迭代法
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xk1 ( xk )
又 x* (x*)
根据中值定理有
x* xk1 ( x* ) ( xk ) ( )( x* xk ) ( x*, xk )
( x) 1 2ax
由在根 x* 5 邻域具有局部收敛性时， 收敛条件
(x*) 1 2a 5 1
1 1 2a 5 1
2 2a 5 0
所以
1 a0 5
计算方法
计算方法
四、 迭代过程的加速 （1）迭代-加速公式（加权法）
设 xk是根 x*的某个近似值,用迭代公式校正一次得
3
33 4
所以 ( x)满足条件（2）。
故 (x) 3 x 1在[1,2]满 足 收 敛 条 件 。
计算方法
若取迭代函数 (x) x3 1
因为 |'( x) || 3x2 | 3 x [1,2]
不满足定理，故不能肯定
xn1 ( xn ) n 0,1,....
收敛到方程的根。
计算方法
二、收敛性分析
计算方法
（全局收敛定理）
设 ( x)在[a, b] （1）当a x b时，a ( x) b;
(2) x [a, b], |'( x) | L 1 (L为常数）
则 ：(1)方 程x ( x)在[a, b]有 唯 一 根；
(2)x0 [a, b], xn1 ( xn） 收 敛 到
x1 ( x0)
再将 x1代入式 x ( x) 的右端,得到 x2 ( x1 )
计算方法
依此类推, 得到一个数列
x3 ( x2 ), x4 ( x3 ),
其一般表示
xn1 ( xn ), (n 0,1,2,)
(2.4)
式(2.4)称为求解非线性方程的简单迭代公式,
称 ( x)为迭代函数 。
局部收敛性 当隔根区间确定时,通常只需要更简单的条件
就可以保证迭代过程在根的邻域(局部)收敛。
定理2.2 设 是方程 x ( x)的根，如果满足
条件 ：
（1）迭代函数 ( x) 在 的邻域可导； （2）在 的某个邻域 S {x x }，对于任
意 x S ，有
(x) L 1
计算方法
'( )(x * x **) L x * x **
又， L 1 x* x **
计算方法
② x0 [a, b] 则 xk1 x * ( xk ) ( x*) '( )( xk x*) xk1 x * L xk x * L2 xk1 x *
Lk1 x0 x *
所以，任意的初值都收敛
计算方法
例1 试用迭代法求方程 f ( x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。
解：由 x 3 x 1 建立迭代关系
xk1 3 xk 1
计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
k
xk
k
0
1.5
5
1
1.35721
6
2
1.33086
7
3
1.32588
8
4
1.32494
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
计算方法
xk
1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
但如果由 x x3 1建立迭代公式
计算方法
xk1 xk3 1 k 1,2,... 仍取 x0 1.5 ，则有
x1 2.375 x2 12.39
显然结果越来越大，{ xk } 是发散序列
xn xn1
Ln 1－L
x1
x0
注：L越小，收敛越快。
计算方法
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做
下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个n满足
x x
n
n1
即可结束计算并取
x n
当然，迭代函数 ( x ) 的构造方法是多种多样的。
Leabharlann Baidu
计算方法
例2 证明函数 ( x) 3 x 1 在区间[1，2]
上满足迭代收敛条件。
证明：
因为
'(x)
1
(x
2
1) 3
0
x [1,2]
3
所以 ( x)是区间[a, b]上严格单调增函数。
而 (1) 3 2 1， (2) 3 3 2
计算方法
即[ (1), (2)] [1,2]，所以 ( x)满足条件（1）。
又
|
'(
x)
||
1
(
x
2
1) 3
|
1
L1
x [1,2]
简单迭代收敛情况的几何解释
y
y=x
p1
y=g(x)
p0
✓
y
y=g(x) p0
y=x
p1
x
x0
x1 x*
x x0 x* x1
迭
代
法
的
算
法
k+1k
框
x1 x0
图
开始
输 入 x0,ε,N
1k
( x0 ) x1
|x1- x0|<ε?
y
n
k<N? n
输出迭代 失败标志
结束
计算方法
y 输出近似 根 x1
计算方法
（3）| xn
|
L 1 L
xn
xn1
Ln 1 L
x1
x0
计算方法
①存在唯一性
做辅助函数 ( x) x ( x)，则有 (a) 0, (b) 0
所以，存在点 x*, s.t., ( x*) 0 x* ( x*)
若 x ** ( x **) ，则有：
x * x ** (x*) (x **)
则对于任意的初始值 x0 S ，由迭代公式
xn1 ( xn )
产生的数列 xn 收敛于方程的根。
（这时称迭代法在 的S邻域具有局部收敛性。）
计算方法
例3 设 ( x) x a( x2 5)，要使迭代过程 xk1 ( xk )
局部收敛到 x* 5,求 a 的取值范围。 解： ( x) x a( x2 5)
§ 2.2 迭代法
计算方法
它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复 校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精 度要求的结果。
计算方法
一、迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于
迭代的等价方程
x ( x) (2.3)
其中 ( x)为x的连续函数。
计算方法
即如果数 使 f(x)=0, 则也有 ( ) 反之, 若 ( ),则也有 f ( ) 0 取一合适初值 x0 ,代入式 x ( x)的右端, 得到
计算方法
③误差估计
xn1 xn ( xn ) ( xn1) L xn xn1
L2 xn1 xn2 Ln x1 x0 xn1 xn ( xn ) ( xn1 ) xn xn1 xn L xn (1 L) xn
计算方法
xn
1 1－L
xn1 xn 1 －LL
又 x* (x*)
根据中值定理有
x* xk1 ( x* ) ( xk ) ( )( x* xk ) ( x*, xk )
( x) 1 2ax
由在根 x* 5 邻域具有局部收敛性时， 收敛条件
(x*) 1 2a 5 1
1 1 2a 5 1
2 2a 5 0
所以
1 a0 5
计算方法
计算方法
四、 迭代过程的加速 （1）迭代-加速公式（加权法）
设 xk是根 x*的某个近似值,用迭代公式校正一次得
3
33 4
所以 ( x)满足条件（2）。
故 (x) 3 x 1在[1,2]满 足 收 敛 条 件 。
计算方法
若取迭代函数 (x) x3 1
因为 |'( x) || 3x2 | 3 x [1,2]
不满足定理，故不能肯定
xn1 ( xn ) n 0,1,....
