银行不良贷款问题

XX师X学院2011年
数学建模竞赛论文
选题： B题
论文名称：银行不良贷款问题
学院：数信学院学院
参赛组别：专科组
组员：魏仙(09级)___________ ______
罗秀玲(09级)___________ _____ ___ 高敏(09级)____ ____ ______ 电话：
电子： 308856417qq.
提交日期： 2011.5.16
银行不良贷款问题
摘要
不良贷款率高，最大的危害是影响银行对经济的支持能力。

中国的银行对贷款极其谨慎小心，就是因为不良贷款太多，影响了银行放款能力。

如果靠发行基础货币来解决不良贷款问题，容易引发通货膨胀。

如果对之掉以轻心，不良贷款的大量发生还会诱发社会道德风险，如果加大处理不良贷款的力度又可能会引起企业连锁倒闭破产，增加财政风险和社会危机。

为了解决以上问题，所以银行必须制定良好的方案。

本文通过分析不良贷款与各项贷款余额，本年累计应收贷款，贷款项目， 本年固定资产投资额之间在自然现象中普遍存在相关关系，我们将用回归分析处理变量之间的相关关系，根据初步的作图分析，不良贷款受几个影响因素主次难以区分，这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，我们需要采用多元回归分析预测法。

多元线性回归预测首先是不良因素与其有关影响因素之间线性关系的数学模型。

然后通过对各影响因素未来值的预测推算出不良贷款的预测值。

对于问题一、我们利用题中某银行一年贷款主要业务数据（附表6），根据表中数据分别用Excel 作出不良贷款与各项贷款余额，本年累计应收贷款，贷款项目，本年固定资产投资额散点图（附图1，2,3,4），根据图和专业知识可得他们之间存在不确定的相关关系，所以对于问题一要讨论不良贷款与几个影响因素之间的相关关系，建立多元线性回归模型,利用Matlab 编程确定回归系数（4
3210,,,,b b b b b ）,以及2
R 和F 的值，由F 分布表查得
05
.0F (1,25)=4.24，由于F=22.6335>
05
.0F (1,25),说明回归方程的线性回
归效果显著，确定回归方程模型（1），然后通过逐步对回归系数进行检验得出自变量（x 3）对因变量y 的影响比较小，考虑剔除自变量（x 3），得到最优回归方程，建立模型（2）。

再通过最优回归方程对题目中某银行一
年贷款主要业务数据进行预测，预测值y 与数据中不良贷款数据基本符合，说明此模型具有一定的实用性。

对于问题二是在问题一的基础上，根据问题一建立的模型可知对不良贷款的影响不大的是贷款项目。

可以知道哪些因素对降低不良贷款有促进作用或抑制作用，从而给出建议。

经检验，本文的模型简单易懂，具有很强的推广性和可行性，对于控制不良贷款的发生额有较强的控制性。

关键字：银行不良贷款 多元线性回归 逐步回归法 最优回归方程
一、问题提出
商业银行主要业务之一就是对项目建设、固定资产投资等进行贷款。

近年
来，银行贷款额平稳增长，但不良贷款也有较大比例的提高，给银行贷款业务的发展带来较大压力。

请您：
1. 利用网络等收集有关数据资料，建立合适的数学模型帮助银行控制不良贷款的发生金额；
2.不良贷款是多方面因素造成的，银行希望利用自己业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。

下表是某商业银行25家分行一年的主要业务数据：见图6
二、问题分析
控制银行不良贷款的发生金额问题；是在着重考虑不良贷款与各项贷款余额，本年累计应收贷款，贷款项目，本年固定资产投资额之间是否存在着必要的联系的基础上建立模型。

对于问题一，首先根据图6作出散点图（见附表图1、2、3、4）帮助分析，结合散点图与用Excel计算出的相关系数（见附表5）分析的结果中，建立不良贷款多元线性回归模型（1）。

从而得出上面四个因素与不良贷款金额之间存在的线性关系。

又因银行要控制不良贷款金额，我们应该找出对他影响不大的因素，从而银行可以适当的调节贷款主要业务，控制或减少不良贷款的金额，进而使银行损失减到最小，通过观察置信区间是否包含零点，考虑利用逐步回归法剔出对不良贷款影响较小的变量，由此建立模型（2）得到最优回归方程，以获得较精确的结果。

