核心素养专题：四边形中的探究与创新

核心素养专题：四边形中的探究与创新

1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()

A．28 3 B．24 3

C．32 3 D．323－8

第1题图第2题图

2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程．

证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋

______________)．

易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝

______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.

3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F.

(1)求证：△BDF是等腰三角形；

(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．

4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，

称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．

(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知▱ABCD 的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出▱ABCD是________阶准菱形；

(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把▱ABCD沿BE 折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE 是菱形．

参考答案与解析

1．A解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，

PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，

∴△ABD 是等边三角形．∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′.∵AF ＝12AB ＝4，AD ＝8，∴DF ＝4 3.在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，则∠AFE ＝30°，∴AE ＝2，

EF ＝23，∴PE ＝PF ＝ 3.在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF ＝3，∴HF ＝12PF ＝32

，∴DH ＝DF －HF ＝43－32＝732，∴S ▱PP ′CD ＝732

×8＝28 3.故选A. 2．S △AEF S △CFM S △ANF S △AEF S △FGC S △CFM

3．(1)证明：根据折叠得∠DBC ＝∠DBE ，又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．

(2)解：①四边形BFDG 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG .又∵FD ＝BF ＝BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形．∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形．

②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12

BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .在Rt △ABF 中，由勾股定理得AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝

254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542

－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152. 4．(1)解：3 12 解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．

如图②，∵b ＝5r ，∴a ＝8b ＋r ＝40r ＋r ＝8×5r ＋r ，利用邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形进行8＋4＝12(次)操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形是12阶准菱形．

(2)证明：由折叠知∠ABE ＝∠FBE ，AB ＝BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB ＝∠FBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AE ＝AB ，∴AE ＝BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．又∵AB ＝AE ，∴四边形ABFE 是菱形．