(名师导学)高考数学总复习第六章数列第34讲等差数列及其前n项和课件理新人教A版

A 组题 1. 在等差数列{an}中，a1＝0，公差 d≠0，若 am ＝a1＋a2＋…＋a9，则 m 的值为( ) A. 37 B. 36 C. 20 D. 19
【解析】am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×2 8d＝36d ＝a37.
【答案】A
2. 记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a7＝1，a1
第 34 讲 等差数列及其前 n 项和
【学习目标】 1. 掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等. 2. 掌握等差数列的判断方法. 3. 掌握等差数列求和的方法.
【基础检测】 1. 数列{an}是等差数列，a1＝1，a4＝8，则 a5＝ () A. 16 B. －16 C. 32 D.331
·2a4
＝
7a4
＝
7×15＝105.
【答案】D
3. 在数列{an}中，若 a1＝1，a2＝12，an2＋1＝a1n＋an1＋2 (n∈N*)，则该数列的通项为( )
A. an＝n1
B. an＝n＋2 1
C. an＝n＋2 2
D. an＝n3
【
解
析
】
由
2 an＋1
＝
1 an
＋
1 an＋2
可
得
1 an＋1
【解析】因为 a4＝8，所以 a1＋3d＝8， 又因为 a1＝1，所以 d＝73， 可得 a5＝a1＋4d＝331. 【答案】D
2. 已知等差数列{an}中，若 a4＝15，则它的前 7 项和为( )
A. 120 B. 115 C. 110 D. 105
【解析】由题得
S7
＝
7 2
(a1
＋
a7)
＝
7 2
∵2a6＝a5＋a7，∴a7＝9. 【答案】B
5. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－11, a3＋a7＝－6，则当 Sn 取得最小值时， n 等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】由题设a21a＝1＋－8d11＝－6 d＝2，则 Sn＝ n2＋(－11－1)n＝n2－12n，所以当 n＝6 时， Sn＝n2 －12n 最小.
bn＝a1n. (1)证明：数列{bn}为等差数列. (2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)∵a1≠0，且有 an＋1＝a2n＋an2，所以有 an ≠0(n∈N*)，则有 bn＋1＝an1＋1＝an2＋an2＝a1n＋12＝bn＋12，
即 bn＋1－bn＝12(n∈N*)且 b1＝a11＝1， 所以{bn}是首项为 1，公差为12的等差数列.
(4)数列 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…也是等差数列.
5.等差数列的前 n 项和公式 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d, 其 前 n 项 和 Sn ＝ n（a12＋an）或 Sn＝na1＋n（n2－1）d(n∈N*). 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
Sn＝d2n2＋a1－d2n(n∈N*). 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B 为常数,n ∈N*). 7.等差数列的前 n 项和的最值 在若等a1差<0数,d>列0{,则an}S中n 存,若在a最1>0_,_d<小0,则__S值n 存. 在最__ 大 __值；
【答案】A
【知识要点】
1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列_从__第__2__项__起,每一项与它的 _前一项的差等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的__公_ 差 ,通常用字母 __ d __表示. 2.等差数列的通项公式 通项如 公式果是等_差a数n＝列a{1a＋n}(的n－首1项)d为(n∈a1N,公*).差为 d,那么它的
解答题中 证明问题
项法
成立⇔{an}是等差数列
通项公 式法
前n项 和
Fra Baidu bibliotek
an＝pn＋q(p,q 为常数)对任意 的正整数 n 都成立⇔{an}是等
差数列
验证 Sn＝An2＋Bn(A,B 是常 数)对任意的正整数 n 都成立
选择、填空 题中的判定
问题
公式法
⇔{an}是等差数列
考点 4 等差数列前 n 项和的最值问题
【答案】C
5. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S8＝4a3， a7＝－2，则 a9＝________.
【答案】B
2. (2018·全国卷Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项 和，已知 a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn 的最小值.
【解析】(1)设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d ＝－15.
由 a1＝－7 得 d＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝2n－9. (2)由(1)得 Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16.
(2)由(1)知 bn＝b1＋(n－1)×12＝1＋n－2 1＝n＋2 1， 即a1n＝n＋2 1，所以 an＝n＋2 1.
【点评】等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
对于 n≥2 的任意自然数,an－
定义法 an－1(n≥2,n∈N*)为同一常数 ⇔{an}是等差数列
等差中 2an－1＝an＋an－2(n≥3,n∈N*)
例5已知{an}是各项为正数的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 4Sn＝(an＋1)2.
(1)求 a1，a2 的值及{an}的通项公式； (2)求数列Sn－72an的最小值.
【解析】(1)因为 4Sn＝(an＋1)2， 所以，当 n＝1 时，4a1＝(a1＋1)2，解得 a1＝1， 所以，当 n＝2 时，4(1＋a2)＝(a2＋1)2，解得 a2＝ －1 或 a2＝3， 因为{an}是各项为正数的等差数列，所以 a2＝3， 所以{an}的公差 d＝a2－a1＝2， 所以{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
考点 3 等差数列的判定与证明
例3令 bn＝2nnn＋－c12，数列{bn}为等差数列，则非 零常数 c 的值为________.
