因数和积的变化规律
因数的变化引起积的变化规律
因数的变化引起积的变化规律# 因数的变化引起积的变化规律大家好，我是你们的好朋友，小数点。
今天我要和大家聊聊一个很有趣的话题——因数的变化引起积的变化规律。
这个话题听起来有点枯燥，但其实是数学中一个非常有趣的现象。
我们要明确一点，什么是因数？简单来说，因数就是能够整除另一个数的数。
比如，3是5的因数，因为3乘以4等于12，而12正好是5的倍数。
所以，3能整除5，这就是3作为因数的一个实例。
那么，为什么因数的变化会引起积的变化呢？这个问题其实涉及到了数学中的一个基本原理——乘法的性质。
乘法有一个非常重要的性质，那就是当两个数相乘时，它们的因数之积等于这两个因数各自乘以对方的结果。
这个性质可以用一个简单的公式来表示：a * b = (a * a) * (b * b)。
举个例子，假设我们有两个因数，分别是2和3。
根据乘法的性质，2 * 3就等于2 * 2 * 3。
这意味着，当我们将2和3相乘时，2的平方（即4）乘以3的平方（即9），结果就是18。
这就是说，2和3相乘的结果是一个更大的数，也就是18。
如果我们将因数的顺序颠倒过来，即2 * 3变成了3 * 2，那么结果就会变成6。
这是因为3乘以2等于6，而不是18。
这就说明了，因数的顺序变化会导致乘法结果发生变化。
除了顺序之外，因数的大小变化也会影响乘法的结果。
例如，如果我们将2和3都乘以10，那么2*3*10就变成了20*30，结果是600。
这是因为20乘以30等于600，而不是18或6。
通过这些例子，我们可以看到，因数的变化确实会引起积的变化。
这个规律在日常生活中也有很多应用，比如购物打折、玩游戏等。
有时候，我们需要根据不同的条件调整策略，以达到最佳效果。
因数的变化引起积的变化规律是一个非常有趣且实用的数学原理。
它不仅帮助我们更好地理解乘法的性质，还让我们在日常生活和工作中更加灵活地应对各种情况。
希望大家通过这篇文章对因数的变化引起积的变化规律有了更深入的了解，并能在生活中灵活运用这些知识。
因数和积的变化规律
5
5扩大3倍就是53
15缩小3倍就是15 3
15
6扩大4倍是多少？
64=24
12扩大3倍是多少？
12扩大200倍是多少？ 12缩小3倍是多少？
123=36
12200=2400 12 3=4
16缩小2倍是多少？
160缩小10倍是多少？
16 2=8
160 10=16
③积有什么变化？
分析与思考
因数 因数 积 16 2 32 16 10 160 16 20 320 16 16 200 1000 3200 16000
①第4、3、2、1组的第二个因数同第5组比较分别缩小了 5、50、100、500倍，同时积也分别缩小了5、50、100、 500倍。 ②第2、3、4、5组的第二个因数同第1组比较分别扩大了 5、10、100、500倍，同时积也分别扩大了5、10、100、 500倍。 同学们你们发现了什么规律？发现 什么说什么？看谁最勇敢？
因数和积变化的规律
比一比，看谁回答的好
2420= 280
1520= 300 16200= 3200
9610= 960
1730= 510 5040= 20倍就是把这个数乘上几。
例如：5扩大3倍就是53=15。
把一个数缩小几倍就是把这个数除以几。
练 习 与 巩 固
例9
因数
16
16
16
16
16
因数 积
2 32
10
160
20
320
200
1000
3200 16000
例9
因数
因数 积
第 一 组
第 二 组
第 三 组
因数与积、商与被除数除数的变化规律
例1、因数与积的变化规律复习：小数乘法怎样计算3.2 5 3 2 5×0.6×61 9 5 0找规律：3.5×1.2 =4.2 3.5×1.2 = 4.2 3.5×1.2 = 4.23.5×3.6 = 7× 3.6 = 0.7×3.6 =3.5 × 6 = 14 × 6 = 14 ×0.4 =3.5×0.4 = 0.7 ×0.4 = 14 ×0.3 =小结：因数×因数 = 积因数×（因数×m）= 积因数×（因数÷m）= 积（因数×m）×（因数×n）= 积（因数÷m）×（因数÷n）= 积（因数×m）×（因数÷n）= 积思考：什么时候积不变？例2、被除数、除数与商的变化规律思考：为什么被除数和除数同时乘以（或除以）一个不为0的数，商才不变？