产销不平衡的运输问题 运筹学

运输问题
举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、 四个销售点的销量及单位运价如下表：
B1 B 2 B3 B 4 产量
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
B1 B 2 B3 B 4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 102 0
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
销量
80
140
1210
0
1460
（1）找出初始基可行解 表上给出m+n-1个数字格
（2）求各非基变量的检验数 计算表中空格检验数
（3）判断是否最优解 检验是否所有检验数非负
运输问题
？是
最优解
停止
否
换基：
（4）确定换入变量和换出变量找出新 的基可行解。
表上调整（闭回路调整）
（5）重复（2）、（3）直至求出最优
解。
（运输问题必有最优解）
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
B1 A1 6 A2 6 销量 150
运输问题
B2 4 5 150
B3 产量 6 300 5 300 200
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
产销平衡问题的数学模型
m
n
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij a i , i 1 , 2 , , m
j1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n
i1
x ij 0 , i 1 , 2 , , m
j 1,2 , n
运输问题
表上作业法是单纯形法在求解运输问题 的一种简便方法。 单纯形法与表上作业法的关系：
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例
设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 1”
2
3 4’ 4”
产量
16
16
13 22 17 17
50
14
14
13 19 15 15
60
19
19
20
23 M
B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 4 6 0 300 A2 6 5 5 0 300
销量 150 150 200 100
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
m
n
ai bj
i 1
j 1
令假象产地的销量为：
n
m
am1 bj ai
j1
i1
仿照上述类似处理。
运输问题
B1 B2
A x x c11
c12
1 11 12
A x x c21
c 22
2 21 22
A x x c m 1
cm2
m m1 m 2
b 销量 1 b2
B B n
n 1 产量
x x a c 1 n
0
1n 1n1 1
x x a c2n
0
2n 2n1 2
x x a cmn
0
mn mn 1 m
bn bn1
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
m
n
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij a i , i 1 , 2 , , m
j1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n
i1
x ij 0 , i 1 , 2 , , m
j 1,2 , n
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B 2（12+2B）103
4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
产大于销
销大于产
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai bj
i 1
j 1
令假象销地的销量为：
m
n
bn1 ai bj
i1
j1
运输问题
这里，松弛变量 xi n+1 可以视为从 产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，由 于实际并不运送，它们的运费为
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。 于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B 4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij0,此时的解为最优解。
z821 451 2441 12986 244 2462
M
50
M
0
M
0
M
0
50
30
20
70
30 10 50
210
210
运输问题
➢ 最低要求必须满足，因此把相应的虚设产 地运费取M ，而最高要求与最低要求的差 允许按需要安排，因此把相应的虚设产地 运费取为 0 。对应 4”的销量50 是考虑问题 本身适当取的数据，根据产销平衡要求确 定 D的产量为 50。
5、如果运输问题单位运价表的某一行（或 某一列）元素分别加上一个常数k，最优 调运方案将不会发生变化。
6、如果…...分别乘上一个常k,…...不会发 生变化。
运输问题
48
运输问题
例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B 2 B3 B 4 产量
A1
4 12 12 4 4 11 16
A2
82
10
3 2 9 10
A3
8 14 5
11 用8最小6 元2素2 法
求出的目标函
销量 8 14 12 数z1=4246 48
目标函一数般值说来z，1伏2 格4 尔4法1 得出1 8的2 初始解2 的质9 量1最4 好5，8常用6 来2作44 为运输问题最优解的近似解。
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如
何调运可使总运输费用最小？
B1
A1
6
A2
6
销量 250
运输问题
B2
4 5 200
B3 产量
6 200 5 300 200
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
B1
B2
B3 产量
A1
6
4
6 200
A2
6
5
5 300
A3
0
0
0 150
销量 250 200 200
2、在运输问题中，只要给出一组含（
m+n-1）个非零的 x i，j 且满足
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
xij ai , xij bj
j1
i1
就可以作为一个初始基可行解。
运输问题
3、按最小元素法（或伏格尔法）给出的初 始基可行解，从每一空格出发可以找出 而且仅能找出唯一的闭回路。
4、当所有产地产量和销地销量均为整数值 ，运输问题的最优解也为整数值。
这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为从 产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量， 由于实际并不运送，它们的运费为 c m+1,j = 0 j = 1,2,…,n。于是，这个 运输问题就转化成了一个产销平衡 的问题。
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
m n 1
min z
c ij x ij
i1 j1
n 1
x ij a i , i 1 , 2 , , m
j 1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n,n 1
i1
x ij 0 , i 1 , 2 , , m j 1,2 , n , n 1
运输问题
注决最意策后：变一用量列最x的小ij 表零元示运素由价法最求A 后i初到考始B虑调i 的。运物方品案数时量，。
运输问题
Ex. 2 已知运输问题由表给出，试建立运输模型 .
解: 本题产量为25，销量为29，是销大于产问题 虚设一个产地 A3，由于并没有生产，所以运
价为零，得运输模型. 如果各销地不满足时，单位缺货费为 4，3，7， 则运输模型为
运输问题
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一、概念题（判断）
1、运输问题是一种LP问题，其求解结果 有四种情况。