中考数学锐角三角函数-经典压轴题及详细答案

2
2
（3）设点 D 为该抛物线上的一点、连结 AD，若∠ DAC＝∠ CBO，求点 D 的坐标．
【答案】（1） y 1 x2 3 x 2 ；（2）当 x≥0 或 x≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或 22
（2，﹣3）． 【解析】
【分析】
（1）由直线 y＝ 1 x+2 求得 A、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析 2
②求点 H 的坐标.
(Ⅲ) 为何值时， FB FA.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)点 D 的坐标为 (54 , 72) ；(Ⅱ)①证明见解析；②点 H 的坐标为(3， 25 )；
25 25
8
(Ⅲ) 60 或 300 .
【解析】
【分析】
(Ⅰ) 过 A、D 分别作 AM OB, DN OA ，根据点 A、点 C 的坐标可得出 OA、OC 的
当
D
在
x
轴上方时，
1 2
m2
3 2
m
2
1
m4
2
解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴ 点 D 的坐标为（0，2）．
当
D
在
x
轴下方时，
(
1 2
m2
3 2
m
2)
1
m4
2
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴ 点 D 的坐标为（2，﹣3），
故满足条件的 D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．
长，根据矩形的性质可得 AB、OB 的长，在 Rt△ OAM 中，利用∠ BOA 的余弦求出 OM 的
长，由旋转的性质可得 OA=AD，利用等腰三角形的性质可得 OD=2OM，在 Rt△ ODN 中，利
用∠ BOA 的正弦和余弦可求出 DN 和 ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可
得∠ DOA=∠ ODA，根据锐角互余的关系可得 ABD BDE ，利用 SAS 即可证明
由 y 1 x2 3 x 2 令 y＝0， 22
解得：x1＝1，x2＝﹣4， ∴ CO＝1，AO＝4，
设点 D 的坐标为（m， 1 m2 3 m 2 ）， 22
∵ ∠ DAC＝∠ CBO，
∴ tan∠ DAC＝tan∠ CBO，
∴ 在 Rt△ ADE 和 Rt△ BOC 中有 DE CO ， AE BO
式；
（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的 x 的取值范围； （3）如图，过 D 点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 E，先求出 CO＝1，AO＝4，再由∠ DAC＝
∠ CBO，得出 tan∠ DAC＝tan∠ CBO，从而有， DE CO ,最后分类讨论确定点 D 的坐标． AE BO
【详解】
解：（1）由 y＝ 1 x+2 可得： 2
∵ BD=CD，
∴ E 为 CD 中点，即 DE=CE= 1 5 ， 4
在
Rt△
ABE
中，cosA=cos36°=
AE
1
1 4
5
AB 1 5 1
2
5 1， 4
1 5
在 Rt△ BCE 中，cosC=cos72°= EC 4 1 5 ，
BC 1
4
则 cos36°-cos72°= 5 1 - 1 5 = 1 ．
试题解析：（1）∵ 等腰△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=36°，
∴ ∠ ABC=∠ C=72°，
∵ BD 平分∠ ABC，
∴ ∠ ABD=∠ CBD=36°，
∵ ∠ CBD=∠ A=36°，∠ C=∠ C，
∴ △ ABC∽ △ BCD；
（2）∵ ∠ A=∠ ABD=36°，
∴ AD=BD，
∵ BD=BC，
∵ AB=AC，AF⊥BC，∴ BF=CF= 1 BC=1， 2
BF 1 10
在 RtΔAFB 中，BF=1，∴ AB= cos B 10
；
10
（2）连接 DG，
∵ AF⊥BC，BF=CF，∴ AG 为⊙O 的直径，∴ ∠ ADG=∠ AFE=90°，
又∵ ∠ DAG=∠ FAE，∴ △ DAG∽ △ FAE，
性质可得 AD•AE=AF•AG，连接 BG，求得 AF=3，FG= 1 ，继而即可求得 AD•AE 的值； 3
（3）连接 CD，延长 BD 至点 N，使 DN=CD，连接 AN，通过证明△ ADC≌ △ ADN，可得 AC=AN，继而可得 AB=AN，再根据 AH⊥BN，即可证得 BH=HD+CD. 【详解】（1)过 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，交⊙O 于 G，
OD 5
OD 5
∴ DN 72 ， ON 54 .
25
25
∴
点
D
的坐标为
54 25
,
72 25
.
(Ⅱ)①∵ 矩形 DAFE 是由矩形 AOBC 旋转得到的， ∴ OA AD 3, ADE 90, DE AB 4 . ∴ OD AD . ∴ DOA ODA . 又∵ DOA OBA 90 ， BDH ADO 90 ∴ ABD BDE .
4
42
【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角
形．
3．在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 O0,0 ，点 A3,0 ，点 C 0,4 ，
连接 OB ，以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOCB ，旋转角为 0 360 ，得到
矩形 ADEF ，点 O,C, B 的对应点分别为 D, E, F . (Ⅰ)如图，当点 D 落在对角线 OB 上时，求点 D 的坐标； (Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下， AB 与 DE 交于点 H . ①求证 BDE DBA ；
又∵ BD BD ， ∴ ΔBDE ΔDBA . ②由 ΔBDE ΔDBA ，得 BEH DAH， BE AD 3 ， 又∵ BHE DHA ， ∴ ΔBHE ΔDHA .
∴ DH=BH，
设 AH x ，则 DH BH 4 x ，
在 RtΔADH 中， AH2 AD2 DH2 ，
（2）根据（1）结论得到 AD=BD=BC，根据 AD+DC 表示出 AC，由（1）两三角形相似得比
例求出 x 的值即可；
（3）过 B 作 BE 垂直于 AC，交 AC 于点 E，在直角三角形 ABE 和直角三角形 BCE 中，利用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
锐角三角函数定义求出 cos36°与 cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．
180°< <360°时两种情况，根据 FB=FA 可得 OA=OB，利用勾股定理求出 FO 的长，由余弦
的定义即可求出∠ BAF 的度数. 【详解】
(Ⅰ)∵ 点 A3，0，点 C 0，4 ，
∴ OA 3,OC 4 .
