两角和与差公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β (T (α－β))

tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β (T (α＋β))

2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α

1－tan 2α

.

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × ) (3)公式tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意

角α，β都成立．( × )

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )

(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π

2

，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )

1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10

2

，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C

解析 ∵sin α＋2cos α＝

10

2

， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝5

2.

化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3

4

.故选C.

2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，则tan 2α等于( )

A ．－34 B.34 C ．－43 D.43

答案 B

解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，

则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝3

4

.

3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1

2，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －

10

5

解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13

， 即⎩

⎪⎨⎪⎧

3sin θ＝－cos θ，

sin 2θ＋cos 2

θ＝1，且θ为第二象限角，

解得sin θ＝

1010，cos θ＝－310

10

. ∴sin θ＋cos θ＝－

10

5

. 4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．

答案 1

解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)

＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.

题型一 三角函数公式的基本应用

例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1

D ．3

(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝1

3，

cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β

2)等于( )

A.33

B ．－33 C.539

D ．－

69

答案 (1)A (2)C

解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β＝3

1－2＝－3.

故选A. (2)cos(α＋β

2

)

＝cos[(π4＋α)－(π4－β2

)]

＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2

)．

∵0<α<π2，

则π4<π4＋α<3π4， ∴sin(π4＋α)＝223.

又－π

2<β<0，

则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63

.

故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539

.故选C.

思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．

(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝1

7

，则sin α等于( )

A.3

5 B.45 C ．－35

D ．－45

(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1

tan 5°－tan 5°)＝________.

答案 (1)A (2)

3

2

解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝1

7，

∴tan α＝－34＝sin α

cos α，

∴cos α＝－4

3sin α.

又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝9

25

.

又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3

5

.