2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 8 第8讲 函数与方程

第8讲 函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．

2．函数零点的判定

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象

与x 轴 的交点 (x 1，0)，(x 2，0)

(x 1，0) 无交点 零点个数

两个

一个 零个

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )

(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )

(4)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化]

1．(必修1P92A 组T5改编)函数f (x )＝ln x －2

x 的零点所在的大致范围是( )

A ．(1，2)

B ．(2，3)

C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3，4)

D ．(4，＋∞)

解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－2

3＞0，得f (2)·f (3)＜0.

故选B.

2．(必修1P88例1改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是______．

解析：由已知得f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1

e －3<0，

f (0)＝

1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．

答案：1 [易错纠偏]

(1)错用零点存在性定理； (2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；

(4)错用二次函数在R 上无零点的条件． 1．函数f (x )＝x ＋1

x

的零点个数是______．

解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点．

答案：0

2．函数f (x )＝x 2－3x 的零点是______． 解析：由f (x )＝0，得x 2－3x ＝0， 即x ＝0和x ＝3. 答案：0和3

3．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是______． 解析：二次函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8

答案：(－8，1]

4．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是______． 解析：由题意得Δ＝k 2－4k <0，解得0

函数零点所在区间的判断

设f (x )＝0.8x －1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列哪

个区间( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，e)

D ．(e ，3)

【解析】 h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根， 即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A ，横坐标的范围为(0，1)，故选A.

【答案】 A

判断函数零点所在区间的3种方法

(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．

(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．

1．(2020·金华十校联考)函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤14，12 B.⎣⎡⎦⎤

18，14 C.⎣⎡⎦

⎤0，18 D.⎣⎡⎦⎤12，1

解析：选A.因为f ⎝⎛⎭⎫14＝π4＋log 214

<0， f ⎝⎛⎭⎫12＝π2＋log 212>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，故函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为⎣⎡⎦⎤14，12. 2．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若a

A ．(a ，b )和(b ，c )内

B ．(－∞，a )和(a ，b )内

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内

解析：选A.因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )， 所以f (a )＝(a －b )(a －c )， f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，

因为a 0，f (b )<0，f (c )>0，

所以f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．