低调整率的广义AVL树及其统一重平衡方法

低调整率的广义A VL树及其统一重平衡方法

摘要针对传统A VL（AdelsonVelskii and Landis树重平衡算法代码量大、流程复杂、调整率过高的问题，提出一种统一重平衡算法，并提出广义AVL树的概念。统一重平衡算法能对A VL树的失衡节点进行自动分类、调整，取消了传统重平衡方法中的四种旋转操作。广义AVL树放松了A VL 树的平衡约束，允许左右子树树高相差不超过N（N≥1，当更新操作（插入/删除执行后，广义A VL树只在平衡约束条件不满足时采用统一重平衡算法进行调整。理论分析与实验结果表明，广义AVL树的调整率随着N的增大而显著降低：N为5时，调整率低于4%；N为13时调整率低于千分之一。广义A VL树的调整率远低于红黑树等经典数据结构，适合并发应用。

关键词

文献标志码 A

0引言

现有绝大部分数据结构技术都是串行数据结构技术。随着多核处理器的普及，如何在并发环境下高效地实现这些技术显得十分重要[1]。其中有序词典数据结构获得较多的研究[2]，主要包括跳跃表和维持对数高度的平衡二叉搜索树。由于不需要对结构进行经常性的调整，跳跃表已经成为应用最

广泛的并发词典技术[1-9]。最近，研究人员还开发出了具有良好并发性能的红黑树[2]、A VL（AdelsonVelskii and Landis 树[3]和伸展树[4]。早期的并发A VL树是通过解耦更新操作和重平衡操作来实现的[5]，更新操作时不进行调整，但记录下平衡约束的破坏情况，当可以进行调整时，恢复所有的平衡约束；近几年，软件事务性内存技术用于A VL树[3]、红黑树[2]和伸展树[4]获得了良好的效果；国内学者通过对副本节点进行操作而数据节点保持不变，开发了一种无锁并发链表算法[6]，基于节点重用策略进行了无锁并发技术在二叉搜索树中研究[7]。

所有这些研究都是基于经典串行数据结构，通过增加一些新方法或新技术使之适应并发应用。要使经典数据结构能更好地适用于并发应用，不能仅局限于实现环节，还可对它们进行改造，但这方面的研究报告/论文很少。适合于并发应用的数据结构一般有以下两大特点或之一：1在更新操作过程中较少地对原有结构进行调整；2调整具有局域性。本文提出的广义A VL树具有非常低的调整率，已经可以达到万次更新操作只需一次重平衡操作的程度；尽管调整时其局域性略差，但平摊到单次操作，其影响的节点还是非常少的。

1A VL树的统一重平衡方法

当A VL树的左右子树树高相差超过1时，就需要调整以使树重归于平衡。重平衡调整分4种情况进行旋转：左旋、

右旋、左旋再右旋、右旋再左旋。这种分类重平衡的方法非常有效，红黑树和AA树（Arne Andersson tree的双红和双黑调整也是这么处理的。但该方法也有两个缺点

1实现调整算法时，代码量大且流程繁杂，因此容易出错且调试困难；2该方法没有通用性，对于如左右子树高度相差超过2的强失衡的情况，采用分类重平衡方法将导致太多的分类情况，这将极大地增加理解和编程的复杂度，因此该方法不适合处理强失衡的情况。

A VL树的失衡节点左右子树高度相差2，因此只需向失衡节点更深的子树方向进行搜素，一定可以得到一个子节点和一个孙节点。把这三个节点及其四棵子树按完全二叉树的方式进行重排，即可使失衡的节点重新回归平衡，如图1所示。这7个节点可以叫“3+4”节点，清华大学邓俊辉提出的“3+4”重构方法就是这样的重平衡方法[10]，但该方法仍然采用分类方法实现。类似的调整方法在文献[11]中叫填空法、在文献[12]中叫选择调整法。

图片

图1A VL树重平衡的4种情况

本文提出的统一重平衡方法，采用自动计算分类的形式，对“3+4”节点进行调整，该方法流程简洁且代码量小。用有8个指针的节点指针数组p[8]收集“3+4”节点信息，如图1所示。图1中的数字为节点编号，1号节点为失衡节

点，用p[1]存储；2号节点为1号节点较深的子节点，用p[2]存储；5号节点为1号节点较浅的子节点，用p[5]保存，其他依此类推，并用p[0]存储失衡节点的父节点指针。重平衡后，为了方便重构二叉树，将重平衡后的结果（节点编号按完全二叉树的层序进行存储。需要重平衡的情况有4种，可以用二维数组tb[4][8]来存储，具体数据为：{ {0，2，3，1，4，7，6，5}，{0，3，2，1，6，4，7，5}，{0，3，1，2，5，4，7，6}，{0，2，1，3，5，6，4，7} }。重构时，从二维数组提取分类数据，如分类情况1的数据为idx[]={0，3，2，1，6，4，7，5}，其中，“1”是第3个数据，“7”是第6个数据（6=2*3，“5”是第7个数据（7=2*3+1；这意味p[1]的左子树是p[7]、p[1]的右子树是p[5]，其他依此类推。不难发现，重构可以这样进行，p[ idx[i] ]的左子树是

p[ idx[2*i] ]、右子树是p[ idx[2*i+1] ]。计算分类情况可以采用Huffman编码的方式，向更深的子树搜索时向左编码0、向右编码1，如图1各子图左半部分所示。按完全二叉树重排后的二叉树如图1各子图右半部分所示。

算法1A VL树的统一重平衡算法。

有序号的程序――――――――――Shift+Alt+Y

程序前

输入：失衡节点、失衡节点的父节点。

输出：调整前后的高度改变信息。

1

保留失衡节点的高度

2

计算分类号kase（初值为0及收集“3+4”节点信息

a p[1]=失衡节点

b for i=1 to 2

如果p[i]的左子树更深

p[i+1]=p[i]的左子树

p[i+4]=p[i]的右子树kase=2*kase

否则

p[i+1]=p[i]的右子树

p[i+4]=p[i]的左子树

kase=2*kase+1

c p[4]=p[3]的左子树

p[7]=p[3]的右子树

3

从二维数组tb中提取按完全二叉树重排“3+4”节点的数据

idx=tb[kase]；

4

依据完全二叉树的形式重构二叉树

for i=3 to 1