简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题

[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

知识点一 线性规划中的基本概念

知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值

线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z

b ，

当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．

当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．

(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．

知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型

(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题

例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤

(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会例给出的模型建立方法．

(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．

(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．

题型一 求线性目标函数的最值

例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )

A ．12

B ．11

C ．3

D ．－1

答案 B

解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经

过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.

跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，

2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．

，则实数a 的值为( ) A.1

2或－1 B ．2或1

2

C ．2或1

D ．2或－1

(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，

x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．

答案 (1)D (2)1

解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，

故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.

(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.

题型二 非线性目标函数的最值问题

例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，

2y －3≤0，

求

(1)x 2＋y 2的最小值； (2)y

x

的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，

(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 任一点(x ，y )与原点的距离的平方．

过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫

45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，

得C ⎝⎛⎭⎫1，3

2， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝

13

2

， 所以，x 2＋y 2的最小值为13

4

.

(2)令v ＝y

x ，其几何意义是可行域ABC 任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.

由图形可知，当直线l 经过可行域点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭

⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为3

2

.

跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，y ≥0，

x ＋y ≥1，

则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．

答案 10

解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，