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8.3 动态查找表
特点： 表结构在查找过程中动态生成。 要求： 对于给定值key,
若表中存在其关键字等于key的记录，则查找成功返回； 否则插入关键字等于key 的记录。
典型的动态表———二叉排序树 一、二叉排序树的定义 二、二叉排序树的插入与删除 三、二叉排序树的查找分析 四、平衡二叉树
1
三、二叉排序树的查找分析
10
(4) 每个非终端结点的结构为： n p0 k1 p1 k2 p2 … kn pn
其中,n为该结点中的关键字个数,除根结点外,其
他所有结点的n大于等于m/2-1,且小于等于m-1；
ki(1≤i≤n) 为 该 结 点 的 关 键 字 且 满 足 ki ＜ ki+1 ； pi(0≤i≤n)为该结点的孩子结点指针且满足pi(0≤i≤n-1) 所指子树中所有结点上的关键字大于等于ki且小于 ki+1, pn结点上的关键字大于kn。
6
3）LR平衡旋转：
若在A的左子树的右子树上插入 结点，使A的平衡因子从1增加至 2，需要先进行逆时针旋转，再 顺时针旋转。
(以插入的结点C为旋转轴）
4）RL平衡旋转：
若在A的右子树的左子树上插入结 点，使A的平衡因子从-1增加至-2， 需要先进行顺时针旋转，再逆时 针旋转。
(以插入的结点C为旋转轴）
最坏情况：即插入的n个元素从一开始就有序。（单支树） 此时树深为n ; ASL= (n+1)/2 ; 与顺序查找情况相同。
最好情况：即：与折半查找中的判定树相同 （形态均衡） 此时树深为：log 2n +1 ； ASL=log 2(n+1) –1 ；与折半查找情况相同。
n 一般情况： ASL 2(1 1 ) ln n （与 log n 同阶）
例：判断下列二叉树是否AVL树？
-1
2
1 -1
-1
0
0
0
1
0
1
0 0
(a) 平衡树
(b) 不平衡树
4
如果在一棵AVL树中插入一个新结点，就有可能 造成失衡，此时必须重新调整树的结构，使之恢 复平衡。我们称调整平衡过程为平衡旋转。
平衡旋转可以归纳为四类： ❖ LL平衡旋转 ❖ RR平衡旋转 ❖ LR平衡旋转 ❖ RL平衡旋转
问题：如何提高二叉排序树的查找效率？ 尽量让二叉树的形状均衡
平衡二叉树
2
四、平衡二叉树
平衡二叉树又称AVL树，它是具有如下性质的 二叉树： •左、右子树是平衡二叉树； •所有结点的左、右子树深度之差的绝对值≤ 1
即|左子树深度-右子树深度|≤ 1
为了方便起见，给每个结点附加一个数字，给 出该结点左子树与右子树的高度差。这个数字
B-树中所有结点的孩子结点最大值称为B-树的阶, 通常用m表示,从查找效率考虑,要求m≥3。一棵m阶B树或者是一棵空树,或者是满足下列要求的m叉树：
(1) 树中每个结点至多有m个孩子结点；
(2) 除根结点外,其他非终端结点至少有m/2个孩子 结点；
(3) 若根结点不是叶子结点,则根结点至少有两个孩 子结点；
称为结点的平衡因子balance。这样，可以得到
AVL树的其它性质：
3
❖ 任一结点的平衡因子只能取：-1、0 或 1；如果 树中任意一个结点的平衡因子的绝对值大于1， 则这棵二叉树就失去平衡，不再是AVL树；
❖ 对于一棵有n个结点的AVL树，其高度保持在 O(log2n)数量级，ASL也保持在O(log2n)量级。
13
将k与根结点中的k [i]进行比较： (1) 若k=k [i],则查找成功； (2) 若k＜k [1],则沿着指针p [0]所指的子树继
续查找； (3) 若k [i]＜k＜k [i+1],则沿着指针p [i]所指的
子树继续查找； (4) 若k＞k [n],则沿着指针p [n]所指的子树继
续查找。
90
0 53 0 53
0
90
8
【严题集9.9③】已知如下所示长度为12的表：
（Jan, Feb, Mar, Apr, May, June, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec）
1.试按表中元素的顺序依次插入一棵初始为空的二 叉排序树，画出插入完成之后的二叉排序树， 并求其在等概率的情况下查找成功的平均查找 长度。
现分别介绍这四种平衡旋转。
5
1）LL平衡旋转：
若在A的左子树的左子树上插入 结点，使A的平衡因子从1增加至 2，需要进行一次顺时针旋转。
(以B为旋转轴）
2）RR平衡旋转：
若在A的右子树的右子树上插入 结点，使A的平衡因子从-1增加 至-2，需要进行一次逆时针旋转。
(以B为旋转轴）
A
B
C
A
A B
AC
(5) 所有叶子结点都在同一层上,即B-树是所有结
点的平衡因子均等于0的多路查找树。
11
1 • 51 •
2 • 11 • 30 •
2 • 66 • 78 •