找规律：4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.212.6÷3.5 = 4.2 ÷ 7 = 8.4÷ 7 =21 ÷3.5 = 4.2÷0.7 = 0.6÷0.5 =1.4 ÷3.5 = 4.2÷0.5 = 8.4÷0.7 =1.4÷10.5 =小结：被除数÷除数 = 商（被除数×m）÷除数 = 商（被除数÷m）÷除数 = 商被除数÷（除数×m）= 商被除数÷（除数÷m）= 商（被除数×m）÷（除数×n）= 商（被除数÷m）÷（除数÷n）= 商（被除数×m）÷（除数÷n）= 商（被除数÷m）÷（除数×n）= 商例3：一个两位小数四舍五入到十分位是5.0，那么这个小数最大是多少？最小是多少？还可能是多少？分析：比5.0小的数需要五入，可能是比5.0大的数需要四舍，可能是例4: 2.5×6= 2.5×2.2= 2.5×1.1= 2.5×0.8= 2.5×0.6=小结:一个数（0除外）乘大于1的数，例5: 4.5÷5= 4.5÷1.5= 4.5÷1= 4.5÷0.9= 4.5÷0.5= 小结:一个数（0除外）除以大于1的数，例6: 下面各题的商那些事小于1的？那些是大于1的？4.5÷1.5= 3÷2= 2.4÷2.4= 4÷5= 7.6÷8=小结：例7：一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了63.9，这个小数是多少？（分析）原数：扩大后的数：扩大后的数是原数的10倍，比原数多9倍，原数的9倍是。
积的变化规律
1632） 16×102=（ × （
6、这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变。 、这块长方形绿地的宽要增加到 米 长不变。 扩大后的绿地面积是多少？ 扩大后的绿地面积是多少？
方法一 方法二
24÷8=3 560÷8=70（米） （ 560×3=1680（平方米） 70×24=1680（平方米） × （平方米） × （平方米）
（1）独立思考，发现规律：①请学生完成下 列计算，并在组内述说自己发现的规律 18×24= 105×45= （18÷2）×（24×2）= （105×3）× （45÷3）= （18×2）×（24÷2）= （105÷5）× （45×5）=
1、判断： 、判断： 1）两数相乘，一个因数不变， （1）两数相乘，一个因数不变，另一 个因数乘5，积应该乘4。（ 个因数乘 ，积应该乘 。（ ×） （2）两数相乘，一个因数除以 ，另 ）两数相乘，一个因数除以10， 一个因数不变，积也除以10。（ 一个因数不变，积也除以 。（√ ）
2、两数相乘，其中一个因数缩小若干 、两数相乘， 倍时，积又怎么变化？ 倍时，积又怎么变化？
因数×因数=积
80×4=（320） 25×160=（4000） 40×4=（160） 25×40=（1000） 20×4=（80） 25×10=（250）
概括：两数相乘， 概括：两数相乘，当其中一个因数缩 小若干倍时，积也缩小相同的倍数。 小若干倍时，积也缩小相同的倍数。
3、整体概括规律 、
两数相乘，一个因数不变， 两数相乘，一个因数不变，另 一个因数扩大（或缩小）若干倍， 一个因数扩大（或缩小）若干倍， 积也扩大（或缩小）相同的倍数。 积也扩大（或缩小）相同的倍数。
4、验证规律
先用积的变化规律填空，再用笔算或计算器验算。 P59、3
小学三年级数学因数和积的变化规律教案
① 6 扩大 4 倍是多少？ ② 3 扩大 10 倍是多少？
③ 200 缩小 20 倍是多少？ ④ 8 缩小 8 倍是多少？
2．教例 6．
（2）学生口算填表：
（3）想：发现了什幺？分组讨论．
① 第 2、3、4、5 组的第二个因数同第一组比较，分别扩大 2 倍、5 倍、 10 倍、50 倍，积也随着扩大 2 倍、5 倍、10 倍、50 倍．
2．填空：
（1）一个因数不变，另一个因数（ ） ，积也（ ） ．
（2）一个因数不变，另一个因数扩大 5 倍，积（
） ；一个因数缩小 7
Байду номын сангаас
倍，另一个因数不变，积（ ） ；一个因数不变，要想使积扩大 24 倍，另一个 因数（ ） ．
五、布置作业．
（207＋99） 32 130 （560－490） 400 （225 9） （798＋486） 6
② 一个因数不变，另一个因数扩大若干倍，积也扩大相同的倍数．
（4）练习：
12 3＝ 48 5＝24 5＝
120 3＝ 48 50＝ 24 25＝
1200 3＝ 48 500＝24 75＝
小结：启发学生把发现的规律进行概括：一个因数不变，另一个因数扩大 （或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数．
