浅谈初中阶段的因式分解
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一
样， 只会胡搬乱套 ， 结果导致错误百出。 ◆错误之一 ： 只进行 了部分分解 ， 结果没有化成积 的形式
例 １ － １ ： 因式分解 ： 一 ２ ＋ ６ ２ ＿ ｌ
错解 ： 原式＝ （ ｒ 卜６ ） ｚ ＿ １
用偶次幂 、 奇次幂 的性 质 ： 即（ ｂ － ｏ ） ＝ （ 。 一 ｂ ） ， （ ６ 一 ｎ ） ｌ ＿ 一 （ ｎ — ｂ ）
例１ — ３ ： 在实数范 围内因式分解 ： ａ ４ － ４
错解 ： 原式＝ （ ＋ ２ ） （ ａ ２ － ２ ）
分析 ： 因题 目要求是在实数范 围内进行因式分解 ， 因此对第二 个 因式还可以继续再分解 （ 叶、 ／ ２） （ ａ － 、 ／ ２） 。
◆错误之 四： 分解时变形不恒等 ， 与方程 的变形混淆
灵活复杂一点 的公式 ：
（ １ ） ａ Ｚ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ２ ａ ｂ ＋ ２ ｂ ｃ ＋ ２ ａ ｃ ＝ （ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ）
（ ２ ） ａ ３ ± ３ ＋ ３ ａ ｂ ２ ＋ ６ ＝ （ 吐 ６）
例１ — ４ ： 因 式分解： ｝ — ＋ ｝
二 二
２ ． 运 用 公 式
（ ＋ ２ ＋ ３ ） （ 一 ２ ＋ １ ）
分析 ： 上面的第二个因式 （ 一 ＋ １ ） 还可 以因式分解为（ 一 １ ） ， 至使分解不彻底 。 ◆错误之三 ： 分解 时因没有看范围而出错
因 式 分解 中 的公 式 法可 谓 是 灵 活 多 变 ， 技 巧性 非 常 强 。 往 往 一
学科 教 学
２ ０ １ ３ 年 ６月 ８日
谈 初 中阶 段 酌 式 分 解
文／ 魏 宏
摘
要： 对初 中阶段的 因式分解 中学生易错 的类型进行 了归纳 总结 ， 剖析 了学生是错 的地 方和 原 因， 从而也剖析 了因式分解 的
难点之处 ， 并通过典型例题介绍 了多种方法 、 技巧 ， 从 而帮助学生彻底掌握 因式分解 ， 形成方法 的系统化 、 知识的 网络化 ， 提 高 了学生
（ ｎ为 正 整数 ） 。
例２ — １ ： 分解 因式 （ ０ — ６ ） 一 （ ｎ ＿ ｃ ） （ （ 卜 ６ ） ＋ ２ （ ｂ － ａ ） ￣ （ ｂ － ｃ ）
解： 原式＝ （
＝
一 （ ｎ — Ｃ ） （ ６ ） ＋ ２ （ ６ 一 。 ） （ ｂ － ｃ ）
分析 ： 错解的根本是在只把原式的部分进行了分解成积的形式 ，
没有将原整式化成积 的形式。 ◆错误之二 ： 分解结果不彻底 ， 还有因式可以分解 例 ｌ － ２ ： 因式分解 ： （ ＋ ２ ） 一 （ ２ ｘ ＋ １ ）
错解 ： 原式＝ （ ２ ＋ ２ ＋ ＋ １ ） （ ２ ＋ ２ — ２ ｘ 一 １ ）
＝
（ Ⅱ 一 ｂ ） ［ （ ｃ 卜６ ） 一 （ （ — ｃ ） ＋ （ ６ 一 ｃ ） ］
（ ａ － ｂ） （ ｎ — ｂ — ａ ＋ ｃ ＋ ２ ｂ ～ ２ ｃ）
＝
＝
（ ６ ） （ ｂ － ｃ ）
在这 里易 错 的 是公 因式 难 找 ， 有 些 是 整 体 思想 在 内 ， 学 生 容 易 混淆。
错解 ： 原式 ＝ ｘ ￣ － ２ ｘ ｙ ＋ ｙ ２
＝
（ ３ ） ＋ ６ ＋ ｃ ３ ３ ａ ｂ ｃ ＝ （ ｃ ＋ ６ ＋ ｃ ） （ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＋ ｃ ２ ａ ｂ 一 日 ｃ — ｂ ｅ ）
的解 题 Hale Waihona Puke Baidu 力。
关键词 ： 因式分解 ； 概念 ； 错误 ； 方法； 步骤 ； 注意
我们知道， 多项式的因式分解是初等代数的重要内容之一 ， 它
是学好代数 的钥匙 。那么 ， 什么叫因式分解 呢？把一个多项式化为
二、 因 式分 解 的方 法
