AVL树的插入和删除

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avl使用规则

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，其使用规则如下：
当插入一个新节点时，需要进行旋转操作以保持树的平衡。

旋转操作包括单旋转和双旋转，具体使用哪种旋转取决于插入节点后树的平衡情况。

在删除一个节点时，也需要进行旋转操作来重新平衡树。

同样地，旋转操作包括单旋转和双旋转，具体使用哪种旋转取决于删除节点后树的平衡情况。

除了插入和删除操作外，其他基本操作如搜索、查找等与普通的二叉搜索树类似。

需要注意的是，AVL树虽然能保证查询效率较高，但在插入和删除节点时需要进行旋转操作，这些操作可能会使得时间复杂度不再是O(log n)，因此在数据量很大且插入删除频率较高的情况下，可能会比普通的二叉搜索树性能较差。

以上是关于AVL树使用规则的简要介绍，如有需要，可以阅读数据结构相关书籍或请教专业人士。

AVL树的c语言实现

AVL树的c语言实现AVL树的c语言实现导语：C语言的设计目标是提供一种能以简易的方式编译、处理低级存储器、产生少量的'机器码以及不需要任何运行环境支持便能运行的编程语言。

下面我们来看看AVL树的c语言实现，希望对大家有所帮助。

AVL树的c语言实现：在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。

在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。

查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。

增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

1.节点(1)节点的定义1 2 3 4 5 6 7 8 9 typedef int KeyType;typedef struct AvlNode{KeyType key; //数据AvlNode *leftchild; //左孩子AvlNode *rightchild; //右孩子AvlNode *parent; //双亲结点int balance; //平衡因子}AvlNode,*AvlTree;(2)结点的创建1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 AvlNode *BuyNode(){AvlNode *p =(AvlNode *)malloc(sizeof(AvlNode));if( p != NULL){p->leftchild = NULL;p->rightchild = NULL;p->parent = NULL;p->balance = 0;}return p;}2.旋转如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。

这种失去平衡的可以概括为4种姿态：左单旋转，右单旋转，左平衡，右平衡。

(1)左单旋转：也叫左左旋转。

【AVL树的c语言实现】。

算法工程师面试真题单选题100道及答案解析

算法工程师面试真题单选题100道及答案解析1. 以下哪种数据结构适合用于实现快速查找最大值和最小值？A. 栈B. 队列C. 堆D. 链表答案：C解析：堆可以快速地获取最大值和最小值。

2. 快速排序在最坏情况下的时间复杂度是？A. O(nlogn)B. O(n^2)C. O(n)D. O(logn)答案：B解析：快速排序在最坏情况下，每次划分都极不均匀，时间复杂度为O(n^2)。

3. 以下哪种算法常用于在未排序的数组中查找特定元素？A. 冒泡排序B. 二分查找C. 顺序查找D. 插入排序答案：C解析：顺序查找适用于未排序的数组查找特定元素。

4. 一个有向图的邻接表存储结构中，顶点的邻接点是按照什么顺序存储的？A. 随机顺序B. 顶点编号的大小顺序C. 插入的先后顺序D. 无法确定答案：C解析：邻接表中顶点的邻接点是按照插入的先后顺序存储的。

5. 深度优先搜索遍历图的时间复杂度是？A. O(n)B. O(n + e)C. O(n^2)D. O(e)答案：B解析：深度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n + e)，其中n 是顶点数，e 是边数。

6. 以下哪种排序算法是稳定的排序算法？A. 快速排序B. 希尔排序C. 冒泡排序D. 选择排序答案：C解析：冒泡排序是稳定的排序算法。

7. 一个具有n 个顶点的无向完全图，其边的数量为？A. n(n - 1) / 2B. n(n - 1)C. n^2D. 2n答案：A解析：无向完全图的边数为n(n - 1) / 2 。

8. 动态规划算法的基本思想是？A. 分治法B. 贪心算法C. 把问题分解成多个子问题并保存子问题的解D. 回溯法答案：C解析：动态规划的基本思想是把问题分解成多个子问题并保存子问题的解，避免重复计算。

9. 以下关于哈希表的说法，错误的是？A. 哈希表的查找时间复杂度为O(1)B. 哈希冲突可以通过开放定址法解决C. 哈希表的空间复杂度是固定的D. 哈希函数的设计会影响哈希表的性能答案：C解析：哈希表的空间复杂度不是固定的，取决于元素数量和负载因子等。

