迭代法
迭代法
迭代方法也称为滚动方法。
Bai是一个过程，其中变量Du的旧值用于重现新值。
迭代算法是解决计算机问题的基本方法。
它利用了运算速度快的特点，并且适合重复操作，因此计算机可以重复执行一组指令（或某些步骤）。
每次执行指令组（或这些步骤）时，都会从变量的原始值中得出一个新值。
迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如二分法和牛顿迭代）属于近似迭代。
扩展数据：
对于区间[a，b]和f（a）·f（b）<0上的连续函数y=f（x），通过连续除以函数f（x）零点所在的区间，间隔的两个端点逐渐接近零点，然后获得零点的近似值称为二分法。
令[a，b]为R的封闭区间。
连续二等分方法将创建以下区间序列（[an，BN]），如下所示：A0=a，B0=B，并且对于任何自然数n，[an+1，BN+1]等于[an，cn]或等于[cn，BN]，其中CN表示[an，BN]的中点。
方法介绍
迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。
例如，对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序
列为迭代序列。
迭代法求通项公式
迭代法求通项公式在我们的数学世界里，有一种神奇的方法叫做迭代法求通项公式。
这玩意儿听起来好像有点高深莫测，但其实只要我们一步步来，就会发现它并没有那么可怕。
先来说说什么是通项公式吧。
比如说，有一个数列 1，3，5，7，9......你能找到一个公式，让不管是第 100 个数，还是第 1000 个数，都能通过这个公式轻松算出来吗？这就是通项公式的魅力所在啦！那迭代法又是啥呢？我给你举个例子。
比如说有个数列，第一项是1 ，后面的每一项都是前一项加上 2 。
那第二项就是 1 + 2 = 3 ，第三项就是 3 + 2 = 5 ，第四项就是 5 + 2 = 7 ，以此类推。
那我们要是想找出第 n 项的通项公式，就可以用迭代法。
我们假设第 n 项是 aₙ ，那么 a₁ = 1 ，a₂ = a₁ + 2 = 1 + 2 ，a₃ = a₂ + 2 = （1 + 2） + 2 ，a₄ = a₃ + 2 = （（1 + 2） + 2） + 2 ...... 这么一直迭代下去，你是不是发现规律啦？咱们再细致点说。
有一次我给学生们讲这个迭代法求通项公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太复杂了，我搞不懂啊！”我就跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
”我拿起一支笔，在纸上一步一步地写给他看。
我先从最简单的例子开始，就像刚才那个每项加 2 的数列。
我跟他一起算，每一步都解释得清清楚楚。
然后我让他自己试试算一个类似的数列。
一开始他还是有点磕磕绊绊的，但慢慢地，他的眼睛亮了起来，兴奋地跟我说：“老师，我好像懂了！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
回到迭代法求通项公式，其实就是不断地通过前面的项来推导后面的项的规律。
有时候可能会有点繁琐，但只要我们耐心点，多算几步，规律往往就会自己跳出来。
比如说，有个数列，第一项是 2 ，第二项是 5 ，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
那我们来用迭代法试试。
a₁ = 2 ，a₂ = 5 ，a₃= a₁ + a₂ = 2 + 5 = 7 ，a₄ = a₂ + a₃ = 5 + 7 = 12 ，a₅ = a₃ + a₄ = 7 + 12 = 19 ...... 这样一直算下去，然后观察数字的变化规律。
2.2 迭代法
= ϕ ' (ξ )( x * − x * *) ≤ L x * − x * *
又， L < 1
⇒ x* = x * *
计算方法
② ∀x0 ∈ [a, b] 则 xk +1 − x *= ϕ ( xk ) − ϕ ( x*) = ϕ ' (ξ )( xk − x*)
≤ L xk − x * ≤ L2 xk −1 − x * x k +1 − x *
计算方法
二、收敛性分析
定理2.1 （全局收敛定理） 全局收敛定理） 定理
在区间[a,b]上可导 上可导 设ϕ ( x )在[a, b] 在区间
a （1）当a ≤ x ≤ b时， ≤ ϕ ( x ) ≤ b;
( 2) ∀x ∈ [a, b], | ϕ ' ( x ) |≤ L < 1 ( L为常数） 为常数）
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
x n +1 = ϕ ( x n )
Remark1：全局与局部收敛定理中的条件都是充分 Remark1： 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。
p! p!
由迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ) 及 x * = ϕ ( x * ) 有 ϕ ( p ) (ξ ) * * p
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
迭代法(iterative method
迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。
这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。
迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。
这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。
常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。
2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。
3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。
4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。
同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。
迭代法
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
迭代法和收敛性
x1(k x2(k
1) 1)
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3
0.2x1(k )
0.1x3(k) 1.5 , k
0,1, 2,
x3(k
1)
0.2x1(k )
0.4x2(k )
2
迭代计算
x(0) 0 [0, 0, 0]T
x(1) 1
0.3
x(1) 2
1.5
x1(k x2(k
其中系数矩阵非奇异，且主对角元aii≠0，(i
=1,2,…,n)，由第i 个方程解出xi，有
x1
1 a11
(b1
a12 x2
a13 x3
x2
1 a22
(b2
a21x1
a23x3
xn
1 ann
(bn
an1x1
an2 x2
a1n xn ) a2n xn )
ann1xn1)
建立迭代格式
aij
x
( j
k
)
)
j i 1
加速
x ( k 1) i
( k 1)
xi
(1 ) xi(k )
i 1, 2, , n
或合起来写成迭代加速的形式
x (k 1) i
aii
(bi
i 1
a x (k 1) ij j j 1
n
aij
x
(k j
)
)
(1
)
xi( k
)
j i1
参数 称为松弛因子， 1 时迭代格式就是高斯-
x (k1) i
1 aii
(bi
n
aij x j(k ) ),
j1
(i 1,2,, n)
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法常用算法，迭代法迭代法（iteration method）是一种通过重复执行相同的步骤来逐步逼近问题解的方法。
它在计算机科学和数学中被广泛应用，可以解决各种问题，比如求近似解、优化问题、图像处理等。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，逐渐逼近问题的解。
每一次迭代都会将上一次迭代的结果作为输入，并进行相同的操作，直到满足其中一种停止条件。
在每次迭代中，我们可以根据当前的状态更新变量的值，进而改善我们对问题解的估计。
迭代法最常用的应用之一是求解方程的近似解。
对于一些复杂方程，很难通过解析方法求得解析解，这时我们可以利用迭代法来逼近方程的解。
具体地，我们可以选择一个初始的近似解，然后将其代入方程，得到一个新的近似解。
重复这个过程，直到得到一个满足我们要求的解。
这个方法被称为迭代法求解方程。
另一个常用的迭代法示例是求解优化问题。
在优化问题中，我们需要找到能使一些目标函数取得最大或最小值的变量。
迭代法可以通过不断优化变量值的方法来求解这种问题。
我们可以从一个初始解开始，然后根据目标函数的导数或近似导数的信息来更新变量的值，使得目标函数的值逐步接近最优解。
这种方法被称为迭代优化算法。
迭代法还可以应用于图像处理等领域。
在图像处理中，我们常常需要对图片进行修复、增强或变形。
迭代法可以通过对图片像素的重复操作来达到修复、增强或变形的目的。
例如，如果我们想要修复一张受损的图片，可以通过迭代地修复每个像素点，以逐渐恢复整个图片。
除了上述示例，迭代法还有很多其他应用，比如求解线性方程组、图像压缩、机器学习等。
总之，迭代法是一种非常灵活和强大的算法，可以解决各种问题。
在实际应用中，迭代法的效果往往受到选择合适的初始值、迭代次数和停止条件的影响。
因此，为了获得较好的结果，我们需要在迭代过程中不断优化这些参数。
同时，迭代法也可能会陷入局部最优解的问题，因此我们需要设计合适的策略来避免这种情况。
总的来说，迭代法是一种重要的常用算法，它可以解决各种问题。
2.2 迭代法
首先用归纳假设证明如下不等式
| x* xk | Lk | x* x1 |
38
当k=1时 x x1 L x x0 ，已证成立。
k 1 x x L x x0 成立，可得 假设 k 1
不动点迭代的几何解释 y=f(x)=x y=g(x)
38
不动点判定定理
设g是一连续函数，且 { pn } 是由不动点迭代 n 0
生成的序列。若 lim pn p ，则p是g(x)的不动点
n
pn 1 p pn p ，则 lim 证：lim n n
g ( p ) g (lim pn ) lim g( pn ) lim pn1 p
1 1 x xk x k 1 x k ( x k ) ( x k 1 ) 1 L 1 L L Lk x k x k 1 x1 x0 1 L 1 L
L越小，收敛越快
38
不动点迭代的图形解释
一般来说从 f ( x ) 0 , 构造 ( x )不止一种，有的
38
由介值定理，存在 x [a , b] 使 f ( x ) 0
即
x ( x ).
