齐次线性方程组解的结构
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数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
第三章 第四讲
1 齐次线性方程组解的结构 2 非齐次线性方程组解的结构
数理学院
一、
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
齐次线性方程组解的结构
回顾 齐次线性方程组
（1）
a11
若记
A
a21
am1
显然齐次线性方程组总是有解，x1 0, x2 0,L , xn 0
就是该方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解， 那么这些解就叫做非零解.
方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是r(A) n 。
齐次线性方程组的解有如下的性质
性质（1）若 x 1, x 2 为Ax 0 的解，则 x 1 2 也是 Ax 0 的解.
并称为方程组的通解。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
基础解系的求法
定理 1 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础 解系
所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。
证明： 齐次线性方程组 Ax 0
（1）
a11 a12 L a1n
系数矩阵为
令 xr 1 , xr 2 ,L , xn 为自由未知量，得
x1 c1,r1xr1 L c1n xn ,
x2 c2,r1xr1 L c2n xn ,
LL
xr cr ,r1xr1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr2
0,
1,
, 0,
xn
0 0
1
数理学院
c1n
c2 n
L
crn
,
0
L
0
数理学院
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x1 c x 1,r1 r1 L c1n xn 0,
与之对应的方程组为
x2
c x 2,r1 r1 L LL
c2n xn 0,
xr cr ,r1xr1 L crn xn 0.
Байду номын сангаас
A
a21
a22 L
M M
a2 n
,
M
am1
am 2
L
amn
有非零解，从而秩r＜n.对A进行行初等变换，A可化为
1 0 0 L
0
1
0L
L L L L
0
0
0L
0 L L L L L L L
0 L L L
0
c1,r 1 L
0 c2 ,r 1 L
LLL
1 cr ,r 1 L LLL
LLL
LLL
证 Q A1 0, A2 0 A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
性质（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则x k1 也是Ax 0 的解．
证 Ak1 kA1 k0 0.
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加
其对应的方程组是
基础解系为
方程组的通解为
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二、非齐次线性方程组解的结构
线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
1
c1,r2
c2 ,r 2
c1n
c2
n
1
cr ,r 1
1
,
2
cr
,r
2
,
0
,nr
crn
.
0
0
1
0
0
0
1
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首先，这n-r个解向量显然线性无关.
其次，设( k1 ,k2 ,L ,kn )是方程组的任意解，
kn 0kr1 0kr2 1kn
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于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 2 2
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以 ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 是方程组的基础解系.
解系,如果 (1)1,2 ,L ,t是Ax 0的一组线性无关 的解; (2) Ax 0的任一解都可由1,2 ,L ,t线性表出.
如果1,2 ,L ,t为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系,
那么, Ax 0 的任一解可表示为
x k11 k22 ktt 其中k1, k2 , , kt是任意常数 .
a12 a22 am2
a1n a2n amn
,
x
x1 x2 xn
则方程组(1)可写成向量方程Ax
0.
若 x1 11 , x2 21 , , xn n1 为方程 Ax 0的解
11
则
x
1
21
n1
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
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x1 c1,r1 c1,r2 c1n
可得
x2
c2 ,r 2
,
c2
,r
2
,L
,
c2n
,
M M M M
xr
cr
,r
1
cr
,r
2
crn
从而得到(1)的n-r个解
c1,r1
c2,r
法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次 线性方程组 Ax 0 的解空间．
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因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间 的一组基。称解空间的一组基为方程组的基础解系。
定义 1 1,2 ,L ,t称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
k1 c1,r1kr1 c1,r2kr2 c1nkn k2 c2,r1kr1 c k 2,r2 r2 c2nkn
代入方程组得
kr kr
1
cr
k ,r 1 r 1 1k r 1
c k r,r2 r2 0kr2
crnkn 0kn
kr
2
0kr1 1kr2 0kn
定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的 一种方法.
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例 1 解齐次线性方程组
解 齐次线性方程组的系数矩阵为
对A进行行初等变换，得
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秩r＝2<4，故有非 零解.
