热力学与统计物理学的研究方法

能量： 能量球

1 2 2 ( px py p z2 ) 2m
r 2m
轨迹： 以一维自由粒子为例，以 x, p x 为直角坐标， 构成二维的 空间，设一维容器的长度为 。 ( x, p x ) 粒子的一个运动状态 可以用 空间在 L 一定范围内的一点代表。
px
px
O
L
x
二、线性谐振子
在外场B中的势能为
e e U B mS B B m 2m
二、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为
1 n (n ) 2 n 0,1,2,
所有能级等间距，均为 。能级为非简并。
三、转子

转子的能量 量子理论要求
M2 2I
宏观理论
（热力学）
微观理论
（统计物理学）
研究对象 物 理 量 出 发 点 方 法
热现象
宏观量 观察和实验 总结归纳 逻辑推理
热现象
微观量 微观粒子 统计平均方法 力学规律
优 点
缺 点 二者关系
普遍，可靠 不深刻
揭露本质
无法自我验证
热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热 力学本质
动力学规律:
确定性的理论. 在一定的初始条件下,某一时刻系统必然处于 一定状态. 统计规律: 非确定性的理论. 由于宏观系统中粒子数的巨大和粒子相互作 用的随即性,无法跟踪单个粒子进行研究,也使得 系统整体具有了不能归结为单个粒子行为简单叠 加的新性质和新规律,即统计性质和统计规律.
前排右起依次为叶企孙、张奚若、陈毅、吴晗。后排右起为
潘光旦、张子高、周培源
他在30年代创建了颇负盛名的清华物理学系 和理学院，聘请名教授来校，实行"理论与实验 并重，重质而不重量"的办学方针，培养出一批 高质量的人才，对我国科学事业发展和清华大 学在短期内跻身于名大学之林作出重要贡献。 他在主持清华大学校务委员会期间，和校党委 密切配合，贯彻党和政府对高等教育有步骤的 进行改造的方针和院系调整的措施。
M 2I 2I p
2 2
能量简化为
M
r
p
§6.2 粒子运动状态的量子描述 微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性）
德布罗意关系：

p k
测不准关系
其中
qp h
34
h 2 6.62610 J s
都称为普朗克常数。
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动 地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运 动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或 量子数来描述的。 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于 粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,称为能级.如果一个能 级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能 级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只 有量子态，该能级称为非简并的。
一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit) 电子、质子、中子等粒子具有内禀角动量（自旋） 和内禀磁矩,关系为

S

e m
自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取两个值
1 S z mS 2
在外场B中的磁矩为
eB eB z mS m 2m
1 自旋量子数为 mS 2
x
三、转子 考虑质量为 m 的质点被具有一定长度的轻杆系于原 点 O 时所作的运动。 质点在直角坐标下的能量： 用球坐标表示，
1 2 y 2 z 2 ) m( x 2
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
z