②设方程 x ( x ) 还有一根 , 即 a (a ). 则由微分中值定理有
x ( x ) ( ) ( )( x ) L x
x4 2x 2 x 3 0 x 2 ( x)
x 4 1
x 3 ( x) x4 2x2 3
(其中第二式 x4 2 x 2 1=x 4 )
常用算法(一)——迭代法
常用算法——迭代法一、迭代法迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，xn-1）设方程组为：xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;i<n;i++)x=初始近似根;do {for (i=0;i<n;i++)y=x;for (i=0;i<n;i++)x=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i<n;i++)printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x)；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
迭代算法
数学模型：根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段 讨论。 第一段长度为500公里且第一个加油点贮油为500加仑。 第二段中为了贮备油，吉普车在这段的行程必须有往返。下 面讨论怎样走效率高： 1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。 2）每次向前行进时吉普车是满载。 3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。
x1=x0-f0/f1;
} while(fabs(x1-x0)>=1e-4); return(x1); }
【例3】二分法求解方程f(x)=0根 用二 分法求解方程f(x)=0根的前提条件是： f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且 已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)<0。
图4-6 二分法求解 方程示意
print(“storepoint”,k,”distance”,0,”oilquantity”,oil)；
}
3.3
迭代法解方程
迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列 x0,x1,…,xn, 来 逐步逼近方程f(x)=0的解：
1）选取适当的初值x0；
2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改 写为x=φ (x)的等价形式；
desert（ ） { int dis，k，oil,k; dis=500;k=1;oil=500; do{
print(“storepoint”,k,”distance”,1000-dis,”oilquantity”,oil)；
k=k+1; dis=dis+500/(2*k-1); oil= 500*k; }while ( dis<1000) oil=500*(k-1)+(1000-dis)*( 2*k-1);
迭代法
一，对迭代法进行简介迭代法又称为辗转法，是用计算机解决问题的一种基本方法，为一种不断用变量的旧值递推新值的过程，与直接法相对应，一次性解决问题。
迭代法分为精确迭代和近似迭代，“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代法利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。
一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组x=Bx+f（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式x(k+1）=Bx(k)+f（括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。
如果k趋向无穷大时limx（k）存在，记为x*，称此迭代法收敛。
显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。
跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性的快速解决问题，例如通过开方解决方程x +3= 4。
一般如果可能，直接解法总是优先考虑的。
但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，方程为非线性时，我们无法找到直接解法（例如五次以及更高次的代数方程没有解析解，参见阿贝耳定理），(这是为什么迭代法可以求解复杂方程的原因之一)。
这时候或许可以通过迭代法寻求方程（组）的近似解（还是没有详细解释选用迭代法的原因）。
最常见的迭代法是牛顿法。
其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1.确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
迭代法
•
• • • • • • • • • • • • • • • • •