我们所做的因式分解的基本方法，一般有 四种 ，即提取公 因
与不学是一个样 ， 没有什么关系的。有 了这种想法 ， 致使他们在解 项式 ； （ ２ ） 公因式是多项式 。 其 中， 单项式分次数为数字和字母两种
题 时往往容易 出错 ， 因为他们不了解数学概念是解题的基础 ， 是数 情况 ； 多项式 又分为相 同项 和可化为相同项 的公 因项。 当公 因式是 比较容易求得 ， 如果是多项式时 ， 要 注意符号 ， 并充分 利 学推理 的依据 。 如果没有掌握概念而去解题 ， 就如不拿钥匙 去开锁 单项式时 ，
解 的理 解 。
一
１ ． 提 取公 因式
、
易 犯错 误
我们把多项式 中每一项都含有 的相 同因式 ， 称之为公 因式 。 公
可能受小学数学 的影响 ，不少学生在学 习数学时 ，只追求解 因式是各项系数 的最大公约数与相 同字母的最低次幂的积 。把公
题， 以为只要会计算 ， 会解题才是学数学的“ 真本领” 。再则数学学 因式 提 取 出来 ， 叫做 提 取公 因式 。 用 提 取 公 因 式 法分 解 因式 的 关键 科 的概念本身就抽象 ， 所以他们认为 ， 这么枯燥无 味的数学概念学 是正确求 出公 因式 。公 因式通常有这样两种情况 ： （ １ ） 公因式是单
道 因式分解不止用一个公式 。做此类题必须 理清 因式分解 的多项 式本身的特殊性 。 常见的公式 ：
（ １ ） ａ ２ 一 ｂ ２ ＝ （ ａ － ｂ ） （ 叶６ ）
（ ２ ） ａ ２ ＋ ２ ａ ｂ ＋ ｂ Ｚ ＝ （ ａ － ＋ ｂ ） ０ （ ３ ） ６ ３ ＝ （ ０ ± ６ ） （ ａ ２ ＋ ａ ｂ ＋ ６ ）
几个整式 的积的形式 ， 就叫做多项式 的因式分解 。 而我们的学生经 式 、 公式法 、 十字相乘法 、 分组分解法。 它们既是四种方法也是我们 常把 因式分解和整式乘法混淆起来。下面我就从 学生对 因式分解 分解 因式 的顺序与步骤 。 但是 ， 其 实方法不止这几种 。 现将我所做 的“ 误 区” 和正确 因式分解 的几种 方法 、 步骤来谈 一下我对 因式分 的几 种 方 法 归 纳如 下 ：
样， 只会胡搬乱套 ， 结果导致错误百出。 ◆错误之一 ： 只进行 了部分分解 ， 结果没有化成积 的形式
例 １ － １ ： 因式分解 ： 一 ２ ＋ ６ ２ ＿ ｌ
错解 ： 原式＝ （ ｒ 卜６ ） ｚ ＿ １
用偶次幂 、 奇次幂 的性 质 ： 即（ ｂ － ｏ ） ＝ （ 。 一 ｂ ） ， （ ６ 一 ｎ ） ｌ ＿ 一 （ ｎ — ｂ ）
例１ — ３ ： 在实数范 围内因式分解 ： ａ ４ － ４
错解 ： 原式＝ （ ＋ ２ ） （ ａ ２ － ２ ）
分析 ： 因题 目要求是在实数范 围内进行因式分解 ， 因此对第二 个 因式还可以继续再分解 （ 叶、 ／ ２） （ ａ － 、 ／ ２） 。
◆错误之 四： 分解时变形不恒等 ， 与方程 的变形混淆
灵活复杂一点 的公式 ：
（ １ ） ａ Ｚ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ２ ａ ｂ ＋ ２ ｂ ｃ ＋ ２ ａ ｃ ＝ （ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ）
（ ２ ） ａ ３ ± ３ ＋ ３ ａ ｂ ２ ＋ ６ ＝ （ 吐 ６）
例１ — ４ ： 因 式分解： ｝ — ＋ ｝
二 二
２ ． 运 用 公 式
（ ＋ ２ ＋ ３ ） （ 一 ２ ＋ １ ）
分析 ： 上面的第二个因式 （ 一 ＋ １ ） 还可 以因式分解为（ 一 １ ） ， 至使分解不彻底 。 ◆错误之三 ： 分解 时因没有看范围而出错
因 式 分解 中 的公 式 法可 谓 是 灵 活 多 变 ， 技 巧性 非 常 强 。 往 往 一
学科 教 学
２ ０ １ ３ 年 ６月 ８日
谈 初 中阶 段 酌 式 分 解
文／ 魏 宏
摘
要： 对初 中阶段的 因式分解 中学生易错 的类型进行 了归纳 总结 ， 剖析 了学生是错 的地 方和 原 因， 从而也剖析 了因式分解 的