AVL树和红黑树的性能对比和适用场景

AVL树和红黑树的性能对比和适用场景AVL树和红黑树都是常用的自平衡二叉查找树，它们在不同的应用场景下具有不同的性能特点。

本文将对AVL树和红黑树的性能进行对比，并分析它们适用的场景。

一、性能对比1. 插入和删除操作AVL树和红黑树在插入和删除操作方面具有不同的性能表现。

由于AVL树要求保持平衡，每次插入或删除操作后都需要进行旋转操作来调整树的平衡。

这样虽然能够保持树的平衡，但是会造成频繁的旋转操作，导致性能较低。

而红黑树则通过颜色标记和旋转操作来保持树的平衡，相比AVL树的旋转操作更少，因此在插入和删除操作方面性能更优。

2. 查找操作在查找操作方面，AVL树和红黑树的性能相当。

它们都保持了二叉查找树的性质，可以在对数时间内完成查找操作。

3. 内存占用由于AVL树要存储额外的平衡信息，每个节点需要额外的一个整数来表示平衡因子，因此相比红黑树来说，AVL树的内存占用更高。

二、适用场景1. 数据插入与删除频繁的场景如果应用场景中涉及频繁的数据插入和删除操作，而对查找操作的性能要求相对较低，则适合选择红黑树。

红黑树通过更少的旋转操作来保持树的平衡，能够在频繁插入和删除操作时，保持较好的性能。

2. 数据查询频繁的场景如果应用场景中涉及频繁的数据查询操作，而对插入和删除操作的性能要求相对较低，则适合选择AVL树。

AVL树由于保持了严格的平衡性，能够在频繁查询操作时，提供更高的查找性能。

3. 对内存占用有限制的场景如果应用场景对内存占用有较严格的限制，则适合选择红黑树。

红黑树相比AVL树的内存占用更低，能够在有限的内存条件下，存储更多的节点。

4. 平衡性要求高且内存占用不是关键问题的场景如果应用场景对平衡性要求较高，而对内存占用没有过多的限制，则AVL树是更好的选择。

AVL树能够保持严格的平衡性，但相对红黑树来说，需要更多的旋转操作，导致性能较低。

三、总结AVL树和红黑树是常用的自平衡二叉查找树，在不同的应用场景下具有不同的性能表现。

AVL树及其平衡性

AVL树及其平衡性AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它得名于它的发明者Adelson-Velsky和Landis。

AVL树在插入和删除节点时会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在一个较小的范围内，从而提高搜索、插入和删除操作的效率。

本文将介绍AVL树的基本概念、特点以及如何保持其平衡性。

一、AVL树的基本概念AVL树是一种二叉搜索树，具有以下特点：1. 每个节点最多有两个子节点，左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值；2. 每个节点都有一个平衡因子（Balance Factor），定义为左子树的高度减去右子树的高度；3. AVL树的平衡因子必须为-1、0或1，即任意节点的左右子树高度差不超过1；4. AVL树中任意节点的左子树和右子树都是AVL树。

