(完整版)高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题

一．解答题（共18小题）

1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．

（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；

（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．

3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）

（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，

（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．

6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，

点F在线段AB上，且EF∥BC．

（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．

7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，

（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；

（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；

8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

9．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；

（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

10．如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．

（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面BCD⊥平面ABC．

11．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．

（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．

12．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平

面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．

求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．

13．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；

（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．

14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC 与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR

（1）求证：C1Q⊥平面PQR；

（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．

16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．

17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．

根据图乙解答下列各题：

（Ⅰ）求证：CB⊥DE；

（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；

（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

18．如图：是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E为

FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．

（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；

（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；

（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE的体积．

必修2空间立体几何大题

参考答案与试题解析

一．解答题（共18小题）

1．（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；

（2）求证：平面MOC⊥平面V AB

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

专题：综合题；空间位置关系与距离．

分析：（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面

MOC；

（2）证明：OC⊥平面V AB，即可证明平面MOC⊥平面V AB

（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．

解答：（1）证明：∵O，M分别为AB，V A的中点，

∴OM∥VB，

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（2）∵AC=BC，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

∵平面V AB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC⊂平面MOC，

∴平面MOC⊥平面V AB

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，

∴S△V AB=，

∵OC⊥平面VAB，

∴V C﹣V AB=•S△V AB=，

∴V V﹣ABC=V C﹣V AB=．

点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用

线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．

2．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．