（5）填空练习：
① 在 4 5＝20 中，如果 4 不变，5 扩大 2 倍，那幺积也（ ）倍．
② 在 6 8＝48 中，如果 8 不变，6 缩小 3 倍，那幺积也（ ）倍．
三、课堂总结．
这堂课你学到了什幺？
四、随堂练习．
化？
1．填表：观察每次计算同前一次比较，因数有什幺变化？积有什幺变
28 40 2800 30
积和因数的变化规律
积和因数的变化规律教学内容：苏教版四年级下册第三单元教学目标：1、经历探索积的变化规律的过程，发现并总结积的变化规律。
能应用积的变化规律解决一些简单实际问题。
2、使学生经历变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。
尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达水平。
初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理水平。
3、培养学生初步的抽象、概括水平及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好习惯。
教学重难点：经历探索积的变化规律的过程，知道在乘法算式中，“一个乘数不变，另一个乘数乘一个数，得到的积等于原来的积乘同一个数”，能应用积的变化规律解决一些简单实际问题。
教学用具：PPT教学过程：一、回顾方法、引入新课出示上学期“商不变规律”的截图，回忆：我们是怎么学习的？（出示活动单：初步感知、提出猜想——自由举例、得出结论）今天我们就继续用这样的方法找规律。
二、探索规律1、初步感知，得出猜想。
(交流活动一)附：A算一算、填一填。
B比一比，说一说：你有什么发现？我是把第（）题和第①题比较的，我发现了：（1）小组交流要求：先由组长核对表格，再依次交流“你有什么发现”。
（2）学生活动，教师随机巡视（3）集体交流：A、核对表格：B、交流规律：表格填完了，你们发现规律了吗？学生口答，师适时实行板书：乘数乘数积不变×2 也×2×5 不变也×5×（）不变也×（）（在学生表达的过程中，老师实行评价。
）师提问:算式⑤你们都是这样变的吗？有不同的变法吗？你乘几了？积呢？你呢？能说的完吗？（省略号）C、一个乘数不变(这个乘数能够是第一个，也能够是第二个)，另一个乘数乘几，积也乘几2、自由举例、验证规律请看活动二。
（1）试着举一个乘法的例子（30×5）A一个乘数是30、另一个乘数是5，积是150B、你准备怎么变？（2）自由举例：就请你像这样自己先举例，再在四人小组内交流。
因数变化引起积的变化规律
因数变化引起积的变化规律在生活中，数学就像个老朋友，总是悄悄跟在身边，偶尔让你感到困惑，偶尔又给你带来惊喜。
今天咱们聊聊一个有趣的主题，叫做因数变化引起积的变化规律。
听起来可能有点深奥，但别担心，我会让这件事情变得轻松有趣。
想象一下，你正在厨房里做饭，决定给家人做一个大蛋糕。
你把面粉、糖、鸡蛋和牛奶放在一起，想着“我加多少就能做出一个超好吃的蛋糕呢？”这时候，面粉的量就是一个因数，糖的量是另一个因数，最后你混合在一起的就是蛋糕的“积”。
如果你把面粉的量从两杯增加到三杯，结果是啥？没错，蛋糕就会变得更大，味道更好。
这里，面粉的变化引起了蛋糕“积”的变化。
是不是听起来很简单？再说说我们生活中常见的买东西。
如果你去超市，想买水果。
你看到苹果，三块钱一个，买了十个，那就是三十块。
你还想买橙子，四块钱一个，买了五个，那就是二十块。
算上总共，哎呀，七十块。
这时候，苹果和橙子就是你的因数，而最终花的钱就是积。
假设今天打折，苹果变成两块，买十个只要二十块，哇，这样你省下来的钱可是能买好多零食呢！因数的变化，直影响你的购物计划，简直是生活的数学魔法。
再举个例子。
大家都知道，运动对于我们的身体健康非常重要。
有时候你决定去健身房锻炼，今天你做十个俯卧撑，明天你加到十五个。
因数增加了，你的肌肉就会慢慢变得结实，体能也会提升。
运动的积也在不断变化，跟你付出的努力成正比。
这就像一个滚雪球，越滚越大，越加越壮。
咱们可能会在社交场合遇到新的朋友。
想象一下，一个聚会，大家围坐在一起聊天。
一个人讲笑话，大家都哈哈大笑。
笑声传递开来，气氛就活跃起来。
这里，笑话的质量和参与的人数都是因数，而最后的快乐程度就是“积”。
你能感受到的那种欢快的氛围，就是因数变化带来的美好结果。
再来谈谈家庭聚会。
比如，大家一起做火锅，你和朋友们轮流点菜。