从而得出控制不良贷款金额的有效办法。

对于问题二，根据一建立的模型，已经得出四个自变量中哪一个对不良贷款金额影响较小，那么银行就可以适当考虑对四个业务的重新分配问题，进而使银行的损失降到最小。

三、模型假设
1、假设题目给定的数据具有代表性和现实性，可以作为模型计算的依据。

2、假设不良贷款与各项贷款余额、本年累计应收贷款、贷款项目、本年固定资产投资额存在线性函数关系。

3、假设不良贷款是随机变量服从均值为零的正态分布。

四、符号说明
Y：不良贷款为研究指标；
x1：各项贷款余额；
x2：本年累计应收贷款；
x3：贷款项目；
x 4
：本年固定资产投资额分别为自变量.；
b b b b b 4
3
2
1
,,,,：回归系数；
F ：统计量值(
05
.0F (1,25)=4.24)；
R 2
：回归方程的决定系数；
p ：统计量对应的概率值
五、模型的建立与求解
1、据图分析y 与1x 和2x 的关系，利用表中的数据分别作出他们之间的散点图（见图1、2）从图1、2可以发现，随着1x 、2x ，的增加，y 值有明显的增长趋势。

利用Excel 计算出相关系数（见表5），由图可知
4
321,,,x x x x 与y 的相关
系数r ≠0，根据相关系数的取值X 围及意义,则可说明它们与y 存在线性相关系，从而建立如下线性回归模型：
Y=ε+++++x b x b x b x b b 443322110
（1）
ε~N(0，σ2
)
直接利用Matlab 统计工具箱中的命令regress 求解,相关程序见（附表6）得出结果建立表格如下;
六、结果分析
由表得出线性回归方程Y=-1.3299+0.0286x 1+0.2174x 2
-0.0167x 3-0.0005x 4，成立。

表中数据显示，2
R =0.8191指因变量y （不良贷
款）的81.91％可由模型确定，F=22.6335》05
.0F (1,25)=4.24，p<0.05,因而模
型一从整体上看是可以用的。

七、不良贷款预测
将回归系数代入模型（1），则可预测银行未来不良贷款额Y ，预测值记做Y -
,由此得到模型的预测方程为：
x
b x b
x b
x b
b Y
4
4
33
22
11
0-
+
-
+
-
+
-
+
=-
-
则，如果知道x 1，x 2，x 3，x 4的取值，就可以计算出预测值Y -。

如果银行在未来的业务中，维持各项贷款余额x 1=102.2，本年累计应收贷款x 2=12，贷款项目x 3=10，本年固定资产投资额x 4=97.1，则该银行在未来的业务中，不良贷款y -
=-1.3299+0.0286×102.2+0.2174×12+（-0.0167）×10+（-0.0005）×97.1=3.98627（亿元） 对于给定的回归变量的取值，可以以一定的置信度预测因变量的取值X 围，例如，当x 1=102.2，x 2=12，x 3=10，x 4=97.1可以算出不良贷款的置信度的预测区间[-2.5275 10.7734]，他说明在银行将来的业务中各项贷款余额x 1=102.2，本年累计应收贷款x 2=12，贷款项目x 3=10，本年固定资产投资额x 4=97.1，则可预测不良贷款金额在-2.5275亿元到10.7734亿元之间，为了控制不良贷款的金额银行可适当的调节各项业务所占的比例使银行在不良贷款方面的损失尽可能减小。

八、模型改进
由上表的回归系数中b -0=-1.3299，b -1 =0.0286，b -2 =0.2174，b -
3=-0.0167，b
-
4
=-0.0005检查他们的置信区间可知，只有b 3的置信区间包含0点，由附
表（去掉x3的）知变量x 3（对因变量y 的影响）不是太显著的，则考虑经过筛选变量x 3这一过程（逐步回归法）建立最优回归方程：
x b x b x b b y 4
422110+++=。

（2）
直接利用Matlab 统计工具箱中的命令regress 求解剔除变量x 3的相关程序见（附表7），得出结果建立表格如下;
由表得出线性回归方程：y=-1.4040+0.0272x 1+0.2160x 2-0.0005x 4
表中数据显示，2R =0.8185， F=31.5774>22.6335》05.0F (1,25)=4.24，p<0.05.
置信预测区间为[0.0522 8.45817],同样取各项贷款余额x 1=102.2，本年累计
应收贷款
x
2
=12，本年固定资产投资额
x
4
=97.1，得
y -
=-1.4040+0.0272×
102.2+0.2160×12-0.0005×97.1=3.91929<3.98627,置信预测区间与模型（1）的结果相比，区间长度明显缩小。

因而此模型较模型（1）更优化。

此外我们还考虑剔除变量x 1
、x 2
、x 4
，以及同时剔除x 1
和x 3
、x 1
和x 4
所得图表见附表
（图8~12）.
八、模型优缺点评价
1、对于模型（1）的结果可知，不良贷款与各项贷款余额、本年累计应收贷款、贷款项目、本年固定资产投资额都存在着一定的联系，但是其中有些项目与不良贷款的联系并不明显，因此银行在控制不良贷款金额方面没有确切的方法。

