微积分学基本原理
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§5 微积分学基本原理 定积分计算（续）
1. 设f 为连续的函数,u v 均为可导函数，且可实行复合f ◦u 和f ◦v . 证明：
))()(())()(()(,
)
()
(,x v x v f x u x u f dt t f dx
d x v x u -=⎰
证明 取f(x)定义域内一点a 则
⎰
⎰
⎰
-
=
)
()
()
()
()()()(x u a
x v x u x v a
dt t f dt t f dt t f .
令Φ(x)=⎰x
a
dt t f )(, 则
=⎰
)
()
()(x v x u dt t f Φ(v(x))-Φ(u(x)), 于是，
dx
d =
⎰
)
()
()(x v x u t f dx
d Φ[v(x)]—
dx
d Φ[u(x)]=f [v(x)v ,(x)]－f[u(x)u ,(x)]
2. 设f 在［a,b ］上连续，F(x)=⎰-b
a
dt t x x f ))((,证明 )()(x f x F =''，x ∈[a,b].
证 因F(x)=dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf x
a
x
a
x
a
x
a
⎰
⎰
⎰
⎰-
=-
)()()()(
所以F '（x ）=dt t f x xf x xf dt t f x
a
x a
)()()()(⎰
⎰=--
故F ''(x)=f(x).x[a b] 3.求下列极限：
（１⎰→x
x dt t x
2
;cos 1
lim
（２）⎰
⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛∞
→x
t
x t x dt
e
dt e 0
22
02
2lim
解 利用洛比达法则． （１）原式＝1cos lim 2
=→x x
（２）原式＝2
2
2lim
x
x
t
x e dt
e ⎰∞
→
＝2
2
2
20
2lim
x
x
t
x
x e dt
e e
⎰
∞
→
＝022lim
2
2
=∞
→x
x
x xe
e
４．计算下列定积分：
（１）xdx x 2sin cos 20
5
⎰π
；
（２）⎰
-1
02
4dx x
；
（３）⎰-a
a dx x a x
2
2
2
(＞０）；
（４）()⎰+-1
2
3
1
2
x x
dx
；
（５）⎰
-+1
x
x
e
e dx ；
（６）dx x
x ⎰+2
2
sin
1cos π
；
（７）⎰1
arcsin xdx ；
（８）⎰20
sin π
xdx e x
；
（９）⎰1
1ln e
x dx ；
（１０）⎰1
;dx e
x
（１１）⎰>+-a
a dx x
a x a x
2
)0(；
（１２）θθ
θθπ
d ⎰+2
cos sin cos ；
解（１）原式＝２⎰⎰=
-+20
6
20
6
7
2cos cos 2sin cos π
π
x xd xdx x
（２）原式＝1
02
)2
arcsin
242
(
x x
x +- =
3
2
3π
+
(3) 令x=asint 则
原式=⎰
⎰
⎰-=
=
2
2
42
42
220
4)4cos 1(8
2sin
4cos sin π
π
π
dt t a
tdt a
tdt t a
=
22
4
)
4sin 4
1(8
π
t t a
-
=16
4
πa
（4）原式=⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-1
23
243)2`1(x dx
=
⎰⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+-1
2
3
219)12(3
3
8x dx
令
t x tan 3
)
32(=- 则dx =
tdt 2
sec 2
3,故
原式=
[
]
⎰-
66
2
32
2
sec 2sec 33
3
8π
π
t
tdt =43
4sec 66
=
⎰-π
π
t
dt