int main() { double x,precision; int maxcyc; printf("输入初始迭代值x0:"); scanf("%lf",&x); printf("输入最大迭代次数:"); scanf("%d",&maxcyc); printf("迭代要求的精度:"); scanf("%lf",&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1 printf("该值附近的根为:%lf\n",x); else //若函数返回值为0 printf("迭代失败!\n"); getch(); return 0; }
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化 的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部 分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前 两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)-f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为 x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列： x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
谢 谢！
邮箱:lihaicg@
迭代关系式： • if (y<=3) • f=f1=f2=f3=1; • else • { f=f1+f3; • f1=f2; • f2=f3; • f3=f; • } • 相信大家都能理解！！！
迭代法
迭代方法，也称为抛掷和翻转方法，是从变量的旧值连续递归新值的过程。
与迭代方法相对应的是直接方法（或一次性解决方案），即一次解决问题。
迭代算法是计算机解决问题的基本方法。
它利用计算机的快速运行速度并适合于重复操作，并使计算机重复执行一组指令（或某些步骤）。
每次执行这组指令（或这些步骤）时，都会从原始值中得出新的变量值。
迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代法”）是近似迭代方法。
迭代方法的主要研究课题是为有问题的问题构造收敛的迭代方案，并分析它们的收敛速度和收敛范围。
迭代方法的收敛定理可分为以下三类：
①局部收敛定理：假设存在问题的解，则可以得出结论，当初始逼近足够接近解时，迭代方法就会收敛；
②半局部收敛定理：在不假设解存在的前提下，得出迭代法根据迭代法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解；
③大规模收敛定理：得出的结论是，替换方法收敛于问题的解，而无需假设初始近似值足够接近该解。
代换法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。
迭代过程何时结束？这是编写迭代程序时必须考虑的问题。
迭代过程不能无休止地重复。
迭代过程的控制通常可以分为两种情况：一种是所需的迭代次数是某个值，并且可以计算；另一个是无法确定所需的
迭代次数。
在前一种情况下，可以构造固定数量的循环来控制迭代过程。
在后一种情况下，有必要进一步分析结束迭代过程的条件。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法迭代法是一种常见的算法设计方法，它通过重复执行一定的操作来逐步逼近问题的解。
迭代法是一种简单有效的求解问题的方法，常用于求解数值问题、优化问题以及函数逼近等领域。
本文将介绍迭代法的基本概念、原理以及常见的应用场景。
一、迭代法的基本概念迭代法的思想是通过反复应用一些函数或算子来逐步逼近问题的解。
对于一个需要求解的问题，我们首先选择一个初始解或者近似解，然后通过不断迭代更新来逼近真实解。
迭代法的核心是找到一个递推关系，使得每次迭代可以使问题的解越来越接近真实解。
常见的迭代法有不动点迭代法、牛顿迭代法、梯度下降法等。
这些方法的求解过程都是基于迭代的思想，通过不断逼近解的过程来得到问题的解。
二、迭代法的原理迭代法的基本原理是通过不断迭代求解迭代方程的解，从而逼近问题的解。
迭代法的求解过程通常分为以下几个步骤：1.选择适当的初始解或者近似解。
初始解的选择对迭代法的收敛性和效率都有影响，一般需要根据问题的特点进行合理选择。
2.构建递推关系。
通过分析问题的特点，构建递推关系式来更新解的值。
递推关系的构建是迭代法求解问题的核心，它决定了每次迭代如何更新解的值。
3.根据递推关系进行迭代。
根据递推关系式，依次更新解的值，直到满足收敛条件为止。
收敛条件可以是解的变化小于一定阈值，或者达到一定的迭代次数。
4.得到逼近解。
当迭代停止时，得到的解即为问题的逼近解。
通常需要根据实际问题的需求来判断迭代停止的条件。
三、迭代法的应用迭代法在数值计算、优化问题以及函数逼近等领域有广泛的应用。
下面将介绍迭代法在常见问题中的应用场景。
1.数值计算：迭代法可以用于求解方程的根、解线性方程组、求解矩阵的特征值等数值计算问题。
这些问题的解通常是通过迭代的方式逼近得到的。
2.优化问题：迭代法可以应用于各种优化问题的求解，如最大值最小化、参数估计、模式识别等。