每个人贡献的食材数量和种类，就是因数。
最后煮出来的火锅香气四溢，大家围坐在一起，其乐融融，这就是因数的变化带来的积的变化。
因数与积的变化规律
一个因数不变，另一个因数扩大了多少倍， 积也扩大多少倍。 一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小） 一个因数不变，另一个因数缩小了多少倍， 若干倍，积也扩大（或缩小）相同倍数。 积也缩小多少倍。
若干意思：几。既可以是1倍、2倍、3倍…65倍等等 可以是所有的数。
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
问题：
①第2、3、4、5组的第二个因数同第1组的比较有什么变化？ 也就是从2到10、20、200、1000有什么变化？扩大了
②他们分别扩大了多少倍？ 扩大了5倍、10倍、100倍、500倍
③他们的积分别有什么变化？
也分别扩大了5倍、10倍、100倍、500倍
因数 因数 积 因数 因数
16 2 32 16 2
因数
因数 积
16
2 32
16
10 160
16
20 320
16
200 3200
16
1000 16000
问题：
①第4、3、2、1组的第二个因数同第5组的比较有什么变化？ 也就是从1000到200、20、10、2有什么变化？ 缩小了
缩小了5倍、50倍、100倍、500倍 ②他们分别缩小了多少倍？
③他们的积分别有什么变化？
12 × 3 = 36
扩大 100 10倍 倍 不变 也扩大 100 10倍 倍
36×100=3600 10=360
360 120 × 1200 ×3 3= = 3600
一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小） 若干倍，积也扩大（或缩小）相同倍数。
一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小） 若干倍，积也扩大（或缩小）相同倍数。
因数×因数=积
1、理解“扩大”“缩小”的含义
小学三年级数学因数和积的变化规律教案
教案标题：小学三年级数学因数和积的变化规律教学目标：1.理解因数和积的概念；2.掌握数学因数和积的变化规律；3.能够灵活应用因数和积的规律解决实际问题。
教学准备：1.教学工具：白板、黑板、彩色粉笔、讲解卡片；2.教学材料：练习题、实际问题、实物模型等。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1.引入主题：今天我们要学习因数和积的变化规律，相信大家都知道乘法吧？（学生应进行回答）2.提问：你们还记得乘法的运算法则吗？（学生应回答乘法的基本法则：乘法交换律、乘法结合律）3.复习：请大家回忆一下，怎样计算两个数的积？步骤二：概念讲解（10分钟）1.出示讲解卡片：因数和积的概念定义；2.老师讲解：因数是指能够整除一个数的数，而积是指两个数相乘的结果；例如：6是12的因数，因为6能够整除12；而12和6的积是72，因为12乘以6等于72步骤三：变化规律的探究（20分钟）1.提问：如果一个数的因数和积有什么样的变化规律呢？2.引导学生合作完成以下操作：(1)拿出数字卡片1和2，观察和计算1和2的因数之和和积；(2)再拿出数字卡片3，观察和计算1、2和3的因数之和和积；(3)请学生依此类推，使用数字卡片继续进行计算；(4)让其中一组学生上来，把卡片上的数字放入一个小箱子中；(5)让另一组学生上来，把小箱子中的数字拿出来，组成因数之和和积的等式，并解释他们的发现。
3.教师引导学生总结规律：(1)因数之和=因数1+因数2=积；(2)当一个数的因数之和和积相等时，这个数有几个因数呢？(3)变化规律是否适用于更大的数呢？(4)提出新的问题，让学生思考并继续实践验证。
步骤四：实际问题应用（15分钟）1.出示一个实际问题：小明要买苹果，每箱装12个，他一共买了多少个苹果？2.让学生们尝试使用因数和积的规律解决这个问题，并根据结果回答问题。
步骤五：拓展练习（10分钟）1.从小到大列举10以内的整数，让学生们找出它们的因数之和和积的特点；2.请学生用白板写出规律，并解释；3.完成练习题并批改。
因数和积的变化规律课件1
1000 25×10=（ 250 ）
8 ×4=（ 32 ）
两数相乘，一个因数不变，另一个因数除以几（0除外）时，积 也要除以几。
两数相乘，一个因数不变，另一个因数 乘几或除以几（0除外）时，积也要乘几或除以几。
