平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用

对平面内任意的两个向量b a b b a

//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=

由该定理可以得到平面内三点共线定理：

三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <

笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点

共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若

1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100

B ．101

C ．200

D ．201

解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()

1002

a a S +=

=,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则y

x 4

1+ 的最小值是

解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线

AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>0

14141444()1()()145y x y x

x y x y x y x y x y x y

∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　

x>0,y>040,0y x

x y ∴

>> 由基本不等式可知：4424y x y x

x y x y

+≥⨯=，取等号时

4y x

x y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x

∴=1x y +=12

,33

x y ∴==，符合

所以

y

x 4

1+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.

例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，

13AN NC =

，点P 是BC 上的一点，若2

11

AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 2

11

解：,,B P N 三点共线，又

228

4111111

AP mAB AC mAB AN mAB AN =+

=+⨯=+ 8111m ∴+

= 3

11

m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．

解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行

四边形法则可知：1

()2AO AB AC ∴=+

m AB AM ＝，AC nAN =

1

()2AO mAM nAN ∴=+

22

m n

AO AM AN ∴=+

又,,M O N 三点共线，

∴由平面内三点共线定理可得：122

m n

+= 2m n ∴+=

例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分

别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：

y

x 1

1+是定值； 图3

图4

图2

证明：因为G 是OAB 的重心，

211

()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+

1

OP xOA

OA OP x

=∴= 1

OQ yOB

OB OQ y

=∴=

1111

11

()()

3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y

∴=+=+∴=

+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11

x y

∴+为定值3

例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =

,1

4

AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______

A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 42

77

a b +

分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。 解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得

(1)AG x AE x AC ∴=+- , 11

33

AE AB a =

=,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33

x

AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①

又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得

(1)AG AB AF λλ∴=+- 11

44

AF AD b =

=，， 1

(1)4

AG a b λλ∴=+-…………………………… ②

由①②两式可得：213

114x x λλ⎧

=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩673

7x λ⎧=⎪⎪∴⎨

⎪=⎪⎩

3177AG a b ∴=+ 点评：本题的解法中由两组三点共线（F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上），

C

图5

图6