∵ 四边形 OABC 是矩形， ∴ AB=OC=4，
∵ 矩形 DAFE 是由矩形 AOBC 旋转得到的 ∴ AD AO 3.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定 与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
2．如图，等腰△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=36°，BC=1，点 D 在边 AC 上且 BD 平分∠ ABC， 设 CD=x． （1）求证：△ ABC∽ △ BCD； （2）求 x 的值； （3）求 cos36°-cos72°的值．
△ DBA≌ △ BDE；②根据△ DBA≌ △ BDE 可得∠ BEH=∠ DAH，BE=AD，即可证明
△ BHE≌ △ DHA，可得 DH=BH，设 AH=x，在 Rt△ ADH 中，利用勾股定理求出 x 的值即可得
答案；（Ⅲ）如图，过 F 作 FO⊥AB，由性质性质可得∠ BAF= ，分别讨论 0< ≤180°时和
∴ AD：AF=AG：AE，
∴ AD•AE=AF•AG，
连接 BG，则∠ ABG=90°，∵ BF⊥AG，∴ BF2=AF•FG，
∵ AF= AB2 BF 2 =3，
∴ FG= 1 ， 3
∴ AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3× 10 =10； 3
（3）连接 CD，延长 BD 至点 N，使 DN=CD，连接 AN， ∵ ∠ ADB=∠ ACB=∠ ABC，∠ ADC+∠ ABC=180°，∠ ADN+∠ ADB=180°， ∴ ∠ ADC=∠ ADN， ∵ AD=AD，CD=ND， ∴ △ ADC≌ △ ADN， ∴ AC=AN， ∵ AB=AC，∴ AB=AN， ∵ AH⊥BN， ∴ BH=HN=HD+CD.
在 RtOAB 中， OB OA2 AB2 5， 过 A、D 分别作 AM OB, DN OA
在 RtΔOAM 中， cos BOA OM OA 3 ， OA OB 5
∴ OM 9 5
∵ AD=OA，AM⊥OB，
∴ OD 2OM 18 . 5
在 RtΔODN 中： sin BOA DN 4 ，cos∠ BOA= ON = 3 ，
(3)在点 D 的运动过程中，过 A 点作 AH⊥BD，求证： BH CD DH .
【答案】(1) AB 10 ；(2) AD AE 10 ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，交⊙O 于 G，由垂径定理可得 BF=1，再根据已 知结合 RtΔAFB 即可求得 AB 长； （2）连接 DG，则可得 AG 为⊙O 的直径，继而可证明△ DAG∽ △ FAE，根据相似三角形的
当 x＝0 时，y＝2；当 y＝0 时，x＝﹣4， ∴ A（﹣4，0），B（0，2），
把
A、B
的坐标代入
y＝﹣
1
x2+bx+c
得：
b
3 2
，，
2
c 2
∴ 抛物线的解析式为： y 1 x2 3 x 2 22
（2）当 x≥0 或 x≤﹣4 时， 1 x+2≥﹣ 1 x2+bx+c
2
2
（3）如图，过 D 点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 E，
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，△ ABC 内接于⊙O， BC 2, AB AC ，点 D 为 AC 上的动点，且 cosB 10 . 10
(1)求 AB 的长度；
(2)在点 D 运动的过程中，弦 AD 的延长线交 BC 的延长线于点 E，问 AD•AE 的值是否变化？ 若不变，请求出 AD•AE 的值；若变化，请说明理由.
∴ OA= 1 AB=2， 2
∴ cos∠ BAF= OA = 1 ， AF 2
∴ ∠ BAF=60°，即 α =60°， 当 180°< α <360°时，
同理解得：∠ BAF′=60°，
∴ 旋转角 α =360°-60°=300°.
综上所述： α 60 或 300 .
【点睛】 本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知
即 x2 32 4 x2 ，得 x 25 ，
8
∴ AH 25 . 8
∴
点
H
的坐标为
3,
25 8
.
(Ⅲ)如图，过 F 作 FO⊥AB，
当 0< α ≤180°时，
∵ 点 B 与点 F 是对应点，A 为旋转中心，
∴ ∠ BAF 为旋转角，即∠ BAF= α ，AB=AF=4，
∵ FA=FB，FO⊥AB，
【点睛】 本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次 函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类 讨论是第（3）题的难点．
5．阅读下面材料：
观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ ABC 中，∠ A、∠ B、∠ C 的对
∴ AD=BD=CD=1，
设 CD=x，则有 AB=AC=x+1，
∵ △ ABC∽ △ BCD，
∴ AB BC ，即 x 1 1 ，
BD CD
1x
整理得：x2+x-1=0，
解得：x1= 1 5 ，x2= 1 5 （负值，舍去），
2
2
则 x= 1 5 ； 2
（3）过 B 作 BE⊥AC，交 AC 于点 E，
【答案】(1)证明见解析；（2） 1 5 ；（3） 7 5 8 ．
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【解析】
试题分析：（1）由等腰三角形 ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由 BD 为角平分线
求出∠ DBC 的度数，得到∠ DBC=∠ A，再由∠ C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得
到三角形 ABC 与三角形 BCD 相似；
识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
4．如图，直线 y＝ 1 x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y＝﹣ 1 x2+bx+c 经过
2
2
A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足 1 x+2≥﹣ 1 x2+bx+c 的 x 的取值范围；