2对模型（2）信预测区间与模型（1）的结果相比，区间长度明显缩小，F 比模型1大大提高，表明回归直线对样本数据点的拟合程度很高，说明回归方程线性回归显著。

由此可以看出投资项目对不良贷款的影响不显著，则银行可以根据模型二制定控制不良贷款的方案。

给银行的建议
根据模型（1）和模型（2）所得不良贷款余额与各项贷款余额、本年累计应收贷款、贷款项目、本年固定资产投资额的线性回归方程显示，其变量前系数为负时，说明自变量对降低不良贷款余额均有正向促进作用，其变量前系数为正时，说明自变量对降低不良贷款余额均有负向抑制作用，由模型可知，其中各项贷款余额、本年累计应收贷款、本年固定资产投资额的增加对降低商业银行不良贷款都有影响，但贷款项目对其影响不显著，因此，为了发展经济、保持经济持续稳定增长，银行应该增加贷款项目，同时扩大对固定资产的投资，保持各项贷款余额、本年累计应收贷款的稳定，从而间接降低商业银行的不良贷款余额。

九参考文献
[1]廖铨生，概率与统计，XX：华东师X大学，2000.5
[2] 姜启元，数学建模与数学实验，：高等教育，2003.8
[3] 付鹏，数学实验，：科学，2000
图表1
图表2
图表3
图表4
用Excel计算x1,x2,x3,x4与y的相关系数矩阵如下：
图表5
分行编号不良贷款
（亿元）Y
各项贷款余额
（亿元）X1
本年累计应收贷
款（亿元）X2
贷款项目
个数X3
本年固定资产投
资额(亿元)X4
1 0.9 67.3 6.8 5 51.9
2 1.1 111.
3 19.8 16 9039
3 4.8 173 7.7 17 73.7
4 3.2 80.8 7.2 10 14.5
5 7.8 199.7 16.5 19 63.2
6 2.
7 16.2 2.2 1 2.2
7 1.6 107.4 10.7 17 20.2
8 12.5 185.4 27.1 18 43.8
9 1 96.1 1.7 10 55.9
10 2.6 72.8 9.1 14 64.3
11 0.3 64.2 2.1 11 42.7
12 4 132.2 11.2 23 76.7
13 0.8 58.6 6 14 22.8
14 3.5 174.6 12.7 26 117.1
15 10.2 263.5 15.6 34 146.7
图表6
Matlab计算模型（1）程序：
>> x1=[0.9 63.7 6.8 5 51.9;
1.1 111.3 19.8 16 9039;
4.8 173 7.7 17 73.7;
3.2 80.8 7.2 10 1
4.5;
7.8 199.7 16.5 19 63.2;
2.7 16.2 2.2 1 2.2 ;
1.6 107.4 10.7 17 20.2;
12.5 185.4 27.1 18 43.8;
1 96.1 1.7 10 55.9;
2.6 72.8 9.1 14 64.3;
0.3 64.2 2.1 11 76.7;
4 132.2 11.2 23 76.7;
0.8 58.6 6 14 22.8;
3.5 117.4 12.7 26 117.1;
10.2 263.5 15.6 34 146.7;
3 79.3 8.9 15 29.9;
0.2 14.8 0.6 2 42.1;
0.4 73.5 5.9 11 25.3;
1 24.7 5 4 13.4;
6.8 139.4
7.2 28 64.3;
11.6 368.2 16.8 32 163.9;
1.6 95.7 3.8 10 44.5;
1.2 109.2 15.8 16 39.7;
7.2 196.2 15.8 16 39.7;
3.2 102.2 12 10 97.1];
>> X=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:5)];
Y=x1(:,1);
[b,brint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05) b =
-1.3299
0.0286
0.2174
-0.0167
-0.0005
brint =
-2.8574 0.1977 0.0112 0.0461 0.0538 0.3811 -0.1633 0.1298 -0.0010 -0.0001
r =
-0.9620
0.0115
-0.1759
0.8250
0.1737
3.1054
-2.1777
2.9513
-0.5952
0.1345
-0.4407
-0.4663
-0.6068
-0.7969
1.2375
0.3902
1.0313
-1.4607
0.6092
3.0744
-0.6466
-0.4465
-3.7446
-0.2365
-0.7877
rint =
-4.3246 2.4006
-0.0353 0.0583
-3.5482 3.1964
-2.6480 4.2980
-3.1969 3.5444
0.1616 6.0492
-5.5040 1.1486
0.9235 4.9792
-3.8972 2.7067
-3.3248 3.5937
-3.8345 2.9530
-3.8362 2.9036
-4.0179 2.8043
-3.8683 2.2746
-1.8137 4.2888
-3.0685 3.8490
-2.2285 4.2912
-4.8833 1.9619
-2.7650 3.9835
0.4310 5.7178
-2.9835 1.6904
-3.8501 2.9572
-6.5527 -0.9366
-3.5356 3.0626
-4.1924 2.6170
stats =
