通信网理论基础答案
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通信网理论基础
第二章习题
2.2 求M/M/m （n ）中，等待时间w 的概率密度函数。 解：
M/M/m （n ）的概率分布为：
1
1010011!)(!)(--=--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+=∑m r m n m k m m p k m p ρρρρ
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>≤≤-≤≤=n
k n k m p k m m k p k m p k
m k
k 0!10!)(00ρρ
假定n>m ，n ≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x 的概率。
∑=>∙=>n
j j j x w P p x w P 0
}{}{
其中，P j {w>x}的概率为：
n
j m x w P n j m i x m e
x w P m j x w P j m
j i i
x
m j j ≤≤=>-≤≤⋅
=>
-≤≤=>∑-=-1
}{1!
)(}{1
00
}{0
μμ 可得：
x
m m n
n i m m n i i x m m n m j n m j i i x m j m n
n m
j m
j i i x
m j e
m m P x w P 则
若n P i x m e P m m i x m e P m m P i x m e
P x w P )(010
01001
!
)(1}{1!)(!!)(!!
)(}{λμμμμρρρρρμρμρμ--+--=--=-=--=-=-⋅-=>∞→+--⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=+⋅⋅=>∑∑∑∑∑
特别的，新到顾客需等待的概率为：
!
)(1}0{0m m P W P m
ρρ⋅
-=>
]
)!
1()()!1()(!)()([)1(!)(而
1
2
10--------=----=---∑m n m m m n x m i x m e m P m x f m n n
m n i m n m i m x m m w μλμρλμρλλμρρμ
n
m k k
x
m m m w P w P P w P 注：
e m m P m x
f 在n =∞===--=∞→∑-=--}{}0{)()
1(!)(10
)(0
λμλμρρ
2.4求M/D/1排队问题中等待时间W 的一、二、三阶矩m 1、m 2、m 3，D 表示服务时间为定值b ，到达率为λ。 解：
)
()
1()(S B s s s G λλρ+--=
其中 sb st e dt e b t s B -∞
-=-=
⎰
)()(δ
从而
sb
e s s s G -+--=λλρ)
1()( 又 ∑∞
==0
)(i i
i
s g s G
)1(!
)(00ρλλ-=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-⋅+-⎪⎭⎫
⎝⎛∴∑∑∞
=∞=s j sb s s g j j i i i
b g λρ--=110 2
21)
1(2)1(b b g λρλ---= 34232)1(12)2)(1(b b b g λλλρ-+-=
3
4
3323
222
114
43)1(4)21(6)0()1(6)2(2)0()
1(2)0()
()1(24)1)(21(ρλρρλρρλρλλλρλ-+=
⨯='''-=-+=
⨯=''=-=
-='-==--+-=b g G m b g G m b g G m b b b b g
2.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W ，其中B 是二阶指数分布：
100
,)1()(212121<<>-+=--αλλλααλλλt
t e e t f
解：M/B/1
()[]
2
2122122212
221221
12
22
122
1122
110
)1(1)1(1)
1(22)0(1)0()1()()(λλλαλαλλλλαλλαλρλλαλαλλρλαλα
λαλαλλαλαλ---+-=
-=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-+==-+
=
''=-+=
'-=+-+
+==⎰
∞
-m w w B w B w s
s dt e t f S B st
B/M/1
)
))(21(2)(11()
)(21(2)(11)
1(2))(21(2)(1110)1()
(21221212122121212212122
112
2
1
1
ρραρρρρμρραρρρρσμσρραρρρρσαλμσμλαλμσμαλσρμλρμ
λμσμσ--+-++----+-+-++=
-=
--+-+-++=
<<+--+
+-===-=w 的根
取令
B
B/B/1
设到达的概率密度函数为t t e e t f 2121)1()(λλλααλ---+=
设离去的概率密度函数为t t e e t f 4343)1()(λλλααλ---+=
假设423
121
λλλλααα====
()[]
[]2
12222122212221212121'
021210
2121212142221214
22
212221
2211221122
11)1(2)2()1())1(()()()())(()()
()()(lim
)
)(()()()
)(()()()
)()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(λλααλααλαλααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλααλλλ
λλαλαλλλαλαλλλαλαλ---+-=-+-+=
+-=
-=+++=
Φ=
=Φ=---=
Φ+++=
Φ++---=++----+-+=
-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--+-++=
==++→-+t 其中
t
t
s S w s t s s k s S s k s w t
s s k s s s t s s s s s t s s 取
s s s s s s t s s s s s s s s s s s B s A s
s s B s A s w w s