2016年空间向量与立体几何单元练习题
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（1）求 DP 和 CC' 所成角的大小； （2）求 DP 和平面 AA' D' D 所成角的大小.
19.（本小题满分 14 分）已知一四棱锥 P－ABCD 的三视D图' 如下，E 是侧棱 CP'C 上的动点．
（1）求四棱锥 P－ABCD 的体积；
A'
（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BD⊥AE？证明你的结论; P
AD 的中点，则 EF DC 等于
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
4
4
4
4
4.若 a (1,,2) ， b (2,1,1) ， a 和 b 的夹角为 600 ，则 的值为
A.17 或-1
B.-17 或 1
C.-1
D.1
5.设 OA (1,1,2) ， OB (3,2,8) ，OC (0,1,0) ，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距 离为
D'
C'
G
17.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 A2BCDF 中6 ，CB CDB，' AD BD ，点2 E，F
E D
2
4
C
A
B
4
分别是 AB，BD的中点．求证： （1）直线 EF // 面 ACD ； （2）平面 EFC 面 BCD． 18.（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCD A' B'C' D' 的对角线 BD' 上，∠PDA=60°.
2
2
EF DC 1 BD DC 1 BD DC cos BD, DC 1 11 cos1200 1
2
2
2
4
故选 B.
4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D
AB 2, PA 6 ，则 B1 到平面 PAD
的距离为
.
三、解答题（共 80 分） 15.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 的长为 2，
且 PA 和 AB、AD 的夹角都等于 600， M 是 PC 的中点，设 AB a,PAD b, AP c ．
C. 1 a－ 1 b+c 22
D.－ 1 a－ 1 b+c 22
2.下列等式中，使点 M 和点 A、B、C 一定共面的是
A. OM 3OA 2OB OC
B. OM 1 OA 1 OB 1 OC 235
C. OM OA OB OC 0
D. MA MB MC 0
3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、F 分别是 AB、
正视图
侧视图
2俯视图
面角 E AF C 的余弦值．
P
练习题参考答案
一、选择题
F
1.
B1M
B1B
BM
A1 A
1 2wenku.baidu.com
(BA
BC) =c+
1 2
(－a+b)=B－
1 2
A1 a+
E2
b+c，故选
C
AD.
2. 由于M、A、B、C四点共面 OM xOA yOB zOC(x, y, z R)且x y z 1
选项(A)、(B)、(C)都不正确. 由于MA MB MC 0 MA MB MC
所以存在x 1, y 1,使MA xMB yMCMA, MB, MC共面
由于M为公共点 M、A、B、C四点共面，故选 D.
3.∵ E, F分别是AB, AD的中点 , EF // BD且EF 1 BD, EF 1 BD,
.
12.已知向量 a (0,1,1) ， b (4,1,0) ， a b 29 且 0 ，则 =________.
13.在直角坐标系 xOy 中，设 A（-2，3），B（3，-2），沿 x 轴把直角坐标平面折
成大小为 的二面角后，这时 AB 2 11 ，则 的大小为
．
14.如图，P—ABCD 是正四棱锥， ABCD A1B1C1D1 是正方体，其中
B. 2 5 5
C. 15 5
D. 10 5
10.⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1,1,2) ，B(5,6,2) ，C(1,3,1) ，则 AC 边上的高 BD
长为
A.5
B. 41
C.4
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
D. 2 5
11.设 a (x,4,3) ， b (3,2, y) ，且 a // b ，则 xy
2
2
A.BD∥平面 CB1D1
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 和 CB1 所成的角为 60° 9.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 和平面 BB1D1D
所成角的正弦值为
A. 6 3
《空间向量和立体几何》习题
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
1.如图，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 AC 和 BD 的交点.若 A1B1 =a，
A1D1 =b， A1 A =c，则下列向量中和 B1M 相等的向量是
A.－ 1 a+ 1 b+c 22
B. 1 a+ 1 b+c 22
B'
（3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D－AE－B 的大小．
P
D
C
20.（本小题满分
14
分）如图，已知四棱锥
E
P
ABCAD
，底面
ABCD
为菱形，
B
PA 平面 ABCD， ABC 60 ， E，F 分别是 BC，PC 的中点．
2
2
（1）证D明： AE PD ；C
1
（2A）若 H 为 PD 上B的动点， EH 和平面1 PAD 所成最大角的1正切值为 6 ，1 求二
（1）试用 a, b, c 表示出向量 BM ；
M
（2）求 BM 的长． 1多6.面（体本的小直题观满图分，1它4 分的）正如视下图的和三侧个视图图中在，下上面面画的出是（一单个位长：方cD体m）截.去（一1）个在角C正所视得 图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图A；（2）按照给出B的尺寸，求 该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 BC '，证明： BC '∥面 EFG..