二、AVL树的平衡性AVL树通过旋转操作来保持树的平衡，主要包括左旋转、右旋转、左右旋转和右左旋转四种操作。

在插入或删除节点后，如果AVL树的平衡因子不满足要求，就需要进行相应的旋转操作来调整树的结构，以保持平衡性。

1. 左旋转（LL旋转）当某个节点的平衡因子为2，且其左子树的平衡因子为1或0时，需要进行左旋转操作。

左旋转是将当前节点向左旋转，使其右子节点成为新的根节点，原根节点成为新根节点的左子节点，新根节点的左子节点成为原根节点的右子节点。

2. 右旋转（RR旋转）当某个节点的平衡因子为-2，且其右子树的平衡因子为-1或0时，需要进行右旋转操作。

右旋转是将当前节点向右旋转，使其左子节点成为新的根节点，原根节点成为新根节点的右子节点，新根节点的右子节点成为原根节点的左子节点。

3. 左右旋转（LR旋转）当某个节点的平衡因子为2，且其左子树的平衡因子为-1时，需要进行左右旋转操作。

左右旋转是先对当前节点的左子节点进行右旋转，然后再对当前节点进行左旋转。

4. 右左旋转（RL旋转）当某个节点的平衡因子为-2，且其右子树的平衡因子为1时，需要进行右左旋转操作。

C平衡二叉树（AVL）创建和删除

C平衡⼆叉树（AVL）创建和删除 AVL是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树算法。

在AVL中任何节点的两个⼉⼦⼦树的⾼度最⼤差别为⼀，所以它也被称为⾼度平衡树，n个结点的AVL树最⼤深度约1.44log2n。

查找、插⼊和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。

增加和删除可能需要通过⼀次或多次树旋转来重新平衡这个树。

定义⽤LH，EH，RH分别表⽰左⼦树⾼，等⾼，右⼦树⾼，即平衡因⼦1、0、-1#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <stdbool.h>#define LH 1 // 左⾼#define EH 0 // 等⾼#define RH -1 // 右⾼typedef struct TreeNode{int data;int bf;struct TreeNode *left, *right;}TreeNode; 旋转处理左旋和右旋，记住“左逆右顺”就可以/************************************************* 对以*p为根的⼆叉排序树作右旋处理，处理之后p指向新的树根结点，* A B* / / \* B 旋转后变为 C A* / \ /* C D D* 即旋转处理之前的左⼦树的结点。

************************************************/void r_rotate(TreeNode **p){TreeNode *l = (*p)->left;(*p)->left = l->right;l->right = (*p);*p = l;}/************************************************* 对以*p为根的⼆叉排序树作左旋处理，处理之后p指向新的树根结点，* A B* \ / \* B 旋转后变为 A D* / \ \* C D C* 即旋转处理之前的右⼦树的结点。

二叉树解决问题的方法总结

二叉树解决问题的方法
二叉树解决问题的方法可以总结为以下几种：
1. 递归遍历：递归遍历是一种常用的方法，用于遍历二叉树的每个节点。

这种方法通常需要定义一个递归函数，以对每个节点进行操作。

递归遍历可以分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。

2. 递归分治：递归分治是一种将问题分解为更小的子问题的方法。

在二叉树中，分治法通常将问题划分为左右两个子问题，并分别解决它们。

递归分治的关键在于如何将问题分解，以及如何合并子问题的解决方案以得到最终答案。

3. 迭代法：迭代法是一种使用循环结构遍历二叉树的方法。

这种方法通常使用堆栈或队列等数据结构来存储节点，以便在循环中进行遍历。

4. 基于BST的查找和插入操作：二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，其每个节点的左子树上的所有元素都小于该节点的值，而右子树上的所有元素都大于该节点的值。

基于BST的查找和插入操作可以利用这一性质来快速定位和插入节点。

5. AVL树的插入和删除操作：AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，其每个节点的左子树和右子树的高度差不会超过1。

在AVL树中进行插入和删除操作时，需要考虑到如何保持树的平衡，以避免重新平衡操作带来的额外开销。

以上是二叉树解决问题的一些常见方法，具体使用哪种方法取决于问题的性质和要求。

AVL树插入删除

AVL树插入删除AVL树是一种平衡二叉树，其每个节点的左右子树高度最多差1，空树高度定为-1，当左右的高度超过1，即失去了平衡，不是AVL树了。

private static class AVLNode<AnyType>{AVLNode (AnyType element){this(element ,null,null);}AVLNode(AnyTape element,AVLNode<AnyType> left,AVLNode<AnyType> right){this.element = element;this.left = left;this.right = right;}AnyTape element;AVLNode<AnyType> left;AVLNode<AnyType> right;int height;}这是AVL树的节点声明，声明了节点，左右子树以及高度。

