线性代数自考知识点汇总

线性代数自考知识点汇总 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

行列式

1. 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.

推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.

如a b c

a b c 0a b c

'''= 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.

如11

121311121321

222321

222331

32

33

31

32

33

a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．

如a b c

a b c 0ka kb kc

'''= 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.

如11

12131112131112

13

21212222

2323

21222321

222331

32

33

31

32

33

31

32

33

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.

如11

121311121321

222321222331

32

33

3111

3212

3313

a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++

2. 余子式与代数余子式

在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i j ij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．

如11

1213

21

22233132

33

a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为11122331

32a a M a a =

，

元素23a 的代数余子式为111223232331

32

a a A (1)M a a +=-=-.

3. 行列式按行（列）展开法则

定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

1122i i i i in in D a A a A a A =++

+或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++

()1,2,

,;1,2

i n j n ==

如11

1213

21

222331

32

33

a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等

于零，即

12120,j j i i jn i n a A a A a A ++

+=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j ++

+=≠

()1,2,

,;1,2

i n j n ==

4. 行列式的计算 （1）二阶行列式1112

112212212122

a a a a a a a a =- （2）三阶行列式

111213

21222331

32

33

a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---

（3）对角行列式

1

2

12

n n

λλλλλλ=，

n(m 1)2

1

2

12n n

(1)

λλλλλλ-=-

（4）三角行列式

1111

121n 2122222n 1122nn n1

n2nn

nn

a a a a a a a a a a a a a a a =

=

111,n 11n

1n n(n 1)212,n 1

2,n 1

2n 2

1n 2,n 1n1n1

n1

n2

nn

a a a a a a a a (1)

a a a a a a a -----==-

（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值. （6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.

（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.

矩阵

1. 常见矩阵

1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.

3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 22

2n nn a a a a a a ⎛⎫

⎪

⎪

⎪ ⎪⎝⎭ 4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1

n2

nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

5）对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若T A A =，即ij ji a a =，则称A 为对称矩阵.