一个长方形的面积是 256 平方厘米，如 果长缩小到它的1／4，宽扩大到原来的4倍， 这个长方形 就变成了正方形，这个正方形面 积是多少? 它的边长是多少？
算一算，想一想，你能发现什么规律？ 18× 24=432 （18×2）×（24÷2）= （18÷2）×（24×2）=
432 432
两数相乘，一个因数乘或除以几（0除外）， 另一个因数除以或乘几（ 0 除外），它们的乘 积不变。
根据105×45=4725，直接写出下面各题的积。
（105×3）×（45÷3）= 4725 （105÷5）×（45×5）= 4725
计算下面的两组题，你有什么发现吗？ 把你的发现写下来。
6× 2=（ 12 ） 6 ×20=（ 120 ） 6 ×200=（1200 ） 8 ×125=（ 1000 ） 24×125=（ 3000 ） 72×125=（ 9000）
两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几（0除外）时，积也 要乘几。
计算下面的两组题，你有什么发现吗？ 把你的发现写下来。
先用积的变化规律填空，再用笔算或计 算器验算。 16×17＝ 272 16×34＝（ 544 ） 16×51＝（ 816 ）
同学们安静地各写两组算式 ， 一组 3 个，展现积分别随一个 因数扩大、缩小的变化情况。
根据8 ×50=400，直接写出下面各题的积。 16×50= 800 32×50= 1600 8 ×25= 200
因数和积的变化规律
因数和积的变化规律
因数和积的变化规律是指当一个数的因数发生变化时，它们的和与积会如何变化。
当一个因数增加或减少时，和与积也会相应地发生变化。
假设我们有一个正整数N，并且找到了N的所有因数。
这些因数可以用来表示N可以整除的所有数。
例如，如果N是12，那么它的因数是1, 2, 3, 4, 6和12。
当我们将这些因数相加时，就得到了因数的和。
在我们的例子中，因数和为1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28。
当我们将这些因数相乘时，就得到了因数的积。
在我们的例子中，因数积为1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 12 = 1728。
如果我们增加或减少一个因数，那么和与积也会相应地发生变化。
例如，如果我们增加一个因数，那么和与积将会增加。
相反，如果我们减少一个因数，那么和与积将会减少。
总的来说，当一个数的因数发生变化时，它们的和与积会随之变化。
这种变化可以通过增加或减少因数来实现。
5第五讲 积的变化规律
，另一个因数除以b(b≠0)，那么积就是原来
的积除以(axb)。
练习一
1、填空
在乘法算式中，一个因数不变，另 一个因数乘2，积就（ 乘2 ）； 一个因数不变，另一个因数除以3， 积就（ 除以3 ）；一个因数乘4，另 一个因数乘3，积就（ 乘12 ）；一 个因数除以2，另一个因数乘8，积就 （ 乘4 ）。
12÷4=3 81÷3=27 答：得到的新积是27。
3×5=15 630÷15=42
答：得到的新积是42。
1、两个数相乘，如果一个因数不变，另一 个因数乘a，那么积就乘a。
2、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个 因数乘b，那么积就乘(axb)。
3、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个 因数除以b(b≠0)，那么积就是原来的积乘a除 以b
如果一个因数除以4，另一个因 数也除以4，那么积有什么变化?
分析与解答：一个因数除以4， 即120÷4，另一个因数也除以4， 即80÷4。那么积变为： （120÷4）×(80÷4) 9600÷4÷4
（120×6）×（60÷3） 120×60=7200
=30×20
=2400÷4
=720×20
即7200×6÷3
2、两个数相乘，如果一个因数乘a， 另一个因数乘b，那么积就乘(axb)。
拓 展1 在乘法算式25×8中，如 果一个因数乘2，另一个因数乘3， 那么积有什么变化?
分析与解答：一个因数乘2，即25×2， 另一个因数乘3，即8×3，那么积变为：
（25×2）×（8×3） = 50×24 = 1200
25×8=200 即200×2×3=1200 也就是 2×3=6,200×6=1200 答：积就乘6，由原来的的 200变为1一个 因数乘3、另一个因数乘4。积有什么 变化?