在进行插入和删除操作时可能会使AVL树左右子树的高度相差超过1，破坏了平衡，当平衡破坏时，在插入或删除完成前恢复平衡要进行旋转。

旋转分为单旋转和双旋转。

把必须重新平衡的节点叫做t，下面是单旋转和双旋转的情况。

1.对于t的左儿子的左子树进行插入->单旋转2.对于t的左儿子的右子树进行插入->双旋转3.对于t的右儿子的左子树进行插入->双旋转4.对于t的右儿子的右子树进行插入->单旋转由此总结，左-左，右-右是单旋转，左-右，右-左是双旋转在旋转之前，插一下节点高度计算private int height(AVLNode<AnyType> t){return t == null ? -1 : t.height;}1.左-左：单旋private AVLNode<AnyType> rotateLeftChild(AVLNode<AnyType> k1){ AVLNode<AnyType> k2 = k1.right;k1.right = k2.left;k1.height = Maht.max(height(k1.left),height(k1.right))+1; k1.height = Maht.max(height(k2.right),k1.height)+1;return k2;}2.左-右：双旋转private AVLNode<AnyType> doubleLeftChild(AVLNode<AnyType> k3){ k3.left = rotateReft(k3.left);return rotateLeft(k3);}3.右-左：双旋转private AVLNode<AnyType> doubleRightChild(AVLNode<AnyType> k3){k3.right = rotateLeftChild(k3.right);return rotateRightChild(k3);}4.右-右：单旋private AVLNode<AnyType> rotateRightChild(AVLNode<AnyType> k2){AVLNode<AnyType> k1 = k2.left;k2.left = k1.right;k2.height = Maht.max(height(k2.left),height(k2.right))+1;k1.height = Maht.max(height(k1.left),k2.height)+1;return k1;}说完了旋转，接下来就是插入操作了private AVLNode<AnyType> insert(AnyType x,AVLNode<AnyType>t){if(t == null)return new AVLNode<>(x,null,null);int result = pareTo(t.element);if( result < 0) //如果X小于节点值，则在左子树插入，递归更新t.left = insert(x,t.left);else if( result > 0) //如果X大于节点值，则在右子树插入，递归 t.right = insert(x,t.right);return balance(t);}private static final int balance_num = 1;private AVLNode<AnyType> balance(AVLNode<AnyType>t){if(t == null)return t;if(height(t.left) - height(right) > balance_num){if(height(t.left.left) > height(t.left.right)) //左-左t = rotateLeftChild(t);elset = doubleLeftChild(t); //左-右}else{if(height(t.right.right) > height(t.right.left)) //右-左 t = rotateRightChild(t);elset = doubleRightChild(t); //右-左}t.height = Math.max(height(t.left),height(t.right))+1;return t;}旋转一定要保持平衡，所以要返回的是balance(t)而不是t。

基于选择调整算法的AVL树快速增删算法的研究与实现

平衡因子均为０因此，可以确信：调整后的子树是平衡，的，如图４示。所
维普资讯
术交流
一
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’
（、，）
、－・，’
ｐＩ
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ｆ）、—
ｏｏ
（） “ ” ｄ＞型失衡．
（）ｂ（２）０ｆ１＜，ｂ（２）０ｆ１＞２ｆ０＞且ｂ（）０ｆ０＜且ｂ（）０ｐｐｐｐ同理可得该情况下的结点平衡因子更新策略：先按第一种情况，ｌａ的规则初步确定新平衡因子，再根据第￣）ｐ
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பைடு நூலகம்
一ｆ一乏～Ｊ胁一
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０时，不做调整。失衡子树的高度减少１。（）ｆ２）０３ｂ（０＝ｐ
Ｐｏ３
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一
、
我们先视为：ｐ１３子树 “ 去掉”一层高度，ｌｂ（２）￣ｆ０ｐｐ变为１１与ｂ（１同号，按 “” 或 “＼” 失衡类型进或一且ｆ）ｐ，行结构调整和初步确定平衡因子。再看作ｐ１３子树上 “ 填
、、ｊ
’
（
’、
、～一，－
、、ｊ
，，
除；如果该结点为单枝结点，以其孩子结点代替其位置，然后删除；如果该结点为双枝结点．则如果其平衡因子
、、
～
一，－
，
图４ “０，”和 “０＼”型初步调整后再在ｐ１３子树增加一

