2019考研数学模拟考试完整版及答案解析

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2019考研数学完整版及参考答案

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则( )

(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.

(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .

(2)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则

()d x f t t ⎰

(A )连续的奇函数.

(B )连续的偶函数

(C )在0x =间断的奇函数

(D )在0x =间断的偶函数. ( )

(3)设函数()g x 可微,1()

()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===,则(1)g 等于( )

(A )ln 31-. (B )ln3 1.--

(C )ln 2 1.--

(D )ln 2 1.-

(4)函数212e e e x

x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]

(A )23e .x

y y y x '''--= (B )23e .x

y y y '''--=

(C )23e .x

y y y x '''+-=

(D )23e .x

y y y '''+-=

(5)设(,)f x y 为连续函数,则1

40

d (cos ,sin )d f r r r r π

θθθ⎰

⎰等于()

(A)0

(,)d x

x f x y y . (B )0

(,)d x f x y y .

(C)

(,)d y

y f x y x . (D) 00

(,)d y f x y x .

(6)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是()

(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.

(7)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 [ ]

(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.

(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关.

(8)设

A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得

B ,再将B 的第1列的1-倍加到第

2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

,则()

(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.

(C)T C P AP =. (D)T C PAP =.

一.填空题 (9)曲线4sin 52cos x x

y x x

+=

- 的水平渐近线方程为

(10)设函数2

301sin d ,0(),0

x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续,则a = (11)广义积分

22

d (1)

x x

x +∞

=+⎰

. (12) 微分方程(1)

y x y x

-'=

的通解是 (13)设函数()y y x =由方程1e y

y x =-确定,则

d d x y x

==

(14)设矩阵2112A ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则

=B .

三 、解答题:15-23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 试确定,,A B C 的值,使得

23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++,

其中3

()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.

(16)(本题满分10分)

求 arcsin e d e

x

x

x ⎰. (17)(本题满分10分)

设区域{}2

2

(,)1,0D x y x y x =+≤≥, 计算二重积分22

1d d .1D

xy

x y x y +++⎰⎰ (18)(本题满分12分)

设数列

{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==

(Ⅰ)证明lim n n x →∞

存在,并求该极限;

(Ⅱ)计算2

1

1lim n x n n n x x +→∞

⎛⎫ ⎪⎝⎭

. (19)(本题满分10分) 证明:当0a b π<<<时,

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

(20)(本题满分12分)

设函数()f u 在(0,)+∞

内具有二阶导数,且z f

=满足等式

222

20z z

x y

∂∂+=∂∂. (I )验证()

()0f u f u u

'''+

=; (II )若(1)0,(1)1f f '==,求函数()f u 的表达式. (21)(本题满分12分)

已知曲线L 的方程22

1

,

(0)4x t t y t t

⎧=+≥⎨=-⎩

(I )讨论L 的凹凸性;

(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积. (22)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组

1234123412

341435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪

++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.

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