难点之处 ， 并通过典型例题介绍 了多种方法 、 技巧 ， 从 而帮助学生彻底掌握 因式分解 ， 形成方法 的系统化 、 知识的 网络化 ， 提 高 了学生
（ ｎ为 正 整数 ） 。
例２ — １ ： 分解 因式 （ ０ — ６ ） 一 （ ｎ ＿ ｃ ） （ （ 卜 ６ ） ＋ ２ （ ｂ － ａ ） ￣ （ ｂ － ｃ ）
解： 原式＝ （
＝
一 （ ｎ — Ｃ ） （ ６ ） ＋ ２ （ ６ 一 。 ） （ ｂ － ｃ ）
分析 ： 错解的根本是在只把原式的部分进行了分解成积的形式 ，
没有将原整式化成积 的形式。 ◆错误之二 ： 分解结果不彻底 ， 还有因式可以分解 例 ｌ － ２ ： 因式分解 ： （ ＋ ２ ） 一 （ ２ ｘ ＋ １ ）
错解 ： 原式＝ （ ２ ＋ ２ ＋ ＋ １ ） （ ２ ＋ ２ — ２ ｘ 一 １ ）
＝
（ Ⅱ 一 ｂ ） ［ （ ｃ 卜６ ） 一 （ （ — ｃ ） ＋ （ ６ 一 ｃ ） ］
（ ａ － ｂ） （ ｎ — ｂ — ａ ＋ ｃ ＋ ２ ｂ ～ ２ ｃ）
＝
＝
（ ６ ） （ ｂ － ｃ ）
在这 里易 错 的 是公 因式 难 找 ， 有 些 是 整 体 思想 在 内 ， 学 生 容 易 混淆。
错解 ： 原式 ＝ ｘ ￣ － ２ ｘ ｙ ＋ ｙ ２
＝
（ ３ ） ＋ ６ ＋ ｃ ３ ３ ａ ｂ ｃ ＝ （ ｃ ＋ ６ ＋ ｃ ） （ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＋ ｃ ２ ａ ｂ 一 日 ｃ — ｂ ｅ ）
的解 题 Hale Waihona Puke Baidu 力。
关键词 ： 因式分解 ； 概念 ； 错误 ； 方法； 步骤 ； 注意
我们知道， 多项式的因式分解是初等代数的重要内容之一 ， 它
是学好代数 的钥匙 。那么 ， 什么叫因式分解 呢？把一个多项式化为
二、 因 式分 解 的方 法
我们所做的因式分解的基本方法，一般有 四种 ，即提取公 因
与不学是一个样 ， 没有什么关系的。有 了这种想法 ， 致使他们在解 项式 ； （ ２ ） 公因式是多项式 。 其 中， 单项式分次数为数字和字母两种
题 时往往容易 出错 ， 因为他们不了解数学概念是解题的基础 ， 是数 情况 ； 多项式 又分为相 同项 和可化为相同项 的公 因项。 当公 因式是 比较容易求得 ， 如果是多项式时 ， 要 注意符号 ， 并充分 利 学推理 的依据 。 如果没有掌握概念而去解题 ， 就如不拿钥匙 去开锁 单项式时 ，
解 的理 解 。
一
１ ． 提 取公 因式
、
易 犯错 误
我们把多项式 中每一项都含有 的相 同因式 ， 称之为公 因式 。 公
可能受小学数学 的影响 ，不少学生在学 习数学时 ，只追求解 因式是各项系数 的最大公约数与相 同字母的最低次幂的积 。把公
题， 以为只要会计算 ， 会解题才是学数学的“ 真本领” 。再则数学学 因式 提 取 出来 ， 叫做 提 取公 因式 。 用 提 取 公 因 式 法分 解 因式 的 关键 科 的概念本身就抽象 ， 所以他们认为 ， 这么枯燥无 味的数学概念学 是正确求 出公 因式 。公 因式通常有这样两种情况 ： （ １ ） 公因式是单
道 因式分解不止用一个公式 。做此类题必须 理清 因式分解 的多项 式本身的特殊性 。 常见的公式 ：
（ １ ） ａ ２ 一 ｂ ２ ＝ （ ａ － ｂ ） （ 叶６ ）
（ ２ ） ａ ２ ＋ ２ ａ ｂ ＋ ｂ Ｚ ＝ （ ａ － ＋ ｂ ） ０ （ ３ ） ６ ３ ＝ （ ０ ± ６ ） （ ａ ２ ＋ ａ ｂ ＋ ６ ）
几个整式 的积的形式 ， 就叫做多项式 的因式分解 。 而我们的学生经 式 、 公式法 、 十字相乘法 、 分组分解法。 它们既是四种方法也是我们 常把 因式分解和整式乘法混淆起来。下面我就从 学生对 因式分解 分解 因式 的顺序与步骤 。 但是 ， 其 实方法不止这几种 。 现将我所做 的“ 误 区” 和正确 因式分解 的几种 方法 、 步骤来谈 一下我对 因式分 的几 种 方 法 归 纳如 下 ：