o
A
y

x
考虑质点和原点的距离保持不变，
在V=L3内，符合上式的量子态数：
L 3 dn x dn y dn z ( ) dp x dp y dp z 2
qp h
r
微观粒子的运动必须遵守测不准关系，不可 能同时具有确定的动量和坐标，所以量子态不能 用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标 和广义动量来描述量子态，那么一个状态必然对 应于 空间中的一个体积元，而不是一个点，这 个体积元称为量子相格。自由度为1的粒子，相 格大小为普朗克常数 qp h 如果自由度为 r
2
2 r 2 sin 2 2) 2 r 2 m( r
考虑质点和原点的距离保持不变
1 2 r 2 sin 2 2) m(r 2 2
0 r
，于是
自由度：
2
μ空间维数：4
广义坐标：
q1 (0 ~ ), q2 (0 ~ 2 )
p1 p r 2 p2 p r 2 sin 2
nx
nx , ny , nz 0,1,2,
量子数：3个
nx , ny , nz
能量的可能值为
p p p p 2 n n n n 2m 2m m L
2 2 x 2 y 2 z 2 2 2 x 2 y 3 2 z
基态能级为非简并，激发态为6度简并。
（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的分离 性很显著，粒子运动状态由三个量子数表征。 能量值决定于 对于
2 x 2 2 2 x
基态能级为非简并，激发态为二度简并。
三维自由粒子 考虑处于长度为 L 的三维容器中自由粒子的 运动状态。 假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运 动，仿照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动 量的可能值为 2
L
px
L 2 py ny L 2 pz nz L
伽尔顿板实验
统计规律性的特点 (1)对大量随机事件整体起作用,对少量粒子组成的 系统失去意义.
(2)在一定的宏观条件下,某一时刻系统处在哪一个 微观态是偶然的,但处于某一微观态的概率是确 定的.改变宏观条件,不仅微观态发生变化,而且系 统处在一微观态的概率也随之改变.
统计规律性的特点 (3)统计规律永远伴随着涨落.
M 2 l (l 1) 2 l 0,1,2,
M Z m, m l ,l 1,, l
所以：
l (l 1) 2 l 0,1,2, l 2I
基态非简并，激发态简并，简并度： 2l 1
四、自由粒子 一维自由粒子 考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子的运 动状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状 态，其德布罗意波长 满足
1 1 2 ( p2 p ) 2 2I sin M2 2I
广义动量：
能量：

双原子分子的力学模型： 将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质 量为 m1 和 m2 的两个质点绕其质心的转动。然后 将两体问题转化为单体问题，即将公式中的 m 换成约化质量
m1m2 m1 m2
r sin sin r sin cos r sin sin x
r sin cos r sin cos r cos sin y
cos r sin r z

考虑质点和原点的距离保持不变， 考虑质点和原点的距离保持不变 1
叶企孙小传
叶企孙，男，汉族，教授。著名物理学家、 教育家。上海人。1918年6月清华学校毕业留美， 1923年获哈佛大学博士学位。1925年后历任清华 大学教授、物理学系主任、理学院院长，西南 联合大学教授、理学院院长，清华大学校务委 员会主任委员。1952年院系调整时调入北京大 学。他还是中国科学院数学物理学部委员、常 委。
m2


m1
质心
根据经典力学，在没有外力作用的情形下， 转子的总角动量 M r p 是一个守恒量，其大小 和时间都不随时间改变。由于 r 垂直于 M ，质点 的运动是在垂直于 M 的平面内运动。如果选择 轴 z 平行于 M ，质点的运动必在 xy 平面上， 这时
2 , p 0
L nx , 又：k x 2 nx 0,1,2,
2 kx nx , nx 0,1,2, L 代入德布罗意关系式： p x k x 2 px nx L

因此，一维自由粒子的量子数：1个 nx
p 2 n n 0,1,2, x nx 2m m L
求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
在V=L3内，Px到Px+dPx， Py到Py+dPy，Pz到 Pz+dPz间可能的Px， Py， Pz的数目为
L dnx dpx 2 L dny dpy 2 L dnz dpz 2
2 2 2 nx ny nz
2 2 2 2 2 2 nx n y nz 1 m
有六个量子态与之对应，
(1,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,1)
所以该能级为六度简并，而基态为非简并。
（2）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是 准连续的，这时往往考虑在体积 V L3 内，在 一定的动量范围内的自由粒子量子态数。
质量为 m 的粒子在弹性力 f Ax 作用下,将在原点附近 作圆频率为 A m 的简谐振动，称为线性谐振子。
自由度： 1 μ空间维数：2
广义坐标：q x 广义动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 2m 2
p2 x2 1 2 2m m 2
p
能量： 能量椭圆
23位两弹一星功勋奖章获得者，半数以上是 他的学生。121运动负责与政府交涉开追悼会； 破格提拔华罗庚；邀请朗之万、狄拉克和玻尔 访华；中国物理学会设立叶企孙物理学奖（固 体物理）。早在读博士时，他就以论文《普朗 克（Planck）常数的测定》而名声大噪。