迭代法可以通过不断调整参数的值来逼近问题的最优解。
3.函数逼近：迭代法可以应用于函数逼近问题，通过不断迭代来逼近一个函数的近似解。
迭代法的原理
迭代法的原理
迭代法（IterativeMethods），又称顺序近似法，是求解用数学模型表示的问题的一
种有效方法。
它是建立在一组数值变量之间一种有效动态关系的基础上，使用迭代格式求
解问题的一种数学技术。
迭代法的基本原理是：将要求的接近的解的迭代过程，转换成一系列的子解，每个子
解满足某些约束条件。
然后，使用某种有效算法，将这些子解迭代直至满足所需的最终目
标值或损失函数的最小值。
迭代法的基本思想，主要是将一个解求解问题过程转化为一系列的子问题，对这些子
问题进行求解，以获得问题最优解。
可以将迭代法总结为以下几个步骤：
第一步：确定问题的初始值；
第二步：使用某种有效算法，将这些初始值迭代改变成满足所需最终目标的子解；
第三步：重复第二步，直至解的精度达到一定的要求；
第四步：求解完成，输出最终结果。
迭代法求解内容有：迭代解方程组，求函数极值和最优化等；优点是解的收敛速度较快，有较强的数值模拟能力，应用范围广，缺点是实现起来较为复杂，并且存在收敛障碍，很难得到满意解。
迭代法的推导思路
迭代法的推导思路
迭代法是一种解决问题的方法，其基本思路是通过不断重复相同的计算步骤来逐步逼近问题的解。
在推导迭代法时，通常需要经过以下几个步骤：
1. 确定问题的数学模型或方程。
首先要明确问题的数学描述，将其转化为方程或者数学模型。
例如，求解方程f(x) = 0的根。
2. 寻找初始解。
选择一个初始解作为计算的起点。
通常可以通过观察问题和对问题的性质进行分析来选择一个合适的初始解。
3. 确定迭代公式。
通过分析问题的特点和所求解的性质，可以推导出迭代公式。
迭代公式是描述迭代过程中如何由当前解逼近下一个解的数学表达式。
4. 进行迭代计算。
根据迭代公式，从初始解开始进行迭代计算，逐步逼近问题的解。
通常需要设定一个迭代终止条件，如达到一定的精度或迭代次数达到一定的上限等。
5. 检验解的有效性。
计算得到的近似解需要通过检验，来判断其是否满足问题的解要求。
如计算的近似解能够满足一定的误差要求或满足方程的解。
6. 进行收敛性分析。
在迭代过程中，需要对迭代方法的收敛性进行分析，以确保迭代过程能够得到问题的解。
收敛性分析可以通过讨论迭代法的收敛性条件、方程的性质等来进行。
通过以上步骤，可以将问题转化为迭代计算的过程，并通过不断迭代逼近问题的解。
在实际应用中，也可以通过改进迭代公式、调整初始解等方法来优化迭代过程，提高求解问题的效率。
迭代法
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋u 2 × 1 ＝4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝ u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应 u n 和 u n － 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。
迭代法简单举例
迭代法简单举例
嘿，朋友们！今天咱来唠唠迭代法，这可真是个超有趣的东西呢！
比如说，咱就想想减肥这件事儿吧。
你瞧，一开始你给自己定了个目标，要减掉多少斤。
那第一步，你可能就会试着少吃一点，多运动一点，就像在黑暗中摸索着前进。
然后你看看效果，哎呀，可能没减多少。
但这时候你不会放弃呀，你会根据这个情况调整策略，比如再少吃点其他的，或者增加一些运动的种类。
这就好像迭代法一样，一次次地尝试，一点点地改进。
这不就是在不断地迭代嘛！
再比如学一门新语言，你一开始可能只会说几个简单的单词和句子，但随着你不断地学习、练习，和别人交流，你会发现自己越来越熟练，能表达的东西越来越多。
每次的进步都能让你更有信心，更愿意去继续提升。
这就是迭代的魔力啊！
你想想，生活中好多事情不都是这样嘛！就像搭积木，一开始可能搭得歪歪扭扭，但你不断调整，一块一块地加，最后就能搭出漂亮的城堡呀！
迭代法就像是人生的指南针，指引着我们不断前进，变得更好。
每次的尝试虽然不一定完美，但都是向成功迈进的一步啊！不要害怕失败，因为每
一次失败都是下一次成功的开始。
咱们要勇敢地去尝试，不断地去迭代，让自己的生活变得丰富多彩，超级精彩！这不就是迭代法的魅力所在嘛！所以呀，大家都行动起来，在生活的各个方面运用迭代法，迈向更美好的未来吧！。
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二、收敛性分析
计算方法
（全局收敛定理）
设 ( x)在[a, b] （1）当a x b时，a ( x) b;
(2) x [a, b], |'( x) | L 1 (L为常数）
则 ：(1)方 程x ( x)在[a, b]有 唯 一 根；
(2)x0 [a, b], xn1 ( xn） 收 敛 到
则对于任意的初始值 x0 S ，由迭代公式
xn1 ( xn )
产生的数列 xn 收敛于方程的根。
（这时称迭代法在 的S邻域具有局部收敛性。）
计算方法
例3 设 ( x) x a( x2 5)，要使迭代过程 xk1 ( xk )
局部收敛到 x* 5,求 a 的取值范围。 解： ( x) x a( x2 5)
xk1 ( xk )
又 x* (x*)
根据中值定理有
x* xk1 ( x* ) ( xk ) ( )( x* xk ) ( x*, xk )
