《数学建模方法及其应用》教学片整理.ppt

展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军 备竞赛会一直无限地进行下去，最终会导致战争．
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三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 0 ，且 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) (0,0)
是稳定的．即甲乙双方没有厉害冲突和争端，在和平共 处的情况下，都没有发展军备的欲望．
开普勒三大定律：
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
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一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
一阶微分方程：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
间接方法：首先求出方程的解 x (t) ，然后
利用定义
lim
t
(t)
x0
来判断。
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
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二 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
方程 dx dt
f (x) 的平衡点 x
x0
的稳定性判断方法：
直接方法：将函数 f (x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
如果引入向量
x
(x1, x2,
, xn )T ,
f
(
f1,
f2,
,
f
n
)T
,
dx dt
dx1 dt
,
dx2 dt
,
, dxn dt
T
则方程（2）可以写为简单的形式：
dx
f (t, x)
dt
x(t0) x0
即与（1）的形式相同，当 n 1
cd ab
cd ab
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三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) 稳定，即当双方制约发展
军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时，军备竞赛的 最终结果是可以达到平衡的．
当 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) 不稳定，即当双方制约发
当 0, 0 ，且 cd ab 时，即双方军备竞赛的存
在性，既便是双方被迫裁军，在某个时候有 x(t) 0 和
y(t) 0 ，但由 dx 0 和 dy 0 ，则双方的军备
dt
dt
竞赛客观存在，最终双方的军备实力还会强大起来．
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三 .战争的预测与评估问题
实际作战中，甲乙双方的任何一个兵种都可能受到 不同程度的损失，为了争取作战的优势，各兵种会不断
设甲方和乙方分别有 m 个和 n 个兵种，其数量分
别用向量 x 和 y 表示，即
x(t) x1(t), x2 (t), , xm (t)T ， y(t) y1(t), y2 (t), , yn (t)T
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三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
用 a ji 表示 xi 对 y j 的损耗系数，即 xi 对 y j 的战斗力；
时为（1）。
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
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一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
对于任一高阶的微分方程
dnx dt n
f
(t; x, dx , dt
d n1x , dt n1 )
如果记
dix dti
yi (i
0,1,2,
, n)
,则
dyn1 dt
f (t; y0, y1,
则 方 程 组 （ 2 ） 在 t t0 h 上 有 解 x (t) 满 足 初 值 条 件
x0
(t0 ) ，此处 h
min a,
b M
, M
max
( t , x )R
f
(t, x)
。
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一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性
定理 2 如果函数 f (t, x) 在 R : t t0 a, x x0 b
用 ij 表示 y j 用于攻击 xi 的比例（或乙方的第 j 个兵种 用于攻击甲方的第 i 个兵种的概率）．
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三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
多兵种作战的数学模型为
dxi
dt
n
bij ij y j ,
j 1
i 1,2, , m
dy
j
dt
m
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三 .战争的预测与评估问题
2. 模型的假设
（１）敌对双方为甲方和乙方，时刻 t 的军
备综合实力分别为 x(t) 和 y(t) ；
（２）双方的军备综合实力是随着时间连续
平稳变化的，即 x(t) 和 y(t) 是时间 t 的连续
可微函数；
（３）不考虑第三方的军备实力对甲乙双方 的影响．
a ji ji xi ,
i1
j 1,2, , n
兰彻斯特
(2)
多兵种作 战模型．
则模型（2）为
引入矩阵记号:
A
a ji
，B
nm
bij
，
mn
P
ji
，Q
nm
ij
,
mn
dx dt
(B Q)
y
dy
dt
(A P)
x
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三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同 兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的结 果产生一定的影响．
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2020年5月24日
三 .战争的预测与评估问题
１．问题的提出
现在要求建立数学模型讨论的问题：
(1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
，
则称平衡点 P0 (x（10），x2(0) ) 是稳定的；否则是不稳定的。
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2020年5月24日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
将方程组（4）的右边的函数作一阶泰勒展开，即
dx1 dt
f x1
(
x (0) 1
,
x (0) 2
)( x1
x (0) 1
)
f
x2
(
x (0) 1
dx dt
f
(x0 )(x
x0 )
显然 x0 也是该方程的平衡点，其稳定性取决于 f (x0 ) 符号：
若 f (x0 ) 0 ，则平衡点 x0 是稳定的； 若 f (x0 ) 0 ，则平衡点是不稳定的。
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二 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
3. 模型的建立与求解
如果有某种原因迫使某一方单方面裁军，如甲方
既使在某个时候有 x(t) 0 ，但由于 dx ay 的
dt
作用，则甲方的军备很快还会发展起来．
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三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
问题(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的 战势进行评估分析.
用 bij 表示 y j 对 xi 的损耗系数，即 y j 对 xi 的战斗力．
通常情况下都有 a ji 0 ， bij 0(i 1,2, , m; j 1,2, , n) ．
用 ji 表示 xi 用于攻击 y j 的损比例（或甲方的第 i 个兵种 用于攻击乙方的第 j 个兵种的概率）；
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二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
设方程组（2）：
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
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2020年5月24日
三 .战争的预测与评估问题
１．问题的提出
由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族 矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部 战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌 对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装 备现已成为决定战争胜负重要因素．
军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装 备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等．
dt
x(t0 ) x0
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2020年5月24日
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题
微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际 中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略 次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。
干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持 续地起作用。
问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因 素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只 引起对应解的微小变化？
设平面方程
dx1 dt
f (x1, x2 )
dx2
dt
g(x1, x2 )
（4）
的平衡点为 x1