信号与系统复习知识总结

信号与系统复习知识总结 This manuscript was revised on November 28, 2020

重难点1.信号的概念与分类

按所具有的时间特性划分：

确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；

正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。其周期为各个周期的最小公倍数。

① 连续正弦信号一定是周期信号。

② 两连续周期信号之和不一定是周期信号。

周期信号是功率信号。除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或,∞→t 0

)(=t f 的非周期信号就是能量信号，当∞→t ，0)(≠t f 的非周期信号是功率信号。

1. 典型信号

① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =，s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()t

Sa t t

= 奇异信号

（1） 单位阶跃信号

1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点。

（2） 单位冲激信号

单位冲激信号的性质： （1）取样性 11()()(0)

()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞

-∞

-∞

=-=⎰

⎰

相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= （2）是偶函数 ()()t t δδ=- （3）比例性 ()1

()at t a

δδ=

（4）微积分性质 d ()

()d u t t t

δ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰

（5）冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ；

()0t δ=（当0t ≠时）

()()d (0)f t t t f δ∞

-∞

''=-⎰

()d ()t

t t t δδ-∞

'=⎰ ；

带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

重难点2.信号的时域运算

① 移位： 0()f t t +， 0t 为常数

当0t >0时，0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上左移0t ；当0t <0时, 0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上右移0t 。

② 反褶： ()f t - ()f t -的波形相当于将()f t 以t =0为轴反褶。 ③ 尺度变换： ()f at ，a 为常数

当a >1时，()f at 的波形时将()f t 的波形在时间轴上压缩为原来的1a

； 当0

。 ④ 微分运算：

()d

f t dt

信号经微分运算后会突出其变化部分。 2. 系统的分类

根据其数学模型的差异，可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性

（1） 线性性

若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性。

当激励为1122()()C f t C f t +（1C 、2C 分别为常数时），系统的响应为

1122()()C y t C y t +。

线性系统具有分解特性：

)()()(t y t y t y zs zi +=

零输入响应是初始值的线性函数，零状态响应是输入信号的线性函数，但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数。

（2） 时不变性 :对于时不变系统，当激励为0()f t t -时，响应为0()f t t -。 （3） 因果性

线性非时变系统具有微分特性、积分特性。 重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：

各响应分量的关系：

重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程，形式由特征根确定，待定系数由-0初始状态确定。

零输入响应必然是自由响应的一部分。

重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：

那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分，即)()()(t h t f t y zs *=。零状态

响应可分解为自由响应和强迫响应两部分。

重难点7.单位冲激响应的求解。冲激响应)(t h 是冲激信号作用系统的零状态响应。 重难点8.卷积积分

（1） 定义 ττττττd f t f d t f f t f t f )()()()()(*)(212121-=-=⎰⎰∞

∞-∞∞-

（2）

卷积代数

① 交换律 )(*)()(*)((1221t f t f t f t f =

② 分配率 )(*)()(*)()]()([*)(3121321t f t f t f t f t f t f t f +=+ ③ 结合律 )](*)([*)()(*)](*)([321321t f t f t f t f t f t f = 重难点9.卷积的图解法 （ 求某一时刻卷积值） 卷积过程可分解为四步：

（1）换元： t 换为τ→得 f 1(τ)， f 2(τ)

（2）反转平移：由f 2(τ)反转→ f 2(–τ) 右移t → f 2(t-τ) （3）乘积： f 1(τ) f 2(t-τ)

（4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 (3)性质

1）f (t )*δ(t)=δ(t )*f (t ) = f (t ) )()(*)(00t t f t t t f -=-δ

)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ （210,,t t t 为常数）

2）f (t )*δ’(t ) = f’(t ) 3）f (t )*u (t ) ()()d ()d t

f u t f τττττ∞-∞

-∞

=-=⎰

⎰

u (t ) *u (t ) = tu (t )

4）[]121221d ()d ()d ()*()*()()*d d d n n n

n n n

f t f t f t f t f t f t t t t ==

5）121212[()*()]d [()d ]*()()*[()d ]t t

t

f f f f t f t f τττττττ-∞

-∞

-∞

==⎰⎰

⎰

6） f 1(t –t 1)* f 2(t –t 2) = f 1(t –t 1 –t 2)* f 2(t) = f 1(t)* f 2(t –t 1 –t 2) = f (t –t 1 –t 2)