数据结构(本科)期末综合练习二(填空与判断题)剖析

数据结构（本科）期末综合练习二（填空与判断题）填空题1. 数据是__信息__的载体，它能够被计算机程序识别、存储和加工处理。

2. 数据结构包括逻辑结构、__存储结构__和数据的运算三个方面。

3. 数据结构的逻辑结构包括线性结构和__非线性__结构两大类。

4. 数据结构的存储结构包括顺序、__链接___、索引和散列等四种。

5. 基本数据类型是计算机已经实现了的_数据结构__。

6. 抽象数据类型的特点是__数据封装__、信息隐蔽、使用与实现分离。

7. 算法的一个特性是__有穷性__，即算法必须执行有限步就结束。

8. 面向对象的特征应包括对象、类、__继承__、消息通信。

9. 属性与服务相同的对象构成类，类中的每个对象称为该类的__实例__。

10. 对象的私有状态只能通过该对象的__操作（或服务）_才能改变。

11. 模板类是一种数据抽象，它把__数据类型_当作参数，可以实现类的复用。

12. 在类的继承结构中，位于上层的类叫做基类，其下层的类则叫做__派生（或子）__类。

13. 一维数组所占用的空间是连续的。

但数组元素不一定顺序存取，通常是按元素的__下标（或顺序号）__存取的。

14. 在程序运行过程中不能扩充的数组是__静态__分配的数组。

这种数组在声明它时必须指定它的大小。

15. 在程序运行过程中可以扩充的数组是__动态___分配的数组。

这种数组在声明它时需要使用数组指针。

16. 二维数组是一种非线性结构，其中的每一个数组元素最多有__两个__个直接前驱（或直接后继）。

17. 若设一个n n的矩阵A的开始存储地址LOC(0, 0) 及元素所占存储单元数d已知，按行存储时其任意一个矩阵元素a[i][j]的存储地址为__ LOC(0,0)+(i*n+j)*d__。

18. 对称矩阵的行数与列数__相等_且以主对角线为对称轴，a ij = a ji，因此只存储它的上三角部分或下三角部分即可。

19. 将一个n阶对称矩阵的上三角部分或下三角部分压缩存放于一个一维数组中，则一维数组需要存储__n(n+1)/2 _个矩阵元素。

AVL树与红黑树平衡树的应用与区别

AVL树与红黑树平衡树的应用与区别AVL树和红黑树都是常见的自平衡二叉查找树，它们在计算机科学领域中被广泛应用。

本文将探讨AVL树和红黑树的应用及它们之间的区别。

一、AVL树的应用与特点AVL树是一种高度平衡的二叉查找树，它的特点是任意节点的左右子树高度差不超过1。

AVL树通过旋转操作来保持树的平衡，以确保在最坏情况下的查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。

AVL树的应用广泛，特别适用于对插入和删除操作较为频繁的场景，比如数据库索引、编译器中的符号表等。

由于AVL树的严格平衡性，它在某些场景下可能会比红黑树更快，尤其是对于查找操作。

二、红黑树的应用与特点红黑树是一种近似平衡的二叉查找树，它通过引入颜色标记和一些约束条件来保持树的平衡。

红黑树的特点是具有较好的平衡性能，插入和删除操作相对AVL树更为高效，适用于需要频繁插入和删除操作的场景。

红黑树广泛应用于各种编程语言的标准库中，比如C++的STL中的map和set，Java中的TreeMap和TreeSet等。

红黑树的平衡性能虽然不如AVL树那么严格，但在实际应用中往往能够提供更好的性能。

三、AVL树与红黑树的区别1. 平衡性要求不同：AVL树要求任意节点的左右子树高度差不超过1，而红黑树则通过引入颜色标记和约束条件来保持树的近似平衡。

2. 插入和删除操作的效率不同：红黑树在插入和删除操作上比AVL树更高效，因为红黑树的平衡性要求相对宽松，旋转操作相对较少。

3. 查询操作的效率可能有差异：由于AVL树的严格平衡性，它在某些情况下可能比红黑树更快，尤其是对于查找操作。

但在实际应用中，红黑树的性能往往更优秀。

4. 存储空间的利用率不同：由于红黑树的平衡性要求相对宽松，它在存储空间利用率上可能比AVL树更好，因为红黑树的高度不会像AVL树那样严格受限。

综上所述，AVL树和红黑树都是重要的平衡树结构，在不同的应用场景下有着各自的优势和特点。

AVL树了解AVL树的平衡性和旋转操作

AVL树了解AVL树的平衡性和旋转操作AVL树，全称Adelson-Velsky-Landis树，是一种经典的自平衡二叉搜索树。

在AVL树中，任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1，这保证了树的平衡性。

为了维持平衡，AVL树在插入和删除节点时，会通过旋转操作来调整树的结构。

下面我们将了解AVL树的平衡性以及旋转操作的原理和步骤。

一、AVL树的平衡性AVL树的平衡性是指树的任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

为了实现这种平衡性，AVL树的节点需要存储每个子树的高度信息，并在插入和删除节点时，通过旋转操作来调整树的结构，以维持平衡。

二、旋转操作的原理和步骤旋转操作是AVL树用来调整结构的主要方法，分为左旋和右旋两种。

下面我们将详细介绍这两种旋转操作的原理和步骤。

1. 左旋左旋操作是指将当前节点的右子节点上移，当前节点成为新的左子节点。

左旋操作的原理如下：（1）将当前节点的右子节点的左子节点作为当前节点的右子节点；（2）将当前节点的右子节点作为新的根节点；（3）将当前节点作为右子节点的左子节点。

