§11.1椭圆(新考案)

§11.1 椭 圆

1.(2020届陕西宝鸡模拟)已知F 1,F 2是两定点,|F 1F 2|=4,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=4,则动点M 的轨迹是(

).

A .椭圆

B .直线

C .圆

D .线段

【解析】因为|F 1F 2|=4,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=4=|F 1F 2|,所以点M 在线段F 1F 2上,故选D .

【答案】D

2.(2020届安徽亳州测试)已知焦点在y 轴上的椭圆x 24+y 2

a =1(a>0)的焦距为4√3,则a=(

).

A .8

B .12

C .16

D .52

【解析】因为焦点在y 轴上的椭圆x 24+y 2a

=1(a>0)的焦距为4√3,所以2√a -4=4√3,解得a=16,故选C . 【答案】C

3.(2020届广西桂林摸底联考)已知焦点在x 轴,中心在坐标原点的椭圆上的点到两焦点的距离之和为6.若该椭圆的离心率为13

,

则该椭圆的方程是( ). A .x 24

+y 2=1 B .x 29+y 28

=1 C .x 24+y 23=1

D .x 28+y 29

=1

【解析】由题意知,e=13

,2a=6,∴a=3,c=1,∴b 2=8,

∴该椭圆的方程是x 29+y 2

8=1,故选B .

【答案】B

4.(2020届福建四校联考)已知椭圆x 2

a 2+y

2

b

2=1(a>b>0)的上、下、左、右顶点分别为A ,B ,C ,D ,且左、右焦点分别为F 1,F 2,若以F 1F 2为直径的圆内切于菱形ACBD ,则椭圆的离心率e 为( ).

A .12

B .

√3-1

2

C .

1+√5

2 D .

-1+√5

2

【解析】菱形ACBD 的一边AD 所在直线方程为x a +y b

=1,即bx+ay-ab=0. 由题意知,坐标原点O 到AD 的距离d=

√a 2+b =c ,整理可得c 4-3a 2c 2+a 4=0,即e 4-3e 2+1=0,解得e 1=

-1+√52,e 2=1-√5

2

(舍去),∴椭圆的离心率e=

-1+√5

2

. 【答案】D

5.(2020届广东惠州调研)设F 1,F 2为椭圆x 2

9+y 2

5=1的两个焦点,点P 在椭圆上.若线段PF 1的中点在y 轴上,则|PF 2|

|PF 1

|

的值为( ).

A .514

B .59

C .49

D .513

【解析】

如图,设线段PF 1的中点为M ,因为O 是F 1F 2的中点,所以OM ∥PF 2,可得PF 2⊥x 轴,所以|PF 2|=b 2

a

=53,|PF 1|=2a-|PF 2|=133

,故

|PF 2||PF 1|=5

13

,故选D .

【答案】D

6.(本题为多项选择题)已知椭圆C 的中心为坐标原点,焦点F 1,F 2在y 轴上,短轴长等于2,离心率为√63,过焦点F 1作y 轴的垂线交

椭圆C 于P ,Q 两点,则下列说法正确的是( ). A .椭圆C 的方程为y 23

+x 2=1 B .椭圆C 的方程为x 23+y 2=1 C .|PQ|=

2√3

3

D .△PF 2Q 的周长为4√3

【解析】

由已知得,2b=2,b=1,c a =√6

3

,又

a 2=

b 2+

c 2,解得a 2=3,∴椭圆C 的方程为

x 2+y 23

=1,|PQ|=2b 2a

=

√3

=

2√3

3

,△PF 2Q 的周长为4a=4√3.故

选ACD .

【答案】ACD

7.(2020届河南六市统考)若焦点在x 轴上的椭圆x 2

2+y 2

m

=1的离心率为1

2,则m= .

【解析】因为焦点在x 轴上,所以a 2=2,b 2=m ,c 2=a 2-b 2=2-m.因为椭圆的离心率e=1

2

,所以e 2=14=c 2a 2=2-m

2

,解得

m=3

2.

【答案】3

2

8.(2020届宜昌调研)过椭圆x 25+y 2

4=1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则点B 的坐标

为 ,△OAB 的面积为 .

【解析】由题意知,椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0),则直线AB 的方程为y=2x-2.

联立{x 2

5

+

y 24

=1,y =2x -2,

解得交点坐标A (0,-2),B (53,43

),

所以S △OAB =12

·|OF|·|y A -y B |

=12×1×|-2-43|=5

3.

【答案】(53,43

)

53

9.(2020届山东枣庄模拟)已知椭圆C :x 2

a 2+y

2

b 2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆C 与y 轴的交点.若以F 1,F 2,P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是 .

【解析】∵点P 为椭圆C 与y 轴的交点,以F 1,F 2,P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,∴∠F 1PF 2≤90°,即tan ∠OPF 2≤1,∴c

b

≤1,∴c ≤b ,即c 2≤a 2-c 2,∴0

2

.

【答案】(0,

√2

2

]

10.(2020届甘肃张掖一模)设A ,B 是椭圆C :x 2

12+y

2

2=1的两个焦点,点P 是椭圆C 与圆M :x 2+y 2=10的一个交点,则||PA|-|PB||=( ).

A .2√2

B .4√3

C .4√2

D .6√2

【解析】因为A ,B 是椭圆C :x 212+y 2

2

=1的两个焦点,所以A (-√10,0),B (√10,0).由圆M :x 2+y 2=10恰好经过A ,B 两点,点P 是椭圆C 与圆M :x 2+y 2=10的一个交点,可得PA ⊥PB ,所以{|PA|+|PB|=4√3,

|PA|2+|PB|2=40,

所以2|PA|·|PB|=8,||PA|-|PB||=√(|PA|+|PB|)2-4|PA|·|PB|=4√2.

【答案】C

11.(2020届贵州遵义模拟)椭圆x 24+y 2

3=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ,Q 两点,则

△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 .

【解析】由题意设直线l 的方程为x=my+1,

联立{x 2

4

+

y 23

=1,x =my +1,

消去x 得(3m 2+4)y 2+6my-9=0.

Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),

则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-9

3m 2+4, 于是S △F 1PQ =12

|F 1F 2|·|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12√m 2+1

(3m 2+4)2

.

设m 2+1=t ,则t ≥1,