0.8191 22.6335 0.0000 2.8285 去掉x3的程序：
x1=[0.9 63.7 6.8 51.9;
1.1 111.3 19.8 9039;
4.8 173 7.7 73.7;
3.2 80.8 7.2 1
4.5;
7.8 199.7 16.5 63.2;
2.7 16.2 2.2 2.2 ;
1.6 107.4 10.7 20.2;
12.5 185.4 27.1 43.8;
1 96.1 1.7 55.9;
2.6 72.8 9.1 64.3; 0.3 64.2 2.1 76.7; 4 132.2 11.2 76.7; 0.8 58.6 6 22.8;
3.5 117.4 12.7 117.1; 10.2 263.5 15.6 146.7; 3 79.3 8.9 29.9; 0.2 1
4.8 0.6 42.1; 0.4 73.5
5.9 25.3; 1 24.7 5 13.4;
6.8 139.4
7.2 64.3; 11.6 36
8.2 16.8 163.9; 1.6 95.7 3.8 44.5; 1.2 10
9.2 15.8 39.7; 7.2 196.2 15.8 39.7; 3.2 102.2 12 97.1];
>> y=[0.9 1.1 4.8 3.2 7.8 2.7 1.6 12.5 1 2.6 0.3 4 0.8 3.5 10.2 3 0.2 0.41 6.8 11.6 1.6 1.2 7.2 3.2];X=x1(:,2:5); y=x1(:,1); Stepwise(X,y,[1,2,4],0.05)
X X X
X Coefficients with Error Bars
Model History
R M S E
图表7
X X
X X Coefficients with Error Bars
Model History
R M S
E
图表8
X X X X Coefficients with Error Bars
1
Model History
R M S E
图表9
X X X
X Coefficients with Error Bars
Model History
R M S
E
图表10
X X X X Coefficients with Error Bars
1
Model History
R M S E
图表11
X X X
X Coefficients with Error Bars
Model History
R M S E
图表12
模型（2）程序
x1=[0.9 63.7 6.8 51.9; 1.1 111.3 19.8 9039; 4.8 173 7.7 73.7; 3.2 80.8 7.2 14.5; 7.8 199.7 16.5 63.2; 2.7 16.2 2.2 2.2 ; 1.6 107.4 10.7 20.2; 12.5 185.4 27.1 43.8; 1 96.1 1.7 55.9; 2.6 72.8 9.1 64.3; 0.3 64.2 2.1 76.7; 4 132.2 11.2 76.7; 0.8 58.6 6 22.8;
3.5 117.4 12.7 117.1; 10.2 263.5 15.6 146.7; 3 79.3 8.9 29.9; 0.2 1
4.8 0.6 42.1; 0.4 73.5
5.9 25.3; 1 24.7 5 13.4;
6.8 139.4
7.2 64.3; 11.6 36
8.2 16.8 163.9; 1.6 95.7 3.8 44.5;
1.2 109.2 15.8 39.7;
7.2 196.2 15.8 39.7;
3.2 102.2 12 97.1];
X=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:4)];
Y=x1(:,1);
[b,brint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05) b =
-1.4040
0.0272
0.2160
-0.0005
brint =
-2.7511 -0.0570
0.0151 0.0394
0.0571 0.3749
-0.0010 -0.0001
r =
-0.8725
0.0136
-0.1334
0.8552
0.2330
3.1887
-2.2224
3.0229
-0.5517
0.0894
-0.4579
-0.5760
-0.6763
-0.9752
1.1335
0.3371
1.0937
-1.4594
0.6583
2.8851
-0.5692
-0.4004
-3.7626
-0.1330
-0.7205
rint =
-4.2421 2.4971
-0.0355 0.0628
-3.4363 3.1696
-2.5330 4.2435
-3.0868 3.5527
0.2512 6.1261
-5.4767 1.0318
0.9740 5.0718
-3.7889 2.6855
-3.3001 3.4788
-3.7632 2.8475
-3.9890 2.8369
-4.0479 2.6953
-4.3359 2.3855
-1.9804 4.2474
-3.0616 3.7359
-2.1206 4.3079
-4.7902 1.8715
-2.6511 3.9677
-0.2137 5.9839
-2.9460 1.8076
-3.7381 2.9372
-6.4958 -1.0293
-3.4696 3.2036
-4.0886 2.6475
stats =
0.8185 31.5774 0.0000 2.7015。