左旋操作的步骤如下：（1）判断当前节点是否有右子节点，若没有，则无法进行左旋操作；（2）保存当前节点的右子节点，并将右子节点的左子节点设置为当前节点的右子节点；（3）将当前节点的右子节点设为右子节点的左子节点；（4）将右子节点设为当前节点的左子节点；（5）更新当前节点和右子节点的高度信息。

2. 右旋右旋操作是指将当前节点的左子节点上移，当前节点成为新的右子节点。

右旋操作的原理如下：（1）将当前节点的左子节点的右子节点作为当前节点的左子节点；（2）将当前节点的左子节点作为新的根节点；（3）将当前节点作为左子节点的右子节点。

右旋操作的步骤如下：（1）判断当前节点是否有左子节点，若没有，则无法进行右旋操作；（2）保存当前节点的左子节点，并将左子节点的右子节点设置为当前节点的左子节点；（3）将当前节点的左子节点设为左子节点的右子节点；（4）将左子节点设为当前节点的右子节点；（5）更新当前节点和左子节点的高度信息。

替罪羊树

15
替罪羊树的删除操作 n上次=n初始=8 h：3 Hα：3 当n< α*n上次=0.57*8=4.56时重建
5
5
h：3 Hα：3
删除19
1
10
13
19
删除13
1
16
10
22 9
删除22
h：3 Hα：2
19 22
h：3 Hα：2
9
16
α=0.57
h：3 Hα：3
5 1 10
5
1 10 9
删除1
16 22
0.6 3 1.8 0 2
不平衡平衡
特殊情况当二叉树为0.5权重平衡时
即n 左<=0.5*n 并且 n 右<=0.5*n
则几乎为完全二叉树证： n-n右-1= n左
0.5n-1 =< n-n右-1 = n左=< 0.5n 则n左≈0.5n n右≈0.5n 树t几乎为完全二叉树定理：如果一棵二叉树α权重平衡，那它一定α高度平衡反之不一定成立 8
替罪羊树的插入替罪羊树的删除替罪羊树的查找
替罪羊树的基本操作
总结
20
总结
1.替罪羊树不同于别的大部分平衡树，它的节点（除根节点）不用存储额外的信息（例如颜色，平衡度）。（根节点存储了整个树的节点个数n和上次重建后的结点个数n上次）.从而节约了存储空间。 2.替罪羊树不用旋转来达到平衡，操作简单。但是替罪羊树需要重建。
2）当插入新节点后打破了α的高度平衡，则要寻找替罪羊，把以替罪羊为根节点的子树重建成一个新的0.5 权重平衡（即完全二叉树）的二叉排序树
如何寻找替罪羊？
沿着新插入节点的双亲向上找，第一个不满足α权重平衡的结点即为替罪羊。

实验报告

哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院实验报告课程名称：数据结构与算法课程类型：必修实验项目名称：A VL树实验题目：A VL树班级：0836001学号：6080310126姓名：赵文博一、实验目的通过编写实现AVL树的各种功能，熟悉AVL树的原理与使用方法。