收敛到方程的根。
计算方法
二、收敛性分析
计算方法
（全局收敛定理）
设 ( x)在[a, b] （1）当a x b时，a ( x) b;
(2) x [a, b], |'( x) | L 1 (L为常数）
则 ：(1)方 程x ( x)在[a, b]有 唯 一 根；
(2)x0 [a, b], xn1 ( xn） 收 敛 到
x1 ( x0)
再将 x1代入式 x ( x) 的右端,得到 x2 ( x1 )
计算方法
依此类推, 得到一个数列
x3 ( x2 ), x4 ( x3 ),
其一般表示
xn1 ( xn ), (n 0,1,2,)
(2.4)
式(2.4)称为求解非线性方程的简单迭代公式,
称 ( x)为迭代函数 。
局部收敛性 当隔根区间确定时,通常只需要更简单的条件
就可以保证迭代过程在根的邻域(局部)收敛。
定理2.2 设 是方程 x ( x)的根，如果满足
条件 ：
（1）迭代函数 ( x) 在 的邻域可导； （2）在 的某个邻域 S {x x }，对于任
意 x S ，有
(x) L 1
计算方法
'( )(x * x **) L x * x **
又， L 1 x* x **
计算方法
② x0 [a, b] 则 xk1 x * ( xk ) ( x*) '( )( xk x*) xk1 x * L xk x * L2 xk1 x *
Lk1 x0 x *
所以，任意的初值都收敛
计算方法
例1 试用迭代法求方程 f ( x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。
解：由 x 3 x 1 建立迭代关系
xk1 3 xk 1
计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
k
xk
k
0
1.5
5
1
1.35721
6
2
1.33086
7
3
1.32588
8
4
1.32494
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
计算方法
xk
1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
但如果由 x x3 1建立迭代公式
计算方法
xk1 xk3 1 k 1,2,... 仍取 x0 1.5 ，则有
x1 2.375 x2 12.39
显然结果越来越大，{ xk } 是发散序列
xn xn1
Ln 1－L
x1
x0
注：L越小，收敛越快。
计算方法
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做
下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个n满足
x x
n
n1
即可结束计算并取
x n
当然，迭代函数 ( x ) 的构造方法是多种多样的。
Leabharlann Baidu
计算方法
例2 证明函数 ( x) 3 x 1 在区间[1，2]
上满足迭代收敛条件。
证明：
因为
'(x)
1
(x
2
1) 3
0
x [1,2]
3
所以 ( x)是区间[a, b]上严格单调增函数。
而 (1) 3 2 1， (2) 3 3 2
计算方法
即[ (1), (2)] [1,2]，所以 ( x)满足条件（1）。
又
|
'(
x)
||
1
(
x
2
1) 3
|
1
L1
x [1,2]
简单迭代收敛情况的几何解释
y
y=x
p1
y=g(x)
p0
✓
y
y=g(x) p0
y=x
p1
x
x0
x1 x*
x x0 x* x1
迭
代
法
的
算
法
k+1k
框
x1 x0
图
开始
输 入 x0,ε,N
1k
( x0 ) x1
|x1- x0|<ε?
y
n
k<N? n
输出迭代 失败标志
结束
计算方法
y 输出近似 根 x1
计算方法
（3）| xn
|
L 1 L
xn
xn1
Ln 1 L
x1
x0
计算方法
①存在唯一性
做辅助函数 ( x) x ( x)，则有 (a) 0, (b) 0
所以，存在点 x*, s.t., ( x*) 0 x* ( x*)
若 x ** ( x **) ，则有：
x * x ** (x*) (x **)
则对于任意的初始值 x0 S ，由迭代公式
xn1 ( xn )
产生的数列 xn 收敛于方程的根。
（这时称迭代法在 的S邻域具有局部收敛性。）
计算方法
例3 设 ( x) x a( x2 5)，要使迭代过程 xk1 ( xk )
局部收敛到 x* 5,求 a 的取值范围。 解： ( x) x a( x2 5)
§ 2.2 迭代法
计算方法
它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复 校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精 度要求的结果。
计算方法
一、迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于
迭代的等价方程
x ( x) (2.3)
其中 ( x)为x的连续函数。
计算方法
即如果数 使 f(x)=0, 则也有 ( ) 反之, 若 ( ),则也有 f ( ) 0 取一合适初值 x0 ,代入式 x ( x)的右端, 得到
计算方法
③误差估计
xn1 xn ( xn ) ( xn1) L xn xn1
L2 xn1 xn2 Ln x1 x0 xn1 xn ( xn ) ( xn1 ) xn xn1 xn L xn (1 L) xn
计算方法
xn
1 1－L
xn1 xn 1 －LL