积商变与不变的规律
积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。
积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。
一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。
除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。
7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。
4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。
9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（）。
10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。
11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。
12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。
13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。
14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。
乘法、除法的变化规律
因数与积的变化规律：
1、一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）相同的倍数。
2、一个因数扩大（或缩小）a倍，另一个因数扩大（或缩小）b倍，那么积扩大（或缩小）ab倍。
3、一个因数扩大一定的倍数，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
被除数、除数与商的变化规律：
1、除数不变,被除数扩大（或缩小）几倍,商就扩大（或缩小）相同的倍数。
（商与被除数的变化方向相同）
2、被除数不变,除数扩大（或缩小）几倍,商就缩小（或扩大）相同的倍数。
（商与除数的变化方向相反）
3、被除数扩大（或缩小）几倍,除数扩大（或缩小）相同的倍数, ,商就不变。
（商不变的性质）。
2014冀教版数学四下《因数和积的变化规律》ppt课件
感谢您对文章的阅读跟下载，希望本 篇文章能帮助到您，建议您下载后自 己先查看一遍，把用不上的部分页面 删掉哦，当然包括最我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
积的变化规律
【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。
用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。
【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。
（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。
（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。
用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。
（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。
这一变化规律用字母表示，就是如果a÷b=q（余r），那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。
例如，84÷9=9……3，而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。
积的变化规律和因数末尾有零的乘法
积的变化规律和因数末尾有零的乘法在数学中，积是几个数相乘的结果。
例如，2和3的积是6。
积在数学中是一个非常重要的概念，因为它出现在许多不同的数学问题中。
在这篇文章中，我们将探讨积的变化规律和因数末尾有零的乘法的概念。
积的变化规律积的变化规律是一种描述积随着因数变化而发生变化的方法。
在这里，我们将讨论两种基本的积变化规律：比例关系和反比例关系。
比例关系是指当一个因数的值增加时，积也会相应地增加。
例如，如果我们乘以2和3的积为6，那么当我们将2乘以3时，积将变为12。
同样地，如果我们将3乘以2的积也为6，那么当我们将3乘以4时，积将变为24。
反比例关系是指当一个因数的值增加时，积会相应地减少。
例如，如果我们将2乘以3的积为6，那么当我们将2乘以4时，积将减少到3。
同样地，如果我们将3乘以2的积也为6，那么当我们将3乘以1.5时，积将减少到4.5。
因数末尾有零的乘法当我们计算一个数的积时，有时会出现因数末尾有零的情况。
这种情况可能会影响结果，因此在进行乘法运算时需要特别注意。
现在，我们探讨一下因数末尾有零的乘法。
当我们将一个数乘以10的幂时，例如10、100或1000，我们将会得到一个末尾有零的结果。
例如，当我们将2乘以100时，结果为200，末尾有两个零。
这是因为2乘以100等于2乘以10乘以10，也就是说，我们将2乘以10的幂两次，每次都得到一个末尾有零的结果。
如果我们将两个或多个带有末尾零的数相乘，那么最终的结果将有更多的末尾零。