二、实验要求及实验环境要求：1.具有插入（建立）、删除和查找功能2.插入操作应包括四种类型的平衡化处理3.删除操作应包括四种类型的平衡化处理并且包括多次平衡化处理4.能体现操作前后二叉树的形态及其变化实验环境：IDE：Codeblocks 8.0.2系统：windows XP语言: C++三、设计思想所使用的变量与函数：struct node //A VL树中的节点{int height, data;node *left, *right;};node *root; //根节点int ret(node *po) //返回一个节点的height值，若节点为空返回0void rotateLL(node* &r) //LL旋转void rotateRR(node* &r) //RR旋转void rotateRL(node* &r) //RL旋转void rotateLR(node* &r) //LR旋转void insert(node* &p, int number) //插入这里未使用平衡因子，而是使用高度代替void rotateDelete(node* &p) //删除时的旋转void Delete(node* &p, int data) //删除元素int search(node* &p, int x) //查找元素void show(node* &p) //输出A VL树中的所有元素流程图：四、测试结果按如下顺序插入元素，不断的输出A VL树的结构：1 3 2 5 6 4 9 8 71：数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL3：数据: [1] 左节点: NULL 右节点: [3]数据: [3] 左节点: NULL 右节点: NULL2：数据: [2] 左节点: [1] 右节点: [3]数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [3] 左节点: NULL 右节点: NULL5：数据: [2] 左节点: [1] 右节点: [3]数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [3] 左节点: NULL 右节点: [5]数据: [5] 左节点: NULL 右节点: NULL6：数据: [2] 左节点: [1] 右节点: [5]数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [5] 左节点: [3] 右节点: [6]数据: [3] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [6] 左节点: NULL 右节点: NULL4：数据: [3] 左节点: [2] 右节点: [5]数据: [2] 左节点: [1] 右节点: NULL数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [5] 左节点: [4] 右节点: [6]数据: [4] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [6] 左节点: NULL 右节点: NULL9：数据: [3] 左节点: [2] 右节点: [5]数据: [2] 左节点: [1] 右节点: NULL数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [5] 左节点: [4] 右节点: [6]数据: [4] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [6] 左节点: NULL 右节点: [9]数据: [9] 左节点: NULL 右节点: NULL 8：数据: [3] 左节点: [2] 右节点: [5]数据: [2] 左节点: [1] 右节点: NULL数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [5] 左节点: [4] 右节点: [8]数据: [4] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [8] 左节点: [6] 右节点: [9]数据: [6] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [9] 左节点: NULL 右节点: NULL 7：数据: [3] 左节点: [2] 右节点: [6]数据: [2] 左节点: [1] 右节点: NULL数据: [1] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [6] 左节点: [5] 右节点: [8]数据: [5] 左节点: [4] 右节点: NULL数据: [4] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [8] 左节点: [7] 右节点: [9]数据: [7] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [9] 左节点: NULL 右节点: NULL随后，删除1,7,31数据: [3] 左节点: [2] 右节点: [6]数据: [2] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [6] 左节点: [5] 右节点: [8]数据: [5] 左节点: [4] 右节点: NULL数据: [4] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [8] 左节点: [7] 右节点: [9]数据: [7] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [9] 左节点: NULL 右节点: NULL 7：数据: [3] 左节点: [2] 右节点: [6]数据: [2] 左节点: NULL 右节点: NULL 数据: [6] 左节点: [5] 右节点: [8]数据: [5] 左节点: [4] 右节点: NULL数据: [4] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [8] 左节点: NULL 右节点: [9]数据: [9] 左节点: NULL 右节点: NULL3数据: [4] 左节点: [2] 右节点: [6]数据: [2] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [6] 左节点: [5] 右节点: [8]数据: [5] 左节点: NULL 右节点: NULL数据: [8] 左节点: NULL 右节点: [9]数据: [9] 左节点: NULL 右节点: NULL此时，查找元素2 5 102，5返回找到10返回未找到。

avl方案介绍

avl方案1. 引言AVL树是一种自平衡二叉查找树，它在操作过程中保持树的高度平衡，从而保证了各种基本操作的时间复杂度为O(log n)。

本文将介绍AVL树的原理、实现方法以及应用场景。

2. AVL树的原理AVL树是由G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis在1962年提出的，它的名称取自于他们的名字的首字母。

AVL树的特点是每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1，即保证了树的高度平衡。

AVL树的插入和删除操作会导致树的失衡，为了维持树的平衡，AVL树使用了旋转操作。

旋转操作主要包括左旋和右旋，通过重新调整子树的结构来使得树重新达到平衡。

3. 实现AVL树实现AVL树可以采用递归或迭代的方式，这里以递归方式为例进行说明。

3.1 AVL树节点定义首先需要定义AVL树的节点结构，一个简单的AVL树节点可以包括以下几个字段：class AVLNode:def__init__(self, key):self.key = keyself.left =Noneself.right =Noneself.height =1其中，key字段用于存储节点的键值，left和right字段分别指向节点的左子树和右子树，height字段表示节点的高度。