局部收敛性 当隔根区间确定时,通常只需要更简单的条件
就可以保证迭代过程在根的邻域(局部)收敛。
定理2.2 设 是方程 x ( x)的根，如果满足
条件 ：
（1）迭代函数 ( x) 在 的邻域可导； （2）在 的某个邻域 S {x x }，对于任
意 x S ，有
(x) L 1
计算方法
xn xn1
Ln 1－L
x1
x0
注：L越小，收敛越快。
计算方法
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做
下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个n满足
x x
n
n1
即可结束计算并取
x n
当然，迭代函数 ( x ) 的构造方法是多种多样的。
计算方法
例2 证明函数 ( x) 3 x 1 在区间[1，2]
（3）| xn
|
L 1 L
xn
xn1
Ln 1 L
x1
x0
计算方法
①存在唯一性
做辅助函数 ( x) x ( x)，则有 (a) 0, (b) 0
所以，存在点 x*, s.t., ( x*) 0 x* ( x*)
若 x ** ( x **) ，则有：
x * x ** (x*) (x **)
计算方法
③误差估计
xn1 xn ( xn ) ( xn1) L xn xn1
L2 xn1 xn2 Ln x1 x0 xn1 xn ( xn ) ( xn1 ) xn xn1 xn L xn (1 L) xn
计算方法
xn
1 1－L
xn1 xn 1 －LL
( x) 1 2ax
由在根 x* 5 邻域具有局部收敛性时， 收敛条件
(x*) 1 2a 5 1
1 1 2a 5 1
2 2a 5 0
所以
1 a0 5
计算方法
计算方法
四、 迭代过程的加速 （1）迭代-加速公式（加权法）
设 xk是根 x*的某个近似值,用迭代公式校正一次得
3
33 4
所以 ( x)满足条件（2）。
故 (x) 3 x 1在[1,2]满 足 收 敛 条 件 。
计算方法
若取迭代函数 (x) x3 1
因为 |'( x) || 3x2 | 3 x [1,2]
不满足定理，故不能肯定
xn1 ( xn ) n 0,1,....收敛 Nhomakorabea方程的根。
计算方法
x1 ( x0)
再将 x1代入式 x ( x) 的右端,得到 x2 ( x1 )
计算方法
依此类推, 得到一个数列
x3 ( x2 ), x4 ( x3 ),
其一般表示
xn1 ( xn ), (n 0,1,2,)
(2.4)
式(2.4)称为求解非线性方程的简单迭代公式,
称 ( x)为迭代函数 。
计算方法
例1 试用迭代法求方程 f ( x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。
解：由 x 3 x 1 建立迭代关系
xk1 3 xk 1
计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
k
xk
k
0
1.5
5
1
1.35721
6
2
1.33086
7
3
1.32588
8
4
1.32494
精确到小数点后五位
简单迭代收敛情况的几何解释
y
y=x
p1
y=g(x)
p0
✓
y
y=g(x) p0
y=x
p1
x
x0
x1 x*
x x0 x* x1
迭
代
法
的
算
法
k+1k
框
x1 x0
图
开始
输 入 x0,ε,N
1k
( x0 ) x1
|x1- x0|<ε?
y
n
k<N? n
输出迭代 失败标志
结束
计算方法
y 输出近似 根 x1
计算方法
x 1.32472 1 105
2
计算方法
xk
1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
但如果由 x x3 1建立迭代公式
计算方法
xk1 xk3 1 k 1,2,... 仍取 x0 1.5 ，则有
x1 2.375 x2 12.39
显然结果越来越大，{ xk } 是发散序列
'( )(x * x **) L x * x **
又， L 1 x* x **
计算方法
② x0 [a, b] 则 xk1 x * ( xk ) ( x*) '( )( xk x*) xk1 x * L xk x * L2 xk1 x *
Lk1 x0 x *
所以，任意的初值都收敛
§ 2.2 迭代法
计算方法
它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复 校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精 度要求的结果。
计算方法
一、迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于
迭代的等价方程
x ( x) (2.3)
其中 ( x)为x的连续函数。
计算方法
即如果数 使 f(x)=0, 则也有 ( ) 反之, 若 ( ),则也有 f ( ) 0 取一合适初值 x0 ,代入式 x ( x)的右端, 得到
上满足迭代收敛条件。
证明：
因为
'(x)
1
(x
2
1) 3
0
x [1,2]
3
所以 ( x)是区间[a, b]上严格单调增函数。
而 (1) 3 2 1， (2) 3 3 2
计算方法
即[ (1), (2)] [1,2]，所以 ( x)满足条件（1）。
又
|
'(
x)
||
1
(
x
2
1) 3
|
1
L1
x [1,2]