1), x3(1))T =(3.5, 3, 3)T ，再将x(1)分量代入(1.3)式右边得到 x(2)， 反复利用这个计算程序，得到一向量序列和一般的计
算公式(迭代公式)
x (0)
其中 aii(i)0 (i=1,2,,n)
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建立的雅可比迭代格式为
( k 1) 1 (k) (k) (k) ( a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 ) x1 a11 x ( k 1) 1 ( a x ( k ) (k) (k) a x a x 2 21 1 23 3 2 n n b2 ) a22 x ( k 1) 1 ( a x ( k ) a (k) xn 1 bn ) n n 1 1 n n 1 ann
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下面给出雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式, 记
x
(k )
( x ,, x ,, x ) ,
(k ) 1 (k ) i (k ) T n
由雅可比迭代法(2.5)有
Dx( k 1) ( L U ) x ( k ) b,
每一个分量写出来为
aii xi( k 1) aij x (jk )
其Jacobi迭代矩阵为
0 a21 1 BJ D ( L U ) a22 an1 a nn
a12 a11 0 an 2 ann
a1n a11 a2 n a22 0
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于是，解Ax=b的雅可比迭代法的计算公式为
(0) (0) (0) T x ( x , , x 1 n ) , n ( k 1) (k ) (bi a ij x j ) / a ii , xi j 1 ji ( i 1,2, , n) ( k 0,1, 表示迭代次数).
( 2.6)
由(2.6)式可知，雅可比迭代法计算公式简单， 每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算 过程中原始矩阵A始终不变.
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6.2.2 高斯－赛德尔迭代法
在 Jacobi 迭代中，计算 xi(k+1)(2 i n)时，使用 xj(k+1)代替xj(k) (1 j i-1)，即有 建 立 迭 代 格 式
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即由方程组Ax=b得到的 等 价 方 程 组
1 a12 x2 a1n xn b1 ] x1 a [ 11 1 x2 [ a21 x1 a2 n xn b2 ] a22 1 [ an1 x1 an 2 x2 bn ] xn ann
( k 1) 1 (k) (k) (k) x ( a x a x a x b ) 1 12 2 13 3 1 n n 1 a 11 x ( k 1) 1 ( a x ( k 1) a x ( k ) a x ( k ) b ) 21 1 23 3 2n n 2 2 a 22 x ( k 1) 1 ( a x ( k 1) a x ( k 1) bn ) n n1 1 n n1 n1 a nn
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对于给定方程组x=Bx+f，设有唯一解x*，则 x*=Bx*+f . (1.5) 又设x(0)为任取的初始向量, 按下述公式构造向量序列 x(k+1)=Bx(k)+f , k=0,1,2,. (1.6) 其中k表示迭代次数. 定义1 (1)对于给定的方程组x=Bx+f , 用公式(1.6) 逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定 常迭代法，这里B与k无关). B称为迭代矩阵.
x ( k 1) ( D L) 1Ux ( k ) ( D L) 1 b
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0 a11 a 21 0 a 22 A a n 1 ,1 a n 1 , 2 0 a nn a n 2 a n , n 1 0 a n1 0 a12 a1,n1 a1n 0 a 2 , n 1 a 2 n 0 a n 1, n 0 D LU.