例如，当我们将20和30相乘时，结果为600，末尾有两个零。
这是因为20和30都有一个末尾零，所以它们的乘积也有一个末尾零，这是两个末尾零的和。
然而，在实际的乘法中，因数末尾有零并不总是会影响最终结果。
例如，当我们将13乘以10时，结果为130，末尾有一个零。
在这种情况下，因数末尾的零并没有对结果产生影响。
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总结一下自己得出的“口算整十、整百的数乘一位数(或整十数)的计《口算乘法》导学提纲 ［学习目标］ 1. 会口算整十、整百的数乘一位数(或整十数)； 2.能笔算两位数乘一位数、两位数。
［自主学习］(1) 人骑自行车1小约行16千米，3小时可以行多少千米？［合作探究］上题中16可以看成()+ (); 16X 3可看成10X 3=( )和6X 3=( )的和( )即 16X 3=()。
试着完成：(2)特快列车1小时约行160千米，3小时可以行多少千米？算方法。
测试题一、口算下列各题18X 4= 24 X 3= 25 X 2= 14 X 6= 130X 5= 2 X 380= 150 X 6= 7 X 13= 420 X 4=120 X 5= 140 X 7= 350 X 2= 18X 30=24X 20=12X 50=110X40=3. 算一算，你发现了什么?4. 一个计算器24元，李老师要买4个。
他带了 100元，钱够吗?［训练提升］1.口算下列各题：12X 8= 15X 6= 23 X 4= 32 X 3= 120X 8=150X 6= 23 X 40= 32 X 30= 120X 80=150X 60=230X 40=320X 30=［反馈纠正］5.小明、小丽、小红到超市买文具。
其中一种每套18元，另一种每套21元。
他们带了 60元钱，买三套文具，共有几种买法？6. 学校要买树苗，每棵树苗16元，由于搞活动，买3棵送一棵，一次 买3棵，每棵便宜多少钱？《笔算乘法》导学提纲［学习目标］7. 进一步练习口算整十、整百的数乘一位数（或整十数）； 8能笔算两位数乘一位数、两位数。
［自主学习］1. 150X 2= 150X 10= 150X （ 10+2） = 150X 12=［合作探究］上题中150X 12可看成150X （ 2+10） =150X 2+150X 10写成竖式就是322X 24= 145X 27= 217X 83= 286X 35=124X 73= 164X 32= 54X 145= 182X 47=对齐。
最后将两个积上下位相加。
测试题 一、竖式计算下列各题150 X12300 - 1500 -.................... d CH V O.................... 150 X 2 .................... d CH v d A.................... 150 X 10 1800试着完成：李叔叔从某城市乘火车去北京用了 千米。
该城市到北京有多少千米？ 12小时，火车1小时行145［训练提升］1 3 4 X121 7 6X 4 74 2 5X 3 62 3 7X 8 2反馈纠正［反馈纠正］总结笔算乘法的计算方法：把两个因数按（ ）位对齐，先用下面的 因数的（ ）位乘上面的因数，积写在线下；再用下面因数的（ ）位 乘上面的因数，积写在第一个积和下面，但个位要与第一个积的（ ）位（1） 每种蔬菜卖了多少元? （2） —共收入多少元？1 3 41 52 2 4 6 X 1 6X 2 3 X 3 48 0 41 5 6 9 6 4 1 3 4 1 0 4 6 3 8 9 3 81 1 9 67 3 4 49. 说出下面计算中的错误，并把它改正过来。
10.张叔叔种植了品种繁多的观赏蔬菜。
其中一部分蔬菜的价格和卖出的盆数如下表。
［反馈纠正］你能发现速度、时间和路程有什么关系吗?［学习目标］1. 掌握因数中间、末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
2. 能自己总结和归纳出因数中间、末尾有0的乘法规律。
3. 初步理解并掌握乘法的一些常见的数量关系。
4. 知道速度、时间、路程之间的数量关系5. 能运用乘法的数量关系解决实际问题。
［自主学习一］一、看题列式：1. 特快列车每小时可行160千米。
普通列车每小时可行106千米。
它们30 小时可行多少千米？测试题一、笔算下列各题：230290 703460 206x 7x 40x 12x 2534、计算卜列各题：305 x26=410x 20=980x 22=308x 36= 450 x 15=250x 44=206x 13=602x 11二［合作交流］怎样计算160X 30,又怎样计算106X 30?［反馈纠正］(1) 因数末尾有0的乘法，先把( )相乘，乘完以后，看两个因数末尾一共有几个( )，就在乘得的数的末尾添几个( )。
(2) 因数中间有0的乘法，计算时应注意，用第二个因数的个位、十位分别去乘第一个因数是，第一个因数中间的0( )。
［自主学习二］一辆摩托车每小时行驶40千米，那么它的速度可以写成______________________ 小组讨论：一辆汽车的速度是80千米/时，2小时可行多少千米？怎样列式：__________________________________________________________ 三、写一写1. ____________________________________________________________ 我国的特快列车最高速度可达每小时160千米。