2 ∧ 2 ∧ 7 ∧ 3 ∧ 12 ∧ 15 ∧ 22 ∧ 2 ∧ 35 ∧ 41 ∧ 3 ∧ 53 ∧ 54 ∧ 63 ∧ 4 ∧ 68 ∧ 69 ∧ 71 ∧ 76 ∧ 3 ∧ 79 ∧ 84 ∧ 93 ∧
A
CB
B
AC
A
CB
CA
B
这种调整规则可以保证二叉排序树的次序不变
7
例：请将下面序列构成一棵平衡二叉排序树： （ 13，24，37，90，53）
-012 13
需要RR平衡旋转 (绕B逆转,B为根）
-01 24
0 37
0 37
-01
需要RL平衡旋转 (绕C先顺后逆）
24
Leabharlann Baidu
0
-012
13
3573
0
01
37
14
2. B-树的插入 将关键字k插入到B-树的过程分两步完成：
一棵5阶B-树
12
1. B-树的查找 在B-树中查找给定关键字的方法类似于二叉排序
树上的查找,不同的是在每个记录上确定向下查找的 路径不一定是二路(即二叉)的,而是n+1路的。因为记 录内的关键字序列是有序的数量key[1..n],故既可以 用顺序查找,也可以用折半查找。在一棵B-树上顺序 查找关键字为k的方法为：
2.若对表中元素先进行排序构成有序表，求在等概 率的情况下对此有序表进行折半查找时查找成 功的平均查找长度。
3.按表中元素顺序构造一棵平衡二叉排序树，并求 其在等概率的情况下查找成功的平均查找长度。 新建 Microsoft Word 文档 (2).doc
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五 B-树
B-树又称为多路平衡查找树,是一种组织和维护外 存文件系统非常有效的数据结构。
特点： 表结构在查找过程中动态生成。 要求： 对于给定值key,
若表中存在其关键字等于key的记录，则查找成功返回； 否则插入关键字等于key 的记录。
典型的动态表———二叉排序树 一、二叉排序树的定义 二、二叉排序树的插入与删除 三、二叉排序树的查找分析 四、平衡二叉树
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三、二叉排序树的查找分析
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(4) 每个非终端结点的结构为： n p0 k1 p1 k2 p2 … kn pn
其中,n为该结点中的关键字个数,除根结点外,其
他所有结点的n大于等于m/2-1,且小于等于m-1；
ki(1≤i≤n) 为 该 结 点 的 关 键 字 且 满 足 ki ＜ ki+1 ； pi(0≤i≤n)为该结点的孩子结点指针且满足pi(0≤i≤n-1) 所指子树中所有结点上的关键字大于等于ki且小于 ki+1, pn结点上的关键字大于kn。
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3）LR平衡旋转：
若在A的左子树的右子树上插入 结点，使A的平衡因子从1增加至 2，需要先进行逆时针旋转，再 顺时针旋转。
(以插入的结点C为旋转轴）
4）RL平衡旋转：
若在A的右子树的左子树上插入结 点，使A的平衡因子从-1增加至-2， 需要先进行顺时针旋转，再逆时 针旋转。
(以插入的结点C为旋转轴）
最坏情况：即插入的n个元素从一开始就有序。（单支树） 此时树深为n ; ASL= (n+1)/2 ; 与顺序查找情况相同。
最好情况：即：与折半查找中的判定树相同 （形态均衡） 此时树深为：log 2n +1 ； ASL=log 2(n+1) –1 ；与折半查找情况相同。
n 一般情况： ASL 2(1 1 ) ln n （与 log n 同阶）
例：判断下列二叉树是否AVL树？
-1
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1 -1
-1
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0 0
(a) 平衡树
(b) 不平衡树
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如果在一棵AVL树中插入一个新结点，就有可能 造成失衡，此时必须重新调整树的结构，使之恢 复平衡。我们称调整平衡过程为平衡旋转。
平衡旋转可以归纳为四类： ❖ LL平衡旋转 ❖ RR平衡旋转 ❖ LR平衡旋转 ❖ RL平衡旋转
问题：如何提高二叉排序树的查找效率？ 尽量让二叉树的形状均衡
平衡二叉树
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四、平衡二叉树
平衡二叉树又称AVL树，它是具有如下性质的 二叉树： •左、右子树是平衡二叉树； •所有结点的左、右子树深度之差的绝对值≤ 1
即|左子树深度-右子树深度|≤ 1
