涂色问题讲解学习

涂色问题

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涂色问题

一、 区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

【解析】先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×4＝240种

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

【解析】依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44

A ；

①

②

③

④

⑤ ⑥

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（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同

色，则有44A ；

所以，总数为544A =120种

（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

【解析】依题意至少要用3种颜色

1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，

2) 区域3与5必须同色，故有3

4A 种；

3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，

4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与

4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。由加法原理可

知满足题意的着色方法共有3

4A +244A =24+2 24=72

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

2

4

3

1 5

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【解析】（1）四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；

（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂

法种数12

5

42C A ； （3）两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，

因此，所求的涂法种数为212

255

452260A C A A ++=

二、

点的涂色问题

A 、可根据共用了多少种颜色分类讨论

B 、根据相对顶点是否同色分类讨论

C 、将空间问题平面化，转化成区域涂色问题

将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 【解析】解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四

种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分

别同色，故有12

5

460C A =种

（2）.若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再

从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故

有2

4

A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而

D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有1211

5422240

C A C C=种方法。

（3）.若恰用五种颜色染色，有5

5120

A=种染色法

综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360

⨯⨯=种染色方法。

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数

故分类讨论： C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A （C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有13227

⨯+⨯=种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法是607420

⨯=

三、线段涂色问题

对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色A.根据共用了多少颜色分类讨论B.根据相对线段是否同色分类讨论。

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1.用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜

色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解法一：（1）使用四颜色共有4

4

A种

（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有

种，

（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有2

4

A种

因此，所求的染色方法数为41122

4423484

A C C A A

++=种

解法二：

涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4312

⨯=种方法

由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227

⨯+⨯=种涂色方法。由乘法原理，总的涂色方法数为12784

⨯=种

2.用六种颜色给正四面体A BCD

-的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？

【解析】（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三

组间的颜色不同，故有3

6

A种方法。

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