金属棒在磁场中运动

单杆问题

例1.如图所示，两根平行金属导轨abcd,固定在同一水平面上,磁感应强度为B 的匀强磁场与导轨所在的平面垂直，导轨的电阻可忽略不计。一阻值为R 的电阻接在导轨的bc 端。在导轨上放一根质量为m ，长为L ，电阻为r 的导体棒ef ，它可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中与导轨接触良好并保持垂直。若导体棒从静止开始受一恒定的水平外力F 的作用,求:

(1)ef 的最大速度是多少?

（2）导体棒获得的最大速度时，ef 的位移为S,整个过程中回路产生的焦耳热

(3)若导体棒ef 由静止开始在随时间变化的水平外力F 的作用下，向右作匀加速直线运动，加速度大小为a 。求力F 与时间应满足的关系式.

(4)若金属棒ef 在受到平行于导轨，功率恒为P 的水平外力作用下从静止开始运动。求:金属棒ef 的速度为最大值一半时的加速度a 。

（1）、22)(L B r R F V m +=（2）、 （3）、

典型例题---电容器

例2. 如图所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量为C 的电容器，框架上有一质量为m ，长为L 的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为h ，磁感应强度为B 的匀强磁场与框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静止释放，问棒落地时的速度多大？落地时间多长？

经分析，导棒在重力作用下下落，下落的同时产生了感应电动势．由于电容器的存在，在棒上产生充电电流，棒将受安培力的作用，因此，棒在重力作用和安培力的合力作用下向下运动，由牛顿第二定律∑F=ma ，得故mg –F B =ma ①，F B =BiL ②．

由于棒做加速运动，故v 、a 、ε、F B 均为同一时刻的瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为Q=C ·ε，而ε=BLv ．设在时间△t 内，棒上电动势的变化量为△ε，电容器上电量的增加量为△Q ，显然△ε=BL △v ③，△Q=C ·△ε ④，再根据电流的定义式

t Q i ∆∆= ⑤，t v a ∆∆= ⑤′，联立①~⑤′得：

C L B m mg

a 22+=⑥ 由⑥式可知，a 与运动时间无关，且是一个恒量，故棒做初速度为零的匀加速直线运动，

其落地速度为v ，则ah v 2= ⑦，将⑥代入⑦得：C L B m mgh

v 222+= ⑧，落地时间可由

221at h =，得a h t 2=，将⑥代入上式得mg C L B m h C L B m mg h t )

(222222+=+=．

评析：本题应用了微元法求出△Q 与△v 的关系，又利用电流和加速度的定义式，使电流

ma r R at L B F ma r R at L B F ++==+-22222244

12F R r Q W FS m B L +==-安（）

i 和加速度a 有机地整合在一起来求解，给人一种耳目一新的感觉．读后使人颇受启示．

典型例题—转动类型

例3、如图所示，铜质圆盘绕竖直轴O 在水平面内匀速转动，圆盘半径为，处在垂直纸面向里的磁感应强度的匀强磁场中，两个电刷分别与转动轴和圆盘的边缘保持良好接触，并与电池和保险丝D 串联成一闭合电路。已知电池电动势，电路中总电阻，保险丝的熔断电流为1A ，试分析计算：为了不使保险丝烧断，金属圆盘顺时针方向转动的角速度的取值范围是什么？

讲解：圆盘不动时，电路电流，大于保险丝的熔断电流，保险丝将被烧断。

圆盘顺时针方向转动时，相当于长度为r 的导体在垂直于磁场的平面里绕O 轴以角速度匀速转动，感应电动势大小为

①

圆盘边缘电势比转动轴处电势高，在闭合电路中感应电动势的方向与电池电动势的方向相反，要保险丝不被烧断，在转动角速度较小时要满足

②

在转动角速度较大时应满足 ③

把数据代入①②③解得

再把数据代入上式解得

评析：在求解此题时，要注意到在转动角速度较小时，电池电动势将大于感应电动势，电流将在电路顺时针方向流动；在转动角速度较大时，感应电动势大于电池电动势，电流在电路中逆时针方向流动。

双杆问题

典型例题—双杆等距类型

例4.如图所示，在光滑水平足够长的平行金属导轨上， 导轨间距离为L,放置质量均为m 的导体棒gh 和ef ，棒的电阻均为R ，导轨电阻不计，两棒均能沿轨道滑动并始终保持良好接触，在运动过程中ef 和gh 不会相碰，整个装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。设轨道足够长.

