特殊函数教学中Matlab绘图功能的应用

bessely 和 besselh。
图 1 勒让德多项式的图形 由图可以清楚地看出勒让德多项式的取值及奇偶情况。再有，如果 要画出所有三阶连带勒让德函数的图形，可用语句： x=- 1:0.01:1; y=legendre(3,x); plot(x,y(1,:),x,y(2,:),x,y(3,:),x,y(4,:)) 得到的图形如图 2 所示。
p4= legendre(4,x); p5= legendre(5,x); p6= legendre(6,x);
plot(x,p1(1,:), x,p2(1,:), x,p3(1,:), x,p4(1,:), x,p5(1,:), x,p6(1,:))
得到的图形如图 1 所示。
图 2 连带勒让德多项式的图像
数学物理方法教学中涉及到的特殊函数有多个，本文仅以常用的
勒让德函数和贝塞尔函数为例，介绍 Matlab 绘图在特殊函数教学中的wk.baidu.com
应用。
（1）勒让德函数与连带勒让德函数
l 阶勒让德函数的解可以用 l 阶勒让德多项式表示：
[
l 2
]
Σ pl(x)=
k=0
(-
1)k
(2l- 2k)! 2lk!(l- k)!(l- 2k)!
1、引言
特殊函数因其函数表达式繁琐，数学意义难以理解而成为数学物
理方法教学中的一个难点内容。本文利用 Matlab 的绘图功能，将特殊函
数中的一些重要函数和表达式实现了图形化表示，清楚地揭示了这些
函数和表达式的数学意义，促进了学生对该部分知识内容的学习和掌
握。
2、特殊函数的 Ma tla b 图形表示
基金项目：本文系聊城大学物理科学与信息工程学院教改项目。 作者简介：杨冰（1977- ），聊城大学物理科学与信息工程学院，讲师。
图 3 贝塞尔函数的图像 对于贝塞尔函数，所使用的指令是 besselj(ν,z)。其中 ν 是阶数，它不 一定是整数，但必须是实数；自变量 z 可以是复数，若 z 是正数，则指令 所得结果为实数。我们常用的情况是 ν 取整数，而 z 取正数。例如对于 贝塞尔函数 J0(x)，J1(x)，J2(x)，J3(x)，J4(x)，可使用下面的语句作出它们相应
x=0:0.1:12; y=bessely(0:3,x'); plot(x',y); axis([0 12 - 2 1]) 得到的图形如图 4 所示。
y=besselh(1,x); y1=abs(y);y2=angle(y); plotyy(x,y1,x,y2)
(1)
得到的图形如图 5 所示。图中分别作出了 H1 (x)的模及其幅角。
再者，数学建模竞赛中一定要使用计算机及相应软件，如 Matlab、 Lindo、lingo 软件等。这些也给我们许多启发：如何让计算机进入大学数 学教学，如何在女院数学的教学中引进计算机手段?探索出一种将数学 理论教学与计算机技术相结合的教学模式。
3.师资队伍日趋优化 通过数学建模的教学活动，进一步促使高等数学教学改革的顺利 进行，同时也建设了一支有较高业务水平和奉献精神的教师队伍。其实 教学改革的关键还是怎样培养一支优秀的教师队伍，教师队伍素质的 提高是提高数学建模教学和高等数学教学水平的保证，加强教师尤其 是青年教师的教育理念、教学水平、科研能力、综合应用能力的培养，提 高整体水平以适应培养新世纪复合型人才的教学需要。在数学建模的 教学改革和带领学生参赛的过程中，教师的教学和科研水平也得到很 好的提高。近几年来，数学建模指导组老师发表相关教研论文 20 余篇，
利用 Matlab 软件将其图形表示出来。利用 Matlab 计算 l 阶连带勒让德
多项式的指令是：legendre(N,x)。其中 N 是阶数，x 是自变量。
例如要画出前六个勒让德多项式的图像，可用下列语句：
x=- 1:0.01:1;
p1= legendre(1,x); p2= legendre(2,x); p3= legendre(3,x);
图 4 诺伊曼函数的图像 对于汉克尔函数，所使用的指令是 besselh(ν,k,z)。ν 和 z 的取值及意 义同贝塞尔函数一样，k 取 1、2 分别对应于求第一类和第二类汉克尔函
(1)
数的值。一般情况下，也是 ν 取整数，z 取正数。例如汉克尔函数 H1 (x)的 曲线，可使用下面的语句作出其图形：
xl-
2k
（1）
l 其中
l 2
=
l/2 (l- 1)/2
l l
为为奇偶数数；l 阶连带勒让德函数的解可以表示为：
m
plm(x)=(1-
2
x
)
2
pl[m](x)
（2）
其中 l=0,1,2,3…,m=0,1,2,3,…l，pl[m](x)是 pl(x)的 m 阶导数。这两个数
学表达式都比较复杂，仅从数学表示式很难理解它们的数学意义，可以
参考文献 ［1］饶从军,王成.让数学建模活动促进数学教学改革［J］.中央民族 大学学报(自然科学版），2004 年第 02 期 ［2］库在强,刘焕彬.以数学建模活动为载体促进数学课程教学改革 ［J］.黄冈师范学院学报，2008 年第 03 期 ［3］何军.大学生数学建模活动与创新教育［J］.渝西学院学报（自然 科学版），2003 年第 01 期 ［4］姜启源编《. 数学模型》（第二版）高教出版社出版，1992
（4）
其中 J-ν(x)为 - ν 阶贝塞尔函数。第一种和第二种汉克尔函数为：
(1)
(2)
