人教新课标版数学高二选修2-1练测 3.2.4 二面角及其度量

3.2.4 二面角及其度量
一、基础过关
1．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )
A ．相等
B ．互补
C ．相等或互补
D ．不确定 2．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m ＝(－1，2,0)，n ＝(1,0，－2)，且m 、n 都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为
( ) A.15 B.245 C.14 D.154
3．二面角α—l —β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝⎛⎭
⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝⎛⎭
⎫0，12，2，则二面角α—l —β的大小为 ( ) A ．120°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．60°或120° 4.在正方体AC 1中，点
E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的 二面角的余弦值为
( )
A ．－12
B.23
C.33
D.22 5．平面α的一个法向量n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n 2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________．
6．已知A ∈α，P ∉α，PA →＝⎝⎛⎭
⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－2，则直线PA 与平面α所成的角为________．
二、能力提升
7．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为
( )
A.13
B.12
C.233
D.32 8．A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是平面β上一点，PB ⊥l 于B ，PA 与l 成45°角，PA 与平面α成30°角，则二面角α—l —β的大小是
( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°
9.如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为
________．
10.如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M是PC的中点．
(1)求BP与DM所成的角的大小；
(2)求二面角M—DA—C的大小．
11.如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD ＝ 2.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大小．
三、探究与拓展
12. 如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底
面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.
(1)证明AD⊥CE；
(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C—AD—E的余弦
值．
答案
1．C 2．B 3．C 4．B
5．90°
7．A 8．C 9.a 2＋b 2＋c 2－d 2
2ab
10．解 (1)建系如图，由已知得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，
a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.
设直线BP 与DM 所成的角为θ.
∵BP →＝(－a,0，a )，
DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2
，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.
∴BP 与DM 所成的角的大小为90°.
(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)，
BP →＝(－a,0，a )，
∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0.
又由(1)知BP →·DM →＝0，
∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|
＝22
. ∴所求的二面角M —DA —C 的大小为45°.
11．解 过点A 作AE ⊥平面ABCD .
以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐
标系(如图)．
于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫2
2，1，0，F (0,2,2)．
设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·AB →＝0，
n 1·AF →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
－2
2x ＋y ＝0，
2y ＋2z ＝0.
令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，
y ＝－1.
所以n 1＝(－2，－1,1)．
同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．
由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，
所以二面角B —AF —D 的大小等于π
2.
12. (1)证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系Oxyz .设A (0,0，t )．
由已知条件有C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，
CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，
所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .
(2)解 作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图所示．
设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，
CF →·BE →＝0.故CF ⊥BE .
又AB ∩BE ＝B ，
所以CF ⊥平面ABE ，
故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°，
由CE ＝6，得CF ＝ 3.
又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，
所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)． 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .
在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23
|AD |. 故G ⎝⎛⎭⎫23，223，33，GC →＝⎝⎛⎭⎫13
，－223，－33， GE →＝⎝⎛⎭⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0， 所以GC →与GE →的夹角等于二面角C —AD —E 的平面角．
由cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|
＝－1010.。