热传导方程
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假设下述初始条件
在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。
其中函数 f 是给定的。再配合下述边界条件 .
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。现在将 u 代回方程 (1)，
由于等式右边只依赖 x，而左边只依赖 t，两边都等于某个常数 − λ，于是：
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热传导方程
维基百科，自由的百科全书
热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
的正态分布。在三维的情形，随机矢量 服从平均数为 、变
在 t=0 时，上述
的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，
记为
（三维的推广是
）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。
扩散方程的历史源流
粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。
[编辑]
从等式 (3) 可知 C = 0，因此存在正整数 n 使得
由此得到热方程形如 (4) 的解。 一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出：
其中 http://zh.wikipedia.org/zh-cn/熱傳導方程式[2012/3/12 22:18:13]
以格林函数解扩散方程
[编辑]
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林
函数记作
（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置 ，相应的格林函数是
。
对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。
举例来说，设 t=0 时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 随时间演化。
热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。
参见
[编辑]
热 偏微分方程
文献wenku.baidu.com
[编辑]
Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1] Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995) The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.
以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解： 假设 λ < 0，则存在实数 B、C 使得 从 (3) 得到 于是有 B = 0 = C，这蕴含 u 恒等于零。 假设 λ = 0，则存在实数 B、C 使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出 u 恒等于零。 因此必然有 λ > 0，此时存在实数 A、B、C 使得
热传导方程 - 维基百科，自由的百科全书 （可能的问题：根据上解，u(0)=0）
应用
[编辑]
热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程 可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。 热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献 Wilmott，1995）。
热传导方程 - 维基百科，自由的百科全书
推广求解技巧
上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 自然地导向线性自伴算子的谱理论。 考虑线性算子 Δ u = ux x，以下函数序列
[编辑] 可以用它的特征矢量表示。这就
（n ≥ 1）是 Δ 的特征矢量。诚然：
此外，任何满足边界条件 f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征矢量都是某个 en。令 L2(0, L) 表 [0, L] 上全体平方可积函数的矢量空间。 这些函数 en 构成 L2(0, L) 的一组正交归一基。更明白地说：
汉 漢▼ [编辑]
其中：
u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。
/ 是空间中一点的温度对时间的变化率。
,
与
温度对三个空间座标轴的二次导数。
k 决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
一维热方程图解 (观看动画版)
热流是个依赖于时间的矢量函数 H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为 dS 而单位法矢量为 n 的无穷小曲面元素 的热量是
因此单位时间内进入 V 的热流量也由以下的面积分给出
其中 n(x) 是在 x 点的向外单位法矢量。 热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系
其中 A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分
目录 [隐藏] 1 物理动机 2 以傅里叶级数解热方程
2.1 推广求解技巧 3 非均匀不等向介质中的热传导 4 粒子扩散
4.1 粒子扩散方程 4.2 扩散方程的历史源流 4.3 以格林函数解扩散方程
4.3.1 一维格林函数解列表 5 应用 6 参见 7 文献 8 外部链接
物理动机
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
热传导方程 - 维基百科，自由的百科全书
以傅里叶级数解热方程
以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个 空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：
[编辑]
其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。 x 是空间变量，所以 x ∈ [0,L]，其中 L 表示棍子长度。 t 是时间变量，所以 t ≥ 0。
在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都 有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的粘性现象。
一维格林函数解列表
以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。
[编辑]
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/熱傳導方程式[2012/3/12 22:18:13]
分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/熱傳導方程式[2012/3/12 22:18:13]
热传导方程 - 维基百科，自由的百科全书 跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：
扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻 t，浓度分布变为：
温度在 x 点对时间的改变率与流进 x 点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写 作 κ (x)。 将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。
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外部链接
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热方程的推导 Linear heat equations : 边界值问题的特解 - 来自 EqWorld
相关的维基共享资源： 热传导方程
4个分类: 扩散 热传导 抛物型偏微分方程 传热
本页面最后修订于2011年9月6日 (星期二) 15:53。 本站的全部文字在知识共享 署名-相同方式共享 3.0协议之条款下提供，附加条款亦可能应用。（请参阅使用条款） Wikipedia®和维基百科标志是维基媒体基金会的注册商标；维基™是维基媒体基金会的商标。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱 克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方 程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。
粒子扩散
粒子扩散方程
在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及 在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作 c。
或者 在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作 P。
不同情况下的方程：
或者
c 与 P 都是位置与时间的函数。D 是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。
如果扩散系数 D 依赖于浓度 c（或第二种情况下的概率密度 P），则我们得到非线性扩散方程。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。
如果一个粒子在时间
时置于
，则相应的概率密度函数具有以下形式：
[编辑] [编辑]
它与概率密度函数的各分量 、 和 的关系是：
随机变量 异数为
服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。
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热传导方程 - 维基百科，自由的百科全书 维基媒体基金会是在美国佛罗里达州登记的501(c)(3)免税、非营利、慈善机构。 隐私政策 关于维基百科 免责声明 移动浏览
注记：
系数 κ(x) 是该材料在 x 点的密度和比热的积的倒数。 在等方向性介质的情况，矩阵 A 只是个标量，等于材料的导热率。 在非等向的情况， A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适 定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证 通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果 A 是个对称矩阵，那么由
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如
果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳 态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
最后，序列 {en}n ∈ N 张出 L2(0, L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ 对角化。
非均匀不等向介质中的热传导
[编辑]
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一 块区域的热量。
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量 qt(V) 给出。假设 q 有个密度 Q(t,x)，于是
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通 常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
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在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。
其中函数 f 是给定的。再配合下述边界条件 .