(1)开始时gh 棒静止，ef 棒有指向gh 棒的初速度V 0，在运动中产生的焦耳热最多是多少？

（2）开始时gh 棒静止，ef 棒有指向gh 棒的初速度V 0，求当ef 棒的速度达到3/4V 0时，gh 棒的加速度是多少？

（3）当ef 和gh 棒均以V0的水平速度匀速向相反方向运动时,需分别对ef 和gh 棒施加多大的水平力F ？

（4）ef 受到一个水平向右的恒力F 作用,最后ef 棒和gh 棒以相同的加速度运动,但两棒的速度不相同,求两棒速度的差. 1、 2、设ef 棒的速度变为初速的3/4 时，gh 棒的速度为V ’，根据动量守恒可知 回路中的感应电动势和感应电流分别是 gh 棒所受的安培力 BIL F =安

gh 棒的加速度 m

F a 安= mR V L B a 4022= 2041mV Q =/0043mV V m mV +=BL V V E )43(/0-=R

E I 2=

3、 R

V L B F 022= 4、 典型例题—双杆不等距类型

例5.如图所示，在光滑水平足够长的平行金属导轨上， 放置质量为2m 、长度为2L 、电阻为2R 的导体棒gh 和质量为m 、长度为L 、电阻为R 的导体棒ef ，导轨电阻不计，两棒均能沿轨道滑动并始终保持良好接触，在运动过程中ef 和gh 不会相碰，也不会离开各自的轨道.整个装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。设轨道足够长.

(1)若gh 和ef 之间有不可伸长的细线相连，ef 在水平恒力F 的作用下,最后达到稳定状态.求最终两棒的速度大小.

(2)若gh 和ef 之间没有细线相连，gh 以速度V 0开始运动,最后达到稳定状态.求最终两棒的速度大小.

（1） （2）3

2300V v V v ef gh ==， 双杆问题总结

“双杆”在等宽导轨上运动时，两杆所受的安培力等大反向，所以动量守恒。“双杆”在不等宽导轨上运动时，两杆所受的安培力不相等，系统合力不为零,所以动量不守恒,但可以用动量定理来解题。

金属线框在磁场中运动

典型例题1--运动学问题

例6.如图所示，闭合金属框从一定高度自由下落进入匀强磁场中，从ab 边开始进入磁场到cd 边刚进入磁场的这段时间内，线框运动的速度图像不可能是图中的( )

B

典型例题2---动力学问题

例.7如图所示，三个线框是用同一种金属材料制成的边长相同的正方形，a 线框不闭合，b 和c 都闭合，b 线框的导线比c 粗。将它们在竖直平面内从相同高度由静止释放，图中水平虚线的下方是方向垂直于线框所在面的匀强磁场。下列关于三个线框落地时间的说法中正确的是（ ）

A ．a 线框最先落地

B ．b 线框比c 线框先落地

C ．b 线框比c 线框后落地

D ．b 线框和c 线框同时落地

AD

典型例题3—电路问题

例.8粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。 现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a 、b 两点间电势差绝对值最大的是（ ）

B

典型例题4—能量问题

例9.如图4-4所示，在以ab 、cd 为边界的空间，存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外，宽度为L 1.在纸面内有一矩形线框，短边长为L 2，长边长为2L 1，短边与ab 重合.某时刻线框以初速v 沿着与ab 垂直的方向进入磁场区域，同时对线框施以作用力，使线框的速度大小和方向保持不变.设线框电阻为R ，从线框开始进入磁场到完全离开磁场的223FR v B L =