证明不等式几种常见方法

本科毕业论文（设计）

题目：证明不等式的几种常用方法___

学生：王云学号： 200940510438 学院：数学与计算科学学院__

专业：数学与应用数学

入学时间： 2009 年 9 月 15 日

指导教师：黄瑞老师职称：讲师

完成日期： 2013 年 3 月 9 日

证明不等式的几种常用方法

摘要: 本文首先对不等式的证明进行了总结，证明不等式的常用方法有比较法，反证法，放缩法，数学归纳法等等，并且比较了这些方法中的优点和缺点，对不同的题更适合采用哪种方法也进行了详细的解说。其次针对不同的方法都举出了相应的例题，用来加强对方法的理解。最后强调了这些方法在高考中的应用。

关键词：证明;不等式；方法

On the Common Use Method of Proofing Inequality

Abstract : This paper prove the inequality proof methods are summarized, inequality has comparative method, reduction to absurdity, scaling, mathematical induction and so on, and these methods are compared and the advantages and disadvantages of the different questions, more suitable to adopt what kind of method is given a detailed explanation. Secondly, different methods are corresponding examples was put forward, to strengthen the methods of understanding. Finally emphasized the application of these methods in the national college entrance examination.

Key words: proof;inequality;method

目录

引言 (4)

1比较法 (4)

1.1作差法 (4)

1.2作商法 (5)

2综合法与分析法 (5)

3反证法 (6)

4重要不等式公式法 (7)

5放缩法 (8)

6数学归纳法 (9)

7巧妙运用“1”证明不等式 (11)

8结束语 (11)

9参考文献 (13)

10致谢 (14)

引言：

在高中数学中，证明不等式的方法是多种多样的，不同的方法具有不同的特点，并且在一个题目中，可能不止使用一种方法，往往需要两种或者更多种方法才能证明出来，或者针对相同的题目，证明的方法也可能不止一种，这就需要我们比较这些方法，采用最合适，最简便的方法来证明不等式。并且不等式的证明不仅仅可以单独的作为一个考点来考，还经常应用在数列，函数的题目中。这就要求我们能够灵活的应用各种证明方法，下面对不等式的证明做了一些归纳和总结。 1 比较法 1.1 作差法

作差法是证明不等式成立的一种最基本最普遍的一种方法。它主要是将不等式的左右两边相减后得到的差再与0进行相比比较，主要依据是形如： 0<-⇔

其中在验证0<-b a 的过程中要对b a -进行因式分解，这就要求我们对因式分解能够有较好的掌握。

作差法主要应用以下几种类型的题目中:

(1)在不等号的两边含有相同的项，采用作差法能够消去的。 (2)将不等式的两边进行因式分解后有相同的项。 例1： 已知a ，b 为正实数，证明：b a ab b a 2233+≥+

证明：b a ab b a 2233--+=()()a b b b a a -+-22=()()b a b b a a ---22 =()()b a b a --22 =()()()b a b a b a -+-=()()b a b a +-2

又因为a ，b 是正实数，所以a+b>0，又因为任意实数的平方都大于或等 于0，所以()02

≥-b a ,所以()()02

≥+-b a b a

故 b a ab b a 2233+≥+

例2：设m ，n 为不相同的正实数，且n m >，证明：m n n m n m n m > 证明： ()()n m n m n

m n n m n m mn n m n m ---=-

因为m ，n 为不相同的正实数，且n m >，所以()()0>---n m n m n

n m mn

所以 m n n m n m n m > 1.2 作商法

作商法主要是将不等式左右两边的式子进行相除得到的商再与1进行比较，它的主要依据是形如：

10>⇔

>>b

a b a 其中在验证1>b a

的过程中要对a,b 进行因式分解,分解后具有相同的项，这

种方法应用的题目类型与作差法有相同之处。

例3： 已知a ，b 为正实数，证明：b a ab b a 2233+≥+ (同例1)

证明： ()()

()ab

b ab a b a ab b ab a b a b a ab b a 2

2222233+-=

++-+=++ 因为 ab b a 222≥+ 所以 ab b ab a ≥+-22

所以

122≥+-ab b ab a 即 1223

3≥++b

a a

b b a 所以 b a ab b a 2233+≥+

例4：设m ，n 为不相同的正实数，且n m >，证明：m n n m n m n m > (同例2)

证明：n

m m n n m n m n m n m -⎪

⎭

⎫

⎝⎛=因为m ，n 是不同的正实数，且m>n ，总可以保证1>⎪

⎭

⎫

⎝⎛-n

m n m

成立，所以也可以保证1>m n n

m n

m n m 成立，故 m n n m n m n m >

对比较法的总结，我们可以发现例1与例3，例2与例4是相同的题目，却采用的不同的方法，但是像例1与例3，我们发现使用作差法更简单，像例2与例4，我们发现使用作商法更合适。

2 综合法与分析法

在高中数学中，综合法是证明不等式的常用方法。我们可以根据已知条件，依据以前学习过的公理，定义，定理或运算法则等，通过演绎推理，证明不等式