三维热传导问题温度场的分布的数值分析

同理右侧、上侧和下侧导入的热流量分别为
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导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
上式即为节点有限差分方程，简称节点方程
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导热问题的数值求解基础
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边界节点的有限差分方程
对于第一类边界条件，边界节点温度已给定，所有内节点的差分方程组成了一个封闭的代数 方程组，可以立即进行求解。 但对于含有第二类或第三类边界条件的导热问题，由内节点的差分方程组成的方程组不是封 闭的，因为其中包含了未知的边界温度，因而还必须补充边界节点的有限差分方程，才能使方程 组封闭。
• 物体内部产生导热的起因在于物体各部分之间具有温度差,所以研究导热必然 涉及物体的温度分布.在某一瞬时,物体内各点的温度分布称为温度场.在一般
情况下,温度是空间坐标(x,y,z)和时间( )的函数,即
t f x, y, z,
• 随时间而变动的温度场称为非稳态温度场,在非稳态温度场中发生的导热称为
线不会相交.
• 观察一物体内温度为t及t+Δ t的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上 的温度增量Δ t与法向距离Δ n比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示
Δt t gradt n lim n Δ n 0Δ n n
01
热传导及导热的基本定律
四、热导率及傅里叶定律
A
Δt δ
01
热传导及导热的基本定律
2.傅里叶定律
• 傅里叶归纳了无数实验研究结果,提出了导热的基本定律:单位时间内通过单位
面积的热量(即热流密度q)正比于该处的温度梯度,写成矢量形式,即
q gradt n t n
• 该式为傅里叶定律的数学表达式,式中负号表示热流密度的方向永远指向温度 降低的方向.写成标量形式为
q t n
• 热导率的定义式可由傅里叶定律表达式得到

q t n
• λ 表征物质导热能力大小
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导热微分方程及 定解条件
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导热微分方程及定解条件
导热微分方程
傅里叶定律揭示了导热量与温度梯度的关系，要想确定温度梯度，
必须首先求解导热体内的温度分——温度场。因此必须建立一个能全面 描述导热问题温度场的数学表达式，即导热微分方程 然后结合具体的单值性条件求解方程便可得出特定条件下的温度分 布t=f(x,y,z,,τ)
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导热微分方程及定解条件
对于非稳态，有内热源的问题，由能量守恒定律，热平衡方程式应该是
导入微元 体的总热 流量 微元体内 热源的生 成热 导出微元 体的总热 流量 微元体热 力学能的 增量
任意方向的总热流量 可以分解为x、y、z三 个坐标轴方向的分热 流量。
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导热微分方程及定解条件
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导热微分方程及定解条件
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热传导及导热的基本定律
二、热流量及热流密度
• 1.热流量
,单位为W • 单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量,记为
• 2.热流密度
• 单位时间通过单位面积的热量称为热流密度(或称面积热流量),记为q,单位为
W/㎡ ,于是有
q

