含参变量的反常积分

A f ( x, y)dy I( x) ,
c
2
因此, A1 , A2 N ,
A2 f ( x, y)dx A1 f ( x, y)dx A2 f ( x, y)dx
A1
c
c
A1 c
f (x,
y)dx
I(x)
A2 c
f (x,
y)dx
I(x)
.
22
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充分性 若 0, N c, M A1, A2 N ,
由于非正常积分 sin udu 收敛 (在本节例6 中我们 0u
将求出这个积分的值), 故对 0 0 与 M 0, 总
x 0, 使得
sin udu
Mx u
sin u du
0u
0
,
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即
0
sin udu u
0
sin udu Mx u
0
sin udu u
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
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证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
A
f ( x0 ,
y)dy
0
.
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例1 讨论含参量反常积分
xexydy, x (0, ) 0
的一致收敛性.
解 若x 0, 令 u xy, 则
于是
xe xydy eudu e xA ,
A
xA
( A) sup xexydy 1, x[0,) A
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0
.
(6)
现令 0
1 2
sin udu ,由(5)及不等式(6)的左端就有 0u
sin xydy
My
Mx
sin udu u
2 0
0
0.
所以(4)在(0, )内不一致收敛.
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关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致 收敛之间的联系有下述定理.
定理19.8 含参量反常积分(1)在 J 上一致收敛的充要
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
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注1 由定义, I( x)
f ( x, y)dy在 J上一致收敛的
c
充要条件是
(A) sup xJ
A f ( x, y)dy
0 ( A ).
注2 由定义, I( x) f ( x, y)dy 在 J上不一致收敛 c
的充要条件是
0 0, M c, A M及 x0 J ,
条件是: 对任一趋于 的递增数列{ An } (其中A1
c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x , y)dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
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证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
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一．含参量反常积分一致收敛性
设函数 f ( x, y)定义在无界区域 R J [c, )上,
其中 J 是任意区间. 若x J, 反常积分
I( x) c f ( x, y)dy
(1)
都收敛，则 I( x) 是 J 上的函数.
称(1)为定义在 J上的含参量 x 的无穷限反常积分,
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
A
f ( x, y)dy . A
(8)
又由An (n ) ,所以对正数M, 存在正整数N, 只要当 m n N 时, 就有 Am An M .由(8)对一切 x J , 就有
un( x)
um ( x)
An1 f ( x, y)dy
不一致收敛.
证 作变量代换 u xy, 得
sin xy
sin u
dy
du ,
Ay
Ax u
(5)
其中 A 0, 由于 sin udu 收敛, 故对任给的正数 0u 前页 后页 返回
, 总存在某一实数M , 当 A M 时就有
sin udu .
A u
取 A M , 则当A M 时, 对x 0 , 由 (5) 式
An
Am1 f ( x, y)dy Am
Am1 f ( x, y)dy . An
因此, 含参量积分在 (0, ) 上非一致收敛.
而对于任何正数 , 有
( A) sup xexydy e A 0 ( A ), x[ ,) A
因此, 该含参量积分在 [ , ) 上一致收敛.
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二．含参量反常积分一致收敛性的判别
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
sin xydy ,
Ay
所以(4)在 x 0 上一致收敛.
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现证明(4) 在 (0, ) 内不一致收敛. 由一致收敛定
义的注2, 只要证明: 存在某一正数 0 , 使得对任何
实数 M( c) , 总相应地存在某个 A M 及某个
x (0, ) , 使得 A f ( x, y)dy 0 .
A2 f ( x, y)dy . A1
则令 A2 , 得
Байду номын сангаас
f ( x, y)dy .
M
这就证明了I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛. c
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例2 证明含参量反常积分
sin xydy
0y
(4)
在 [ , )上一致收敛(其中 0), 但在 (0, ) 内
§2 含参量反常积分
与函数项级数相同, 含参量反常积分的重 要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积 分具有连续性, 可微性, 可积性. 含参量反常 积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的 一致收敛性的判别法类似.
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一、含参量反常积分的一致收敛性 二、含参量反常积分一致收敛性的判别 三、含参量反常积分的性质 四、含参量无界函数的反常积分