122应用举例

2
2 sin B
A ? 180? ? (B ? C) ? 180? ? (62.7? ? 65.8?) ? 51.5?,
S
?
1? 2
3.162
?
sin 65.8? sin 51.5? sin 62.7?
?
4.0(cm2 ).
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
(Ⅰ)确定角 C 的大小：
(Ⅱ)若 c＝
7
,且△ABC
的面积为
33 2
,求 a＋b 的值。
2.在△ABC中,设角A ,B,C的对应边分别为 a,b,c且
cos C ? 3a ? c cos B b
22
(1)求sinB的值; 3
(2)若b= 4 2 且a=c,求△ABC的面积 8 2
1（. 2009 湖北卷文）在锐角△ABC 中，a、b、c 分别为
距离
高度
角度
正弦定理
(1)正弦定理：
a? sin A
b? c sin B sin C
?
2R
（其中R为该三角形外接圆的半径）
(2)常见变形公式： a ? 2Rsin A （角化边）
sin A ? a （边化角） 2R
a :b:c ? sinA:sin B:sinC （比例）
余弦定理
（1）余弦定理： a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? c2 ? a 2 ? 2ca cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC
7
,且△ ABC
的面积为
33 2
,求 a＋b 的值。
2（. 2009 湖北卷文）在锐角△ABC 中，a、b、c 分别为
角 A、B、C 所对的边，且 3a ? 2c sin A
(Ⅰ)确定角 C 的大小：
(Ⅱ)若 c＝
7
,且△ABC
的面积为
3
3 2
S ? 1 ? 23.5? 14.8? sin148.5? ? 90.9(cm2 ) 2
(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
(2)根据正弦定理， b ? c , c ? bsin C , sin B sin C sin B
源自文库
S ? 1 bc sin A? 1 b2 sin C sin A,
（2）在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝8，△ABC的形状是（C ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能
cos C ? a 2 ? b2 ? c2 ? 25 ? 36 ? 64 ? ? 1 ? 0
2ab
2? 5? 6
20
三角形的面积公式：
S? ABC
?
1 2 ah a
2ca
2 ? 127 ? 68
sin B ? 1? 0.75322 ? 0.6578.
应用S ? 1 ca sin B,得 2
S ? 1 ? 127 ? 68 ? 0.6578 ? 2840.38(m2 ). 2
答：这个区域的面积是 2840.38m2.
练习
1（. 2009 湖北卷文）在锐角△ABC 中，a、b、c 分别为 角 A、B、C 所对的边，且 3a ? 2c sin A
（3）根据余弦定理的推论 ，得
cos B ? c2 ? a 2 ? b2 ? 38.72 ? 41.42 ? 27.32 ? 0.7679
2ca
2 ? 38.7 ? 41.4
sin B ? 1? cos2 B ? 1? 0.76972 ? 0.6384
应用S ? 1 ca sin B,得 2
S ? 1 ? 38.7 ? 41.4 ? 0.6384 ? 511.4(cm2 ). 2
c)r (r是该三角形内切圆半径）
在 ? ABC 中， A ? 120 0 , AB ? 5, BC ? 7, 求 ? ABC 的面积。
例7 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到 0.1cm2) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
解：(1)应用S ? 1 ca sin B,得 2
例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成 市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm2）?
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cos B ? c2 ? a 2 ? b2 ? 1272 ? 682 ? 882 ? 0.7532,
(2)常见变形公式： cosA? b2 ? c2 ? a2 2bc
(边角互化，求角 ,判别角)
问题一：三角形中的边角运算 问题二：三角形的形状判断 问题三：三角形的面积求解
三角形的边角运算
1、在△ABC中，已知b＝12，A＝300，B＝1200，
则a＝
。4 3
2、在△ABC中，b= 3 ，B＝600，c＝1， 则此三角形有（ ） A
②已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用 正弦 定理。 ③已知三边求三角，用 余弦 定理。 ④已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，用 余弦 定理。 要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式。
三角形的形状判断
（1）在△ABC中，acosA＝bcosB，判断三角形的形状。
思路：转化成单一的角关系或边长的关系
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定
3、在△ABC中，若a＝3，b＝4，c ? 37 ，
则这个三角形中最大角为
。 1200
4、已知△ABC中，a＝4，b=6，C＝600，
则c＝
。2 7
可归纳出 ——
解斜三角形的类型：
求角时要注意用“大
①已知两角和任一边，求其他两边和一边角对，大用角正”弦进定行理取舍。
?
1 2 bhb
?
1 2 chc
c
S? ABC
?
1 ab sinC 2
?
1 bcsin A? 2
1 ac sin B 2
B
A
b
ha
aC
三角形的面积求解
S ? ABC
? 1?底 ?高 2
S? ABC
?
1 ab sin C 2
?
1 bc sin 2
A?
1 ac sin 2
B
S? ABC
?
1 2
(a
?
b?
角 A、B、C 所对的边，且 3a ? 2c sin A
(Ⅰ)确定角 C 的大小：
(Ⅱ)若 c＝
7
,且△ABC
的面积为
3
3 2
,求 a＋b 的值。
2（. 2009 湖北卷文）在锐角 △ABC 中，a、b、c 分别为
角 A、B、C 所对的边，且 3a ? 2c sin A
(Ⅰ)确定角 C 的大小：
(Ⅱ)若 c＝