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第三章 第四讲
1 齐次线性方程组解的结构 2 非齐次线性方程组解的结构
数理学院
一、
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齐次线性方程组解的结构
回顾 齐次线性方程组
（1）
a11
若记
A
a21
am1
显然齐次线性方程组总是有解，x1 0, x2 0,L , xn 0
就是该方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解， 那么这些解就叫做非零解.
方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是r(A) n 。
齐次线性方程组的解有如下的性质
性质（1）若 x 1, x 2 为Ax 0 的解，则 x 1 2 也是 Ax 0 的解.
并称为方程组的通解。
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基础解系的求法
定理 1 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础 解系
所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。
证明： 齐次线性方程组 Ax 0
（1）
a11 a12 L a1n
系数矩阵为
令 xr 1 , xr 2 ,L , xn 为自由未知量，得
x1 c1,r1xr1 L c1n xn ,
x2 c2,r1xr1 L c2n xn ,
LL
xr cr ,r1xr1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr2
0,
1,
, 0,
xn
0 0
1
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c1n
c2 n
L
crn
,
0
L
0
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x1 c x 1,r1 r1 L c1n xn 0,
与之对应的方程组为
x2
c x 2,r1 r1 L LL
c2n xn 0,
xr cr ,r1xr1 L crn xn 0.
Байду номын сангаас
A
a21
a22 L
M M
a2 n
,
M
am1
am 2
L
amn
有非零解，从而秩r＜n.对A进行行初等变换，A可化为
1 0 0 L
0
1
0L
L L L L
0
0
0L
0 L L L L L L L
0 L L L
0
c1,r 1 L
0 c2 ,r 1 L
LLL
1 cr ,r 1 L LLL
LLL
LLL
证 Q A1 0, A2 0 A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
性质（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则x k1 也是Ax 0 的解．
证 Ak1 kA1 k0 0.
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加
其对应的方程组是
基础解系为
方程组的通解为
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二、非齐次线性方程组解的结构
线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
1
c1,r2
c2 ,r 2
c1n
c2
n
1
cr ,r 1
1
,
2
cr
,r
2
,
0
,nr
crn
.
0
0
1
0
0
0
1
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首先，这n-r个解向量显然线性无关.
其次，设( k1 ,k2 ,L ,kn )是方程组的任意解，
kn 0kr1 0kr2 1kn
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于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 2 2
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以 ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 是方程组的基础解系.
解系,如果 (1)1,2 ,L ,t是Ax 0的一组线性无关 的解; (2) Ax 0的任一解都可由1,2 ,L ,t线性表出.
如果1,2 ,L ,t为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系,
那么, Ax 0 的任一解可表示为
x k11 k22 ktt 其中k1, k2 , , kt是任意常数 .
a12 a22 am2
a1n a2n amn
,
x
x1 x2 xn
则方程组(1)可写成向量方程Ax
0.
若 x1 11 , x2 21 , , xn n1 为方程 Ax 0的解
11
则
x
1
21
n1
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
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x1 c1,r1 c1,r2 c1n
可得
x2
c2 ,r 2
,
c2
,r
2
,L
,
c2n
,
M M M M
xr
cr
,r
1
cr
,r
2
crn
从而得到(1)的n-r个解
c1,r1
c2,r
法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次 线性方程组 Ax 0 的解空间．
数理学院
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因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间 的一组基。称解空间的一组基为方程组的基础解系。
定义 1 1,2 ,L ,t称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
k1 c1,r1kr1 c1,r2kr2 c1nkn k2 c2,r1kr1 c k 2,r2 r2 c2nkn
代入方程组得
kr kr
1
cr
k ,r 1 r 1 1k r 1
c k r,r2 r2 0kr2
crnkn 0kn
kr
2
0kr1 1kr2 0kn
定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的 一种方法.
数理学院
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例 1 解齐次线性方程组
解 齐次线性方程组的系数矩阵为
对A进行行初等变换，得
数理学院
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秩r＝2<4，故有非 零解.