【解析】∵bn＝2nnn＋－c12，c≠0，数列{bn}为等 差数列，
∴bn＝2n.得到 c＝－12. 【答案】－12
例4已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝a2n＋an2(n∈N)，
法二：由等差数列的性质，可知 S3，S6－S3，S9 －S6，…，S21－S18 成等差数列，设此数列公差为 D. 所以 5＋2D＝10，所以 D＝52.所以 a19＋a20＋a21＝S21 －S18＝5＋6D＝5＋15＝20.
【答案】20
【点评】一般地，运用等差数列性质，可以化繁
为简、优化解题过程. 但要注意性质运用的条件，如 m ＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只 有当序号之和相等、项数相同时才成立.
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
【解析】3an＋1＝3an－2 an＋1＝an－23 {an}是等
差数列，则
an
＝
47 3
－
2 3
n.∵ak
·
ak
＋
1<0
，
∴
437－23k
435－23k<0，∴425<k<427，∴k＝23.
【答案】C
4. 设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn 是其前 n 项的和， 且 S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错．误．的是( )
3.等差中项 如果 A＝a＋2 b,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n,k∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*), 则 am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 an,an＋m,an＋2m,… (n,m∈N*)是公差为__ md __的等差数列.
【答案】C
(2)已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和， a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则 k＝________.
【解析】a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－ 20＝1，
Sk＝k＋k（k2－1）×2＝k2＝9.又 k∈N*，故 k＝3.
【答案】3
【点评】在求解等差数列的基本量问题中主要使用 的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性， 更要注意运算的准确性. 在遇到一些较复杂的方程组 时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加简捷.
(2)因为 4Sn＝(an＋1)2，所以 Sn＝（2n－41＋1）2＝ n2，
所以 Sn－72an＝n2－72(2n－1)＝n2－7n＋72＝n－722 －345.
所以，当 n＝3 或 n＝4 时，Sn－72an 取得最小值－127.
1. 等差数列的判定方法有定义法、中项公式法、 通项公式法、前 n 项和公式法，注意等差数列的证明 只能用定义法.
－
1 an
＝
1 an＋2
－
an1＋1，知a1n是首项为a11＝1，公差为a12－a11＝2－1＝1
的等差数列，所以a1n＝n，即 an＝n1.
【答案】A
4. 记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 S9＝45， a3＋a8＝12，则 a7 等于( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【解析】S9＝9a5＝45 a5＝5，而 a3＋a8＝12 a5 ＋a6＝12，a6＝7.
2. 方程思想和基本量思想：在解有关等差数列问 题时可以考虑化归为首项与公差等基本量，通过建立
方程组获得解. 3. 用函数思想理解等差数列的通项公式和前 n 项
和公式，从而解最值问题.
1. (2018·全国卷Ⅰ)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项
和. 若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
A. d＜0 B. a7＝0 C. S9＞S5 D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
【解析】由 S5<S6 得 a6＝S6－S5>0，又 S6＝S7， 所以 a7＝0.
由 S7>S8，得 a8<0，而 C 选项 S9>S5，即 a6＋a7 ＋a8＋a9>0 2(a7＋a8)>0.
由题设 a7＝0，a8<0，显然 C 选项是错误的.
考点 1 等差数列基本量的计算
例1(1)已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 为 15，偶数项之和为 30，则其公差是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【解析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出 数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示， 两式相减，得到结果. 由此得：55aa11＋ ＋2205dd＝ ＝1350 d＝3.
A. －12
B. －10
C. 10
D. 12
【解析】法一：设等差数列{an}的公差为 d， ∵3S3＝S2＋S4， ∴33a1＋3×2 2d＝2a1＋d＋4a1＋4×2 3d，解得 d＝－32a1， ∵a1＝2，∴d＝－3， ∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 法二：设等差数列{an}的公差为 d，∵3S3＝S2＋S4， ∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3， ∴3a1＋3×2 2d＝d，∵a1＝2，∴d＝－3， ∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
考点 2 等差数列的性质及应用 例2(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn 表示 数列{an}的前 n 项和，则 S11＝( ) A. 18 B. 99 C. 198 D. 297
【解析】因为 a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所 以 3a6＝27，所以 a6＝9，所以 S11＝121(a1＋a11)＝11a6 ＝99.
【答案】B
(2)已知{an}为等差数列，若 a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8 ＋a9＝10，则 a19＋a20＋a21＝________.
【解析】法一：设数列{an}的公差为 d，则 a7＋ a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所 以 18d＝5，故 a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9 ＋12d＝10＋36d＝20.
－S4＝9，则数列Sn中的最小项为(
)
A. S1 B. S5，S6 C. S4 D. S7
【
解
析
】
令
等
差
数
列
a
n
的
公
差
为
d，则
aa11＋－64da＝1－16，d＝9，解得 a1＝－5，d＝1，
有 an＝n－6，Sn＝n（n－2 11），则当 n＝5 或 6 时，Sn 最小.
【答案】B
3. 已知数列{an}满足 a1＝15，且 3an＋1＝3an－2. 若 ak·ak＋1<0，则正整数 k＝( )