为了方便起见，给每个结点附加一个数字，给 出该结点左子树与右子树的高度差。这个数字
B-树中所有结点的孩子结点最大值称为B-树的阶, 通常用m表示,从查找效率考虑,要求m≥3。一棵m阶B树或者是一棵空树,或者是满足下列要求的m叉树：
(1) 树中每个结点至多有m个孩子结点；
(2) 除根结点外,其他非终端结点至少有m/2个孩子 结点；
(3) 若根结点不是叶子结点,则根结点至少有两个孩 子结点；
称为结点的平衡因子balance。这样，可以得到
AVL树的其它性质：
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❖ 任一结点的平衡因子只能取：-1、0 或 1；如果 树中任意一个结点的平衡因子的绝对值大于1， 则这棵二叉树就失去平衡，不再是AVL树；
❖ 对于一棵有n个结点的AVL树，其高度保持在 O(log2n)数量级，ASL也保持在O(log2n)量级。
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将k与根结点中的k [i]进行比较： (1) 若k=k [i],则查找成功； (2) 若k＜k [1],则沿着指针p [0]所指的子树继
续查找； (3) 若k [i]＜k＜k [i+1],则沿着指针p [i]所指的
子树继续查找； (4) 若k＞k [n],则沿着指针p [n]所指的子树继
续查找。
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【严题集9.9③】已知如下所示长度为12的表：
（Jan, Feb, Mar, Apr, May, June, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec）
1.试按表中元素的顺序依次插入一棵初始为空的二 叉排序树，画出插入完成之后的二叉排序树， 并求其在等概率的情况下查找成功的平均查找 长度。
现分别介绍这四种平衡旋转。
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1）LL平衡旋转：
若在A的左子树的左子树上插入 结点，使A的平衡因子从1增加至 2，需要进行一次顺时针旋转。
(以B为旋转轴）
2）RR平衡旋转：
若在A的右子树的右子树上插入 结点，使A的平衡因子从-1增加 至-2，需要进行一次逆时针旋转。
(以B为旋转轴）
A
B
C
A
A B
AC
(5) 所有叶子结点都在同一层上,即B-树是所有结
点的平衡因子均等于0的多路查找树。
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1 • 51 •
2 • 11 • 30 •
2 • 66 • 78 •
2 ∧ 2 ∧ 7 ∧ 3 ∧ 12 ∧ 15 ∧ 22 ∧ 2 ∧ 35 ∧ 41 ∧ 3 ∧ 53 ∧ 54 ∧ 63 ∧ 4 ∧ 68 ∧ 69 ∧ 71 ∧ 76 ∧ 3 ∧ 79 ∧ 84 ∧ 93 ∧
A
CB
B
AC
A
CB
CA
B
这种调整规则可以保证二叉排序树的次序不变
7
例：请将下面序列构成一棵平衡二叉排序树： （ 13，24，37，90，53）
-012 13
需要RR平衡旋转 (绕B逆转,B为根）
-01 24
0 37
0 37
-01
需要RL平衡旋转 (绕C先顺后逆）
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Leabharlann Baidu
0
-012
13
3573
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2. B-树的插入 将关键字k插入到B-树的过程分两步完成：
一棵5阶B-树
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1. B-树的查找 在B-树中查找给定关键字的方法类似于二叉排序
树上的查找,不同的是在每个记录上确定向下查找的 路径不一定是二路(即二叉)的,而是n+1路的。因为记 录内的关键字序列是有序的数量key[1..n],故既可以 用顺序查找,也可以用折半查找。在一棵B-树上顺序 查找关键字为k的方法为：
2.若对表中元素先进行排序构成有序表，求在等概 率的情况下对此有序表进行折半查找时查找成 功的平均查找长度。
3.按表中元素顺序构造一棵平衡二叉排序树，并求 其在等概率的情况下查找成功的平均查找长度。 新建 Microsoft Word 文档 (2).doc
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五 B-树
B-树又称为多路平衡查找树,是一种组织和维护外 存文件系统非常有效的数据结构。