A. 13 2
B. 53 2
C. 53 4
D. 53 4
6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A. 9π
B.10π
2
CD..1112ππ①正方体
②圆锥
③三棱台
④正3四棱锥
8.如图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错．误．的是
19.（本小题满分 14 分）已知一四棱锥 P－ABCD 的三视D图' 如下，E 是侧棱 CP'C 上的动点．
（1）求四棱锥 P－ABCD 的体积；
A'
（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BD⊥AE？证明你的结论; P
AD 的中点，则 EF DC 等于
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
4
4
4
4
4.若 a (1,,2) ， b (2,1,1) ， a 和 b 的夹角为 600 ，则 的值为
A.17 或-1
B.-17 或 1
C.-1
D.1
5.设 OA (1,1,2) ， OB (3,2,8) ，OC (0,1,0) ，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距 离为
D'
C'
G
17.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 A2BCDF 中6 ，CB CDB，' AD BD ，点2 E，F
E D
2
4
C
A
B
4
分别是 AB，BD的中点．求证： （1）直线 EF // 面 ACD ； （2）平面 EFC 面 BCD． 18.（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCD A' B'C' D' 的对角线 BD' 上，∠PDA=60°.
2
2
EF DC 1 BD DC 1 BD DC cos BD, DC 1 11 cos1200 1
2
2
2
4
故选 B.
4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D
AB 2, PA 6 ，则 B1 到平面 PAD
的距离为
.
三、解答题（共 80 分） 15.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 的长为 2，
且 PA 和 AB、AD 的夹角都等于 600， M 是 PC 的中点，设 AB a,PAD b, AP c ．
C. 1 a－ 1 b+c 22
D.－ 1 a－ 1 b+c 22
2.下列等式中，使点 M 和点 A、B、C 一定共面的是
A. OM 3OA 2OB OC
B. OM 1 OA 1 OB 1 OC 235
C. OM OA OB OC 0
D. MA MB MC 0
3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、F 分别是 AB、
正视图
侧视图
2俯视图
面角 E AF C 的余弦值．
P
练习题参考答案
一、选择题
F
1.
B1M
B1B
BM
A1 A
1 2wenku.baidu.com
(BA
BC) =c+
1 2
(－a+b)=B－
1 2
A1 a+
E2
b+c，故选
C
AD.
2. 由于M、A、B、C四点共面 OM xOA yOB zOC(x, y, z R)且x y z 1
选项(A)、(B)、(C)都不正确. 由于MA MB MC 0 MA MB MC
所以存在x 1, y 1,使MA xMB yMCMA, MB, MC共面
由于M为公共点 M、A、B、C四点共面，故选 D.
3.∵ E, F分别是AB, AD的中点 , EF // BD且EF 1 BD, EF 1 BD,
.
12.已知向量 a (0,1,1) ， b (4,1,0) ， a b 29 且 0 ，则 =________.
13.在直角坐标系 xOy 中，设 A（-2，3），B（3，-2），沿 x 轴把直角坐标平面折
成大小为 的二面角后，这时 AB 2 11 ，则 的大小为
．
14.如图，P—ABCD 是正四棱锥， ABCD A1B1C1D1 是正方体，其中
B. 2 5 5
C. 15 5
D. 10 5
10.⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1,1,2) ，B(5,6,2) ，C(1,3,1) ，则 AC 边上的高 BD
长为
A.5
B. 41
C.4
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
D. 2 5
11.设 a (x,4,3) ， b (3,2, y) ，且 a // b ，则 xy
2
2
A.BD∥平面 CB1D1
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 和 CB1 所成的角为 60° 9.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 和平面 BB1D1D
所成角的正弦值为
A. 6 3
《空间向量和立体几何》习题
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
1.如图，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 AC 和 BD 的交点.若 A1B1 =a，
A1D1 =b， A1 A =c，则下列向量中和 B1M 相等的向量是
A.－ 1 a+ 1 b+c 22
B. 1 a+ 1 b+c 22
B'
（3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D－AE－B 的大小．
P
D
C
20.（本小题满分
14
分）如图，已知四棱锥
E
P
ABCAD
，底面
ABCD
为菱形，
B
PA 平面 ABCD， ABC 60 ， E，F 分别是 BC，PC 的中点．
2
2
（1）证D明： AE PD ；C
1
（2A）若 H 为 PD 上B的动点， EH 和平面1 PAD 所成最大角的1正切值为 6 ，1 求二
（1）试用 a, b, c 表示出向量 BM ；
M
（2）求 BM 的长． 1多6.面（体本的小直题观满图分，1它4 分的）正如视下图的和三侧个视图图中在，下上面面画的出是（一单个位长：方cD体m）截.去（一1）个在角C正所视得 图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图A；（2）按照给出B的尺寸，求 该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 BC '，证明： BC '∥面 EFG..
A. 13 2
B. 53 2
C. 53 4
D. 53 4
6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A. 9π
B.10π
2
CD..1112ππ①正方体
②圆锥
③三棱台
④正3四棱锥
8.如图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错．误．的是