研究生数值分析(12)---高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法

以下元素同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
解：相应的高斯-赛德尔迭代公式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3 0.2x1(k1) 0.1x3(k) 1.5
高斯-赛德尔迭代公式如下：
x1(k
1)
1 a11
(a12 x2( k )
a13 x3( k )
a1nxn(k) b1)
x2(
kBiblioteka Baidu
1)
1 a11
(a21 x1( k 1)
a23 x3( k )
a2nxn(k) b2 )
xi(k
1)
1 aii
(ai1 x1( k 1)
a x (k1) i2 2
一种算子范数 , 即
(A)
A r
证明：设λ为A的任一特征值，X为对应于λ的A
的特征向量，即 AX= λX, (X ≠0)
由范数的性质立即可得
X X AX A X
r
r
r
r
r
因为 X ≠0 ， 所以
A r
即A的任一特征值的模都不超过
A r
于是 (A) A r
定理给出了一阶线性定常迭代法 X (k1) BX (k) f
收敛的充分条件，它表明只要迭代矩阵 B 的某种子 范数 B 小于1，立即可以断定该迭代过程对任给
r
初始向量都收敛于方程组AX=b的唯一解 X * 在例8例9中，我们分别用雅可比迭代法和高斯-
赛德尔迭代法解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
1 B
将 BJ 0.6, X (0) (0,0,0)T , X (1) (0.3000,1.5000, 2.0000)T
代入得 k 21.18 ，故Jacobi迭代22次即可；
将 BG 0.3, X (0) (0,0,0)T , X (1) (0.3000,1.5600, 2.68400)T 代入得 k 8.76 ，故Gauss-Seidel迭代9次就可以。
现将 X (k1) 显式化，由 (D L) X (k1) UX (k) b
得
X (k1) (D L)1UX (k) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵）
fG (D L)1b
则得 X (k 1) BG X (k ) fG 为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。
我们用定理2来判断高斯-赛德尔迭代公式是否
收敛，需要考虑高斯-赛德尔迭代矩阵 BG (D L)1U
的特征方程 I BG 0
即
I (D L)1U 0
将上式写成 (D L)1 (D L) U 0
由于
(D L)1 0
所以
(D L) U 0
上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线
可以看出， B 越小收敛速度越快， 且可用来估计迭代次数。
在例8例9中，显然 BG 比 BJ 小， 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快。
若在例8例9中要求近似解 X (k) 的误差
X (k) X * 104
则由误差估计式知，只要 k 满足
Bk
X (1) X (0) 104
1729 500
于是
(BG )
27 1729 500
0.1372
1
因而高斯-赛德尔迭代公式是收敛的。
3 迭代法收敛条件与误差估计 我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念。
定义 矩阵 A Rnn 的所有特征值 i (i 1, 2, , n)
的模的最大值称为矩阵 A 的谱半径,记作 ( A)
即
( A)
max
1in
i
前面,我们在应用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭 代法解一阶线性方程组时，判断各迭代公式是收敛还
是发散，都要计算雅可比迭代矩阵 BJ 与高斯-赛德尔
迭代矩阵 BG 的特征值.由于矩阵 A 有些算子范数(比
如 A 与 A )远比矩阵 A 的特征值容易计算,为此给
1
出如下结论。
定理3 矩阵A的谱半径不超过矩阵A的任何
2、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 研究雅可比迭代法，我们发现在逐个求 X(k+1)的
分量时，当计算到 xi(k+1) 时，分量 x1(k+1) , … , xi1(k+1)都已经求得, 而仍用旧分量x1(k), … , xi-1(k)计算 xi(k+1)。由于新计算出的分量比旧分量准确些，因此 设想一旦新分量 x1(k+1) , … , xi-1(k+1) 求出，马上就用 新分量 x1(k+1) , … , xi-1(k+1) 代替雅可比迭代法中 x1(k),…,xi-1(k)来求 xi(k+1) 。这就是 (Gauss-Seidel) 迭代 法。
雅可比迭代矩阵
0 0.2 0.1 BJ 0.2 0 0.1
0.2 0.4 0
BJ 0.6 1 雅可比迭代过程必收敛；
高斯-赛德尔迭代矩阵
0 BG 0
0
0.2 0.04 0.056
0.1
0.12
0.068
BG 0.3 1 高斯-赛德尔迭代过程也收敛。
由定理的误差估计式 X (k) X * B k X (1) X (0) , k 1, 2,3, 1 B
x3(k
1)
0.2x1(k 1)
0.4x2(k1)
2
取迭代初值
X (0)
(
x (0) 1
,
x2(0
)
,
x (0) 3
)T
(0, 0, 0)T
按此迭代公式进行迭代，计算结果为
k
x (k) 1
x (k) 2
x (k) 3
00 1 0.3
0
0
1.56 2.684
2 0.8804 1.9445 2.9539
a x (k1) i,i1 i1
a x (k) i,i1 i1
xn ( k 1)
1 ann
(an1 x1( k 1)
a x (k1) n2 2
a x (k1) n,n1 n1
bn )
（5）
ainxn(k) bi )
其矩阵表示形式为 X (k1) D1(LX (k1) UX (k) b)
3 0.9843 1.9923 2.9938
4 0.9978 1.9989 2.9991
5 0.9997 1.9999 2.9999
高斯-赛德尔迭代矩阵 BG 的特征方程为
10 2 1 2 10 1 0 2 5
即 (500 2 54 2) 0
解得
1
0, 2
27
1729 500
, 3
27