写作：_________________________2. 声音传播的速度是每秒钟340米。
写作：_________________________________3. 我国“神舟”六号飞船的速度是每秒8千米。
写作：_________________________4. 磁悬浮列车的速度可达每分钟7500米。
写作：______________________________四、比较大小。
(在O填上“ >”、“<”或“二”)120x 30012X 300 500 x 100100x 51 16 x400O210 x 4206 x 180260x 18 140 x 560150x 46 19 x 300O30 x 180应用题。
1. 修一条长8500米的公路，每天修240米，30天能修完吗?《因数中间、末尾有0的乘法》导学提纲2. 王叔叔从县城出发去王庄乡送化肥。
去的时候用了3小时，返回用了2小时。
已知去的时候速度是40千米/时。
问（1）从县城到王庄乡有多远？（2）返回时平均每小时行多少千米？《6.估算》导学提纲［学习目标］1. 掌握用取近似值的方法来估算。
2. 能根据实际情况，确定取近似值的方法。
［自主学习］一、复习：1. 一本故事书有189页，大约是（）页。
2. 车票和门票是49元，大约是（）元。
3. 四年级同学共有104 A,约是（）人。
二、学习新课：［例题】四年级同学去秋游。
每套车票和门票49元，一共需要104套票应该准备多少钱去买票？要求较快得出答案，比一比谁算得快。
［合作交流］84=让做得快的同学介绍自己的方法。
49 50 49 50 104 100104 110 50 X 100=()元 50 X 110=(讨论：谁的估算好一些？为什么? ［反馈纠正］ 乘法的估算，关键在于如何对两个因数来估算。
一般用（ 估算，但应视实际情况而定 其标准就是接近准备值 （符合实际））法来并且计算简便。
小测试 、填空:1.某工厂有员工1905人,大约是（2.某公司一月份的利润为 8763元，大约是（ ）元。
3.某工厂一月份生产汽车2096辆，大约是（）辆。
4.王刚家今年共收花生 "86斤, 大约是（）斤。
5.本校学生585人，大约是（）人。
二、笔算题:432 X 56= 525 X 28= 760 X 13= 40525 X8=25X16=25X32=75xX32=四、应用题：1.一辆汽车的平均速度是43千米/时，它从甲地到乙地用了19小时，甲地到乙地大约有多少千米？2 .四年级有197人去看电影，每张12元，带2400元钱够吗?《因数和积的变化规律》导学提纲［学习目标］11. 理解因数和积的变化规律。
12. 能运用因数和积的变化规律进行简便计算。
13. 能运用乘法的数量关系解决实际问题。
［自主学习］计算下面两组图，说一说你发现了什么？6X 2= 6X 20= 6X 200=20X 4= 10X 4= 5X 4=发现：［合作探究］根据8X 50=400,直接写出下面各题的积。
16X 50= 32X 50= 8X25= 8X 150= ［训练提升］找出规律再填空。
16X 17= 16X 34= 16X 51 =16X 68= 16X 85= 16X 102=［反馈纠正］在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)几倍，积就( )。
测试题1. 卡车在普通公路上以40千米/时的速度行驶，4小时可以行( )千米，轿车在高速公路上行驶的速度是卡车的2倍，轿车用同样的时间可行( )千米。
2. 下面这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变。
扩大后的绿地面积是多少？r-?~560平方米*14. 说出下面计算中的错误，并把它改正过来。
1 3 4 1 52 2 4 6X 1 6 X 2 3 X 3 48 0 4 1 5 6 9 6 41 3 4 1 0 4 6 3 89 3 8 1 1 9 6 7 3 4 415. 张叔叔种植了品种繁多的观赏蔬菜。
其中一部分蔬菜的价格和卖出的盆数如下表。
(3) 每种蔬菜卖了多少元?(4) 一共收入多少元？第三单元复习提纲(一)一、填一填四、 列式计算。
1. 一个因数是170，另一个因数是20，积是多少？2. 180的4倍是多少？3. 一个数的3倍是180，这个数是多少？五、 生活中的数学1. 繁荣小学准备发给14个班练习本，每班150本，还需要留60本作为备用。
学校 应买多少本练习本才够用？.利群超市上月卖出几种玩具的情况统计表，请在空格中填上适当的数: （1）利群超市卖出布娃娃、小汽车、玩具飞机共多少兀?（2）根据上月销售情况，你有什么建议?2. 公园里的一头大象一天要吃 360千克食物，饲养员准备了 7吨食物，够大象吃20天吗？1.“神州”四号绕地球一周约用 90分钟，绕地球108周，用（ ）分钟2•速度、时间与所行路程的关系是（ ）o3. 特快列车每小时可行160千米，可写作（ ）o4. 两个因数分别是72和4,积是（ ）o5. 16X 7=272,那么 16X34=（ ） 6.在除法算式中，被除数扩大了 3倍，要使商不变，除数应（ ）;除数扩大3倍，要使商不变，被除数应（ ）。
二、口算（12 分）230 X 3= 15X 8= 48 X 3= 14X 3= 37X 20= 140X 5= 350 X3= 13X 6=2400- 8= 1000 - 8= 760-45= 28 X 3= 702+ 58=180X 30=5X 23=三、比较大小。