几个范数不等式的证明

设X 为一n 维赋范空间，其范数定义为||x||p =(∑|x i |p n i=1)1p , 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤√|x ||2;

2. ||x||p ≤||x||1；

3. ||x||q ≤||x||p ≤n 1p−1q ⁄⁄||x ||q ，p

证：

1. 先证||x||2≤||x||1

|x 1|2+|x 2|2≤(|x 1|+| x 2|)2 ⇒ (|x 1|2+|x 2|2)1/2≤|x 1|+| x 2|

利用归纳法可证明：|x 1|2+|x 2|2+…+|x n |2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n |)2

假设|x 1|2+|x 2|2+…+|x n-1|2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n-1|)2

|x 1|2+|x 2|2+…+|x n-1|2+|x n |2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n-1|)2+|x n |2=|Y n -1|2+|x n |2≤(|Y n -1|+|x n |)2

即，|x 1|2+|x 2|2+…+|x n-1|2+|x n |2≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n-1|+|x n |)2 ①

||x||2≤||x||1成立；

再证||x||1≤√n||x ||2

有两种方法可选（柯西-施瓦兹不等式，Jensen 不等式），这里使用柯西-施瓦兹不等式证明。 ||≤||x||2||y||2，令x=( |x 1|, |x 2|,..., |x n |)，y=(1,1, (1)

可得(|x 1|+|x 2|+…+|x n |)≤(|x 1|+| x 2|+…+|x n |)1/2n 1/2

||x||1≤√n||x ||2成立。

根据Jensen 不等式(

∑|x i |αn )1α⁄≥(∑|x i |βn )1β⁄(α>β)，令α=2，β=1可以证明。

2. 令f(x)=(1+x)p 1+x p ,p ≥1

p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况

f ′(

x )=p(1+x)p−1(1−x p−1)(1+x p )2→{>0,0≤x <1=0,x =1<0,x <1} 从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。

所以有(1+x)p

1+x ≥1，即1+x p ≤(1+x)p ，令x=b/a ，有a p +b p ≤(a+b)p ，同理，使用归纳法可

证明：|x 1|p +|x 2|p +…+|x n |p ≤(|x 1|+|x 2|+…+|x n |)p ② ⇒ (|x 1|p +|x 2|p +…+|x n |p )1/p ≤|x 1|+|x 2|+…+|x n | 也即||x||p ≤||x||1成立。

3. 先证||x||q ≤||x||p (p

|x i |p ≤∑|x i |p n i=1 ③

|x 1|q +|x 2|q +…+|x n |q = ∑|x i |q =∑|x i |p |x i |q−p n i=1n i=1带入③式

→ ≤∑|x i |p n i=1∑|x i |q−p n i=1 ∑|x i |q−p n i=1=∑(|x i |p n i=1)q−p p 带入②式→ ≤(∑|x i |p n i=1)

q−p p 于是，∑|x i |

q ≤∑|x i |p n i=1n i=1(∑|x i |p n i=1)q−p p =(∑|x i |p n i=1)1+q−p p =(∑|x i |p n i=1)q p 得到(∑|x i |q )1q ≤n i=1(∑|x i |p n i=1)1p ，即||x||q ≤||x||p ；

再证||x||p ≤n 1p−1q ⁄⁄||x ||q

根据Jensen 不等式(∑|x i |αn )1α

⁄≥(∑|x i |βn )1β⁄(α>β)，令α=q ，β=p (q>p)可以证明。

据说可以根据赫尔德不等式证明，但实在想不到方法证。如果你能想到，不妨发封邮件给我

参考文献

1. 邢家省, 郭秀兰, 崔玉英. 几个幂次不等式的应用[J]. 河南科学, 2008, 26(11):1306-1309.

2. 柯西—施瓦茨不等式.

3. Jensen 不等式.