A
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热传导及导热的基本定律
三、温度场和温度梯度
• 1.温度场
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• 定义:有限体积法又称为控制体积法 • 有限体积法：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有
一个控制体积:将待解的微分方程对每一个控制体积积分,便得出一组离散方程,其中的 未知数是网格点上的因变量的数值,为了求出控制体积的积分,必须假定值在网格点之间 的变化规律,即假设值的分段的分布的分布剖面,从积分区域的选取方法看来,有限体积 法属于加权剩余法中的子区域法:从未知解的近似方法看来,有限体积法属于采用局部近 似的离散方法。简言之,子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路 易于理解,并能得出直接的物理解释,离散方程的物理意义,就是因变量在有限大小的控 制体积中的守恒原理,如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。 有限体积法得出的离散方程,要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足,对 整个计算区域,自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法 ,例如 有限差分法,仅当网格极其细密时,离散方程才满足积分守恒:而有限体积法即使在粗网 格情况下,也显示出准确的积分守恒:就离散方法而言,有限体积法可视作有限单元法和 有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律(既插值函数), 并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何 变化,有限体积法只寻求的结点值,这与有限差分法相类似:但有限体积法在寻求控制体 积的积分时,必须假定值在网格点之间的分布,这又与有限单元法相类似在有限体积法中, 插值函数只用于计算控制体积的积分,得出离散方程之后,便可忘掉插值函数:如果需要 的话,可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数
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导热问题的数值求解基础
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程
这一基本思想可用求解过程的框图来表示：
设立温度场的迭代初值
求解代数方程
否
改进初场
是否收敛
是
解的分析
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导热问题的数值求解基础
稳态导热问题的数值计算
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导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
下面用热平衡法建立节点的有限差分方程。热平衡法的基本原理就是对任一元体，根据能量 守恒定律写出热平衡式。
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各种数值解法的介绍
• 定义:一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合,以求解 连续体力学问题的数值方法。 • 有限元法：是将连续的求解域离散为一组单元的组合体,用在每个单 元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数,近似 函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表 达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
三维热传导问题温度场的分布的数值分析
contents
目录
01
热传导及导热的基本定律 导热微分方程及定解条件
02
03 04
导热问题的数值求解基础
各种数值解法的介绍
01
热传导及导热的 基本定律
01
热传导及导热的基本定律
热传导及导热的基本定律
一 热传导
当物体内有温差或两个不同温度的物体直接接触时,在物体各部分之间不发 生相对位移的情况下,依靠物质微粒的热运动而产生的热量传递现象称为热传导, 简称导热
牛顿冷却公式 P124
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导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
这就是第三类边界条件下平直边界面上节点的有限差分方程
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导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
内部节点
对流边界节点
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导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
前面已建立了物体内部节点和边界节点的有限差分方程，如有n个未知温度的节点，就可以写 出n个代数方程。现在要运用高斯-赛德尔迭代法来求解这种方程组
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• •
• •
有限元法的运用步骤: (1)剖分。将待解区域进行分割,离散成有限个元素的集合.元素(单元)的形状 原则上是任意的.二维问题一般采用三角形单元或矩形单元,三维空间可采用 四面体或多面体等,每个单元的顶点称为节点(或结点)。 (2)单元分析。进行分片插值,即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单 元中形状函数及离散网格点上的函数值展开,即建立一个线性插值函数。 (3)求解近似变分方程。用有限个单元将连续体离散化,通过对有限个单元作 分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离 散成有限个单元:杆系结构的单元是每一个杆件;连续体的单元是各种形状 (如三角形、四边形、六面体等)的单元体。每个单元的场函数是只包含有限 个待定节点参量的简单场函数,这些单元场函数的集合就能近似代表整个连 续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代 数方程组,求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于 求解线性和非线性问题,并建立了各种有限元模型,如协调、不协调、混合、 杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛,已有许多大 型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术,有限元法也 被用于计算机辅助制造中。
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导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
03
导热问题的数值求解基础
高斯-赛德尔迭代法:用最新值进行迭代计算
节点方程组的求解
03
导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
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导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
04
各种数值解法的 介绍
04
各种数值解法的介绍
04
各种数值解法的介绍
• 定义:力学中将求解微分方程问题转化为求解差分方程的一种数值解法。 • 有限差分法：采用的是微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本 思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散 点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上 定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近 似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以 代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散 点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在 整个区域上的近似解。
这时，就该数值解法上场表演了。
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导热问题的数值求解基础
数值解法是求解所有上述情况下导热问题的有效方法。 有限差分法 有限元法 数值解法
边界元法
and so on
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导热问题的数值求解基础
导热问题数值求解的基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、 空间坐标系中连续的物理量场，如导热物体的温度场，用有限个离散点 上的值的集合来代替；通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的 集合称为该物理量的数值解。 这一基本思想可用求解过程的框图来表示：
非稳态导热.各店温度不随时间变动的温度场称为稳态温度场,在稳态温度场中
发生的导热称为稳态导热.一维温度场具有最简单的数学形式
t f x
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热传导及导热的基本定律
• 2.温度梯度
• 在同一瞬时,物体内温度相同的各点所连成的面或线称为等温面或等温线.由 于物体内同一点上不可能同时具有两个不同的温度,所以温度不同的等温面或
04
各种数值解法的介绍
•
定义:将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题,再通过边界的离散
化与待定函数的分片插值求解的数值方法
04
各种数值解法的介绍
边界元法：是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内
划分单元的基本思想不同,边界元法是只在定义域的边界上划分单元 ,用满足控制方程的函数 去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比,具有单元个数少数据准备简单等优点，但用 边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈 的奇异性,使求解遇到困难。边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程 数值分析方法。又称边界积分方程边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方 程,通过对边界分元插值离散,化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比, 由于降低了问题的维数,而显著降低了自由度数,边界的离散也比区域的离散方便得多,可用 较简单的单元准确地模拟边界形状,最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微 分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数,而具有解析与数值相结合的特点,通常具 有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题,如应力集中问题,或边界变量出现 奇异性的裂纹问题,边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微 分算子基本解能自动满足无限远处的条件,因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域 问题,边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提,对于非均匀 介质等问题难以应用,故其适用范围远不如有限元法广泛,而且通常由它建立的求解代数方程 组的系数阵是非对称满阵,对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题 ,由于在方程中会 出现域内积分项,从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
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导热微分方程及定解条件
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导热微分方程及定解条件
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导热微分方程及定解条件
定解条件
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导热微分方程及定解条件
通过无限大平壁的导热
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（二）用傅里叶定律求解
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导热问题的数值 求解基础
03
导热问题的数值求解基础
原则上，导热问题的求解就是对导热微分方程 方程式在规定的边界和初 始条件下求解。这种解法称为分析解法。但从前面的分析看出，分析解法只 能求解一些导热体的几何形状或边界条件简单的导热问题。 对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于 数学上的困难还无法得出其分析解。