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。现在将 u 代回方程 (1)，
由于等式右边只依赖 x，而左边只依赖 t，两边都等于某个常数 − λ，于是：
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热传导方程
维基百科，自由的百科全书
热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
的正态分布。在三维的情形，随机矢量 服从平均数为 、变
在 t=0 时，上述
的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，
记为
（三维的推广是
）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。
扩散方程的历史源流
粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。
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从等式 (3) 可知 C = 0，因此存在正整数 n 使得
由此得到热方程形如 (4) 的解。 一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出：
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以格林函数解扩散方程
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格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林
函数记作
（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置 ，相应的格林函数是
。
对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。
举例来说，设 t=0 时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 随时间演化。
热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。
参见
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热 偏微分方程
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Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1] Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995) The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.
以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解： 假设 λ < 0，则存在实数 B、C 使得 从 (3) 得到 于是有 B = 0 = C，这蕴含 u 恒等于零。 假设 λ = 0，则存在实数 B、C 使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出 u 恒等于零。 因此必然有 λ > 0，此时存在实数 A、B、C 使得
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应用
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热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程 可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。 热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献 Wilmott，1995）。
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推广求解技巧
上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 自然地导向线性自伴算子的谱理论。 考虑线性算子 Δ u = ux x，以下函数序列
[编辑] 可以用它的特征矢量表示。这就
（n ≥ 1）是 Δ 的特征矢量。诚然：
此外，任何满足边界条件 f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征矢量都是某个 en。令 L2(0, L) 表 [0, L] 上全体平方可积函数的矢量空间。 这些函数 en 构成 L2(0, L) 的一组正交归一基。更明白地说：
汉 漢▼ [编辑]
其中：
u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。
/ 是空间中一点的温度对时间的变化率。
,
与
温度对三个空间座标轴的二次导数。
k 决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
一维热方程图解 (观看动画版)
热流是个依赖于时间的矢量函数 H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为 dS 而单位法矢量为 n 的无穷小曲面元素 的热量是
因此单位时间内进入 V 的热流量也由以下的面积分给出
其中 n(x) 是在 x 点的向外单位法矢量。 热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系
其中 A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分
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2.1 推广求解技巧 3 非均匀不等向介质中的热传导 4 粒子扩散
4.1 粒子扩散方程 4.2 扩散方程的历史源流 4.3 以格林函数解扩散方程
4.3.1 一维格林函数解列表 5 应用 6 参见 7 文献 8 外部链接
物理动机
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
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以傅里叶级数解热方程
以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个 空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：
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其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。 x 是空间变量，所以 x ∈ [0,L]，其中 L 表示棍子长度。 t 是时间变量，所以 t ≥ 0。
在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都 有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的粘性现象。
一维格林函数解列表
以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。
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分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何
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扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻 t，浓度分布变为：
温度在 x 点对时间的改变率与流进 x 点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写 作 κ (x)。 将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。
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热方程的推导 Linear heat equations : 边界值问题的特解 - 来自 EqWorld
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利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱 克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方 程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。
粒子扩散
粒子扩散方程
在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及 在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作 c。
或者 在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作 P。
不同情况下的方程：
或者
c 与 P 都是位置与时间的函数。D 是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。
如果扩散系数 D 依赖于浓度 c（或第二种情况下的概率密度 P），则我们得到非线性扩散方程。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。
如果一个粒子在时间
时置于
，则相应的概率密度函数具有以下形式：
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它与概率密度函数的各分量 、 和 的关系是：
随机变量 异数为
服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。
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系数 κ(x) 是该材料在 x 点的密度和比热的积的倒数。 在等方向性介质的情况，矩阵 A 只是个标量，等于材料的导热率。 在非等向的情况， A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适 定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证 通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果 A 是个对称矩阵，那么由
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如
果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳 态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
最后，序列 {en}n ∈ N 张出 L2(0, L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ 对角化。
非均匀不等向介质中的热传导
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一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一 块区域的热量。
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量 qt(V) 给出。假设 q 有个密度 Q(t,x)，于是
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通 常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
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