Hν (x)=Jν(x)+iNν(x), Hν (x)=Jν(x)+iNν(x)
（5）
同样，仅从数学表示式很难理解这些函数的数学意义。利用 Matlab
对贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数绘图的指令分别是：besselj、
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校级教学成果一等奖 1 项，2008 年数学教研室被评为中华女子学院优 秀教学团队，1 名教师被评为校级中青年骨干教师，1 名教师获得校级 课堂教学优秀奖；1 名教师获 2006 年获中华女子学院优秀教师称号；1 名教师获 2007 年获“全国妇联岗位建新功活动标兵”称号。
三、结束语 有机会参加数学建模竞赛的学生毕竟是少数，要使它的辐射作用 更广泛地发挥出来，必须与日常教学活动和教学改革紧密结合起来。通 过这几年数学建模教学活动的实践，我们认识到以大学生数学建模竞 赛为主体的数学建模教学活动实际上是一种不打乱现行教学秩序、规 模相当大的大学数学教学改革的试验。 鉴于培养应用型创新人才的需要, 又不额外增加课时和学生的学 习负担,将数学建模的思想和方法有机地融入到高等数学课程的教学中 去, 加强高等数学教学应用内容和实践环节, 是一条行之有效的教学改 革途径,是培养具有创新能力人才至关重要的一个措施。 要做好上述工作, 女子学院要高度重视师资力量的培养, 根据实际 需要建立数学建模实验室,为数学建模课程的建设、竞赛培训、参赛提供 良好的条件; 教师要加大精力,加深对数学建模和数学教学的研究,以数 学建模竞赛为突破口,深化数学课程的教学改革,为培养高素质人才构 建有力的平台。
（上接第 418 页） 广泛和高等教育改革的不断深入，它的局限性也日 益明显。在传统数学教学中，缺乏应用和计算，即缺乏数学建模的初步 训练；并且由于片面强调数学的严格思维训练和逻辑思维培养，缺乏从 具体现象到数学的一般抽象和将一般结论应用到具体情况的思维训 练，容易使学生形成呆板的思维习惯。
通过几年的实践发现，开展数学建模竞赛有利于推动女院数学的 教学改革。一方面，数学建模的竞赛题都是一些实际问题，这些问题为 数学的应用提供了很好的实例。通过这些实例，首先使学生认识到数学 如何有用，进而深入了解数学应用的方法和技巧。数学建模教学活动的 实例教学为传统的数学理论教学提供了有力的补充。另一方面，接受数 学建模赛前培训的同学，通过讲座学习了诸如运筹学、线性规划、最优 化方法、图论、微分方程、计算方法、层次分析法、数学软件包的使用等 内容。讲授这些内容用的时间不多，基本上采用启发式，介绍一些基本 的概念和方法。竞赛中需要用到的大量数学工具主要靠同学们自学，这 充分调动了学生的积极性，也充分发挥了学生的潜能。
图中函数的取值和奇偶性等性质也很清晰。
（2）贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数
ν 阶贝塞尔函数的表达式是：
∞
ν+2k
l l Σ Jν(x)= k=0
(- 1)k k!Γ(ν+k+1)
x 2
（3）
其中 Γ(x)是伽马函数。ν 阶诺伊曼函数的表达式是：
Nν(x)=
Jνcosνπ-J-ν(x) sinνπ
x=0:0.1:15;
图 5 汉克尔函数的图形 结合图 3- 图 5 再去考察式（3）- 式（5）相应的函数表达式，其数学 意义就很容易理解。对于 ν 不是整数和 z 不是正数的情况，利用它们相 应的命令语句，也可以求出函数的数值，进而作出相应的图形。 3、结论 本文利用 Matlab 的绘图功能，将勒让德函数与贝塞尔函数等几个 特殊函数的表达式用图形化的方式显示出来，使抽象的数学概念和表 达式变得清晰、直观，易于理解。
参考文献 ［1］梁昆淼《. 数学物理方法》［M］.北京：高等教育出版社，2006. ［2］张志涌，杨祖樱《. MATLAB 教程》［M］.北京：北京航空航天大 学出版社，2006. ［3］彭芳麟“. 图解”数学物理方法的教学实践［J］.物理，2007，36（2）： 153- 157. ［4］曹万苍.特殊函数图形的 MATLAB 绘制［J］.赤峰学院学报(自然 科学版)，2007，23（1）：13- 14.
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特殊函数教学中 Ma t la b 绘图功能的应用
聊城大学物理科学与信息工程学院 杨 冰 闫循领
［摘 要］本文利用数学软件 Matlab 的绘图功能，将特殊函数教学中涉及的一些重要函数和表达式实现了计算机的图形化显示，直 观、清晰地揭示了函数及表达式的数学意义。 ［关键词］特殊函数 Matlab 绘图
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的图形： x=0:0.1:10; y=besselj(0:4,x'); plot(x',y); 得到的图形如图 3 所示。 对于诺伊曼函数，所使用的指令是 bessely(ν,z)。其中 ν 和 z 的取值
及意义同贝塞尔函数一样。在实际应用中，常用的情况也是 ν 取整数，z 取正数。例如诺伊曼函数 N0(x)，N1(x)，N2(x)，N3(x)，其曲线可使用下面的语 句作出：