高中数学 3.2.2 指数运算的性质 北师大版必修1

探究点三 条件求值 已知 a12＋a－12＝ 5，求下列各式的值： (1)a＋a－1; (2)a2＋a－2.
1
1
－
[解] (1)将 a2＋a 2 ＝ 5两边平方，
得 a＋a－1＋2＝5，即 a＋a－1＝3.
(2)将 a＋a－1＝3 两边平方，得
a2＋a－2＋2＝9，
所以 a2＋a－2＝7.
在本例条件下，求 a2－a－2 的值． 解：设 y＝a2－a－2，两边平方， 得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45. 所以 y＝±3 5， 即 a2－a－2＝±3 5.
1．正整数指数幂的运算性质
(1)aman＝_a_m_＋_n__；(2)(am)n＝_a_m_n__；(3)(ab)n＝_a_n_b_n__；
(4)当 a≠0 时，有aamn＝___a___a－___m1___（－___nn___－___m， __）___当 ，，m当当＝mm＜ n＞时nn时 ，时；，
2
4b3＋2
3
2
ab＋a3
1－2
3
b×3 a，结果如何？ a
4
1
解：4b23＋a3－238aab3b＋a32÷1－2 3
b×
3
a
a
＝4ab1323（＋a2－a13b813b＋）a23÷a13－a132b13×a13
1
1
1
＝a3[（a23）3－1 （1 2b32）3]× 1 1 1
4b3＋2a3b3＋a3
1
B．m2
1
C．m3
D．m
(2)化简(a23b21)(－3a12b13)÷13a16b56(a>0，b>0)的结果是( C )
A．6a
B．－a
C．－9a
D．9a
11151
＋＋－－
解析：(1)原式＝m2 3 4 6 4＝m0＝1.
(2)原式＝－3a23＋12b12＋13÷13a16b56
7155
－－
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)abn＝abnn.( × )
(2)当 a>0 时，am＋n＝am·an.( √ )
3
(3)[(－3)2]2＝(－3)3＝－27.( × )
2．下列各式中恒成立的是( D )
A.ba5＝a5b15
12 B.
（－3）4＝ 3
－3
3 C.
4
x4＋y4＝(x＋y)3
a3－2b3
11
1
2
11 2
＝a3（a3－2b3）2 （41b31＋2a23b3＋a3）× 1 1
1
1＝a3.
4b3＋2a3b3＋a3
a3－2b3
(1)把根式化为分数指数幂，再化简； (2)把分式的分子、分母分解因式，能约分的应先约分.
34
1.(1) m· m· m ＝(
（6
1
m）5·m4
A)
A．1
an (5)(ab)n＝____b_n____________ (b≠0)．
(其中 m，n∈N＋)
2．实数指数幂的运算性质 (1)am·an＝_____a_m_＋_n_______；(2)(am)n＝_____a_m_n_______； (3)(ab)n＝_____a_n_b_n_____．
(其中 a>0，b>0，m，n∈R)
b×3 a. a
[解] (1)原式＝{ab2[(ab)12]3}31＝(a1＋32·b2＋32)13＝a52×13b72×13
57
＝a6b6.
4
1
a3－8a3b
(2)
2
4b3＋2
3
ab＋a23÷1－2
3
b×3 a a
1
1
1
＝
a3（a－8b）
2
11
2÷a3－12b3×a13
4b3＋2a3b3＋a3
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3832－
1＋ 0.01
93；
(2)14－12·0.1（－2·4（aba－31b）－33）12.
解：(1)原式＝1＋232·28723－10＋932
＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19.
3
3
(2)原式＝412·0.12·23·a32·a2·b－b32 －2＝2×1100×8＝245.
D. 4 4＝4 2
解析：对 A，ba5＝a－5b5；对 B，12 （－3）4＝12 34＝3 3；
11
对 C，令 x＝y＝1 知不成立；对 D，
4
84
4＝4 ＝2 ＝
4
2，
故选 D.
3．计算－61－2＋160.75＝__4_4_____． 解析：原式＝－61－2＋24×34＝36＋8＝44.
4．若 x＜0，则|x|－ x2＝____0____．
＝－9a6 6b6 6 ＝－9a.
探究点二 指数幂的运算 计算：
(1)2530＋2－2×241－12－(0.01)0.5； (2)2970.5＋0.1－2＋22170－23－3π0＋4387.
[解] (1)原式＝1＋14×4912－110012
＝1＋16－110 ＝1165.
(2)原式＝29512＋110－2＋2674－23－3＋3478
a3
1
1
1
1
＝a3[（a23）3－1 （1 2b32）3]×
a3
1
1
1×a3
4b3＋2a3b3＋a3
a3－2b3
11
1
2
11 2
1
＝a3（a3－2b3）2 （41b31＋2a23b3＋a3）× 1 a3
1
1×a3
4b3＋2a3b3＋a3
a3－2b3
111
＝a3×a3×a3＝a.
4
1
本 例 (2) 添 加 括 号 变 为 a3－8a3b ÷
在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，如果改
变等式成立的条件，则有可能不成立，如 a＝－2，b＝－4
1
1
1
1
时，(ab)2＝[(－2)×(－4)]2＝(－2)2×(－4)2则无意义．
探究点一 指数幂的化简
化简：(1) 3 ab2（ ab）3(a，b>0)；
4
1
(2)4b23＋a3－238aab3b＋a23÷1－2 3
＝53＋100＋196－3＋4387＝100.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)数的转化：①对幂底数是小数的先将小数化为分数，②分 数化最简，带分数化为假分数，③根式化分数指数幂，④幂 底数为负数的先确定幂的符号． (2)运算顺序：有括号先算括号内的，无括号先算指数运算.
2.计算：
(1)(－1.8)0＋32－2· 3
第三章 指数函数和对数函数
2．2 指数运算的性质
1．问题导航 (1)正整数指数幂的运算性质有哪 5 条？ (2)(1)中的性质对无理数指数幂成立吗？ (3)(1)中的性质对实数指数幂成立吗？ (4)(1)中的性质可归纳为哪三条？其适用条件是什么？
2．例题导读 (1)P67 例 4.通过本例学习，体会指数幂性质的正用； (2)P67 例 5.通过本例学习，体会指数幂性质的逆用和整体代 入思想的应用．