3.2 AVL树的插入操作AVL树的插入操作分为以下几个步骤：1.找到插入位置，若树为空，则直接插入新节点。

2.根据插入节点的键值与当前节点的键值进行比较，决定向左子树或右子树递归插入。

行旋转操作。

4.若当前节点失衡，根据失衡情况选择合适的旋转操作进行平衡调整。

下面是插入操作的递归实现代码：def insert(root, key):if not root:return AVLNode(key)elif key < root.key:root.left = insert(root.left, key)else:root.right = insert(root.right, key)root.height =1+ max(get_height(root.left), get_height(root.right)) balance = get_balance(root)# 左旋if balance >1and key < root.left.key:return rotate_right(root)# 右旋if balance <-1and key > root.right.key:return rotate_left(root)# 左右旋if balance >1and key > root.left.key:root.left = rotate_left(root.left)return rotate_right(root)# 右左旋if balance <-1and key < root.right.key:root.right = rotate_right(root.right)return rotate_left(root)return root3.3 AVL树的删除操作AVL树的删除操作也需要进行树的平衡调整，它分为以下几个步骤：1.找到待删除的节点。

常见基本数据结构——树，二叉树，二叉查找树，AVL树

常见基本数据结构——树，⼆叉树，⼆叉查找树，AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时，链表的线性时间太慢了，不宜使⽤。

在树的数据结构中，其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。

并且通过对树结构的修改，我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。

树的定义有很多种⽅式。

定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。

⼀棵树是⼀些节点的集合，这个集合可以是空集，若⾮空集，则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成，这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。

从递归的定义中，我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的，每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点，但是根节点除外。

具有相同⽗亲的节点为兄弟，类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。

从节点n1到nk的路径定义为节点n1，n2，...，nk的⼀个序列，并且ni是ni+1的⽗亲。

这个路径的长是路径上的边数，即k-1。

每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。

⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。

对于任意的节点ni，ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。

ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。

因此，所有的树叶的⾼度都是0，⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。

⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度；该深度等于这棵树的⾼度。

树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针，使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。

但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道，故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的，这样将会浪费⼤量的空间。

实际的做法很简单：将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。

下⾯是典型的声明：typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰：树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。

AVL树的平衡策略

AVL树的平衡策略AVL树是一种自平衡二叉搜索树，通过保持树的左右子树的高度差在指定范围内来维持平衡。

在本文中，我们将介绍AVL树的平衡策略以及它的实现。

一、AVL树的介绍AVL树是一种二叉搜索树，它的每个节点都包含一个额外的平衡因子，即该节点的左子树和右子树的高度差。

平衡因子可以是 -1、0 或 1，当平衡因子的绝对值超过1时，树就不再平衡，需要通过旋转操作进行调整。

二、插入操作在AVL树中插入一个节点时，首先进行二叉搜索树的插入操作。

接着，从插入节点的父节点开始向上回溯，更新每个祖先节点的平衡因子。

如果某个祖先节点的平衡因子超过了1，即左子树高度大于右子树，或者小于-1，即右子树高度大于左子树，那么就需要进行相应的旋转操作来恢复平衡。

三、旋转操作AVL树的旋转操作包括左旋和右旋。

左旋是指将当前节点的右子树提升为新的根节点，当前节点成为新根节点的左子树。

右旋则是相反的操作，将当前节点的左子树提升为新的根节点，当前节点成为新根节点的右子树。

四、平衡调整在进行插入操作后，AVL树可能会失去平衡，而需要进行相应的平衡调整。

平衡调整可以通过不同类型的旋转操作来实现，包括左旋、右旋、左右旋和右左旋等。

1. 左旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为2，并且插入节点在该祖先节点的左子树的左子树上时，进行左旋操作。

2. 右旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为-2，并且插入节点在该祖先节点的右子树的右子树上时，进行右旋操作。

3. 左右旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为2，并且插入节点在该祖先节点的左子树的右子树上时，先对插入节点的左子树进行一次右旋操作，然后对祖先节点进行左旋操作。

4. 右左旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为-2，并且插入节点在该祖先节点的右子树的左子树上时，先对插入节点的右子树进行一次左旋操作，然后对祖先节点进行右旋操作。

五、删除操作在AVL树中删除一个节点时，首先进行二叉搜索树的删除操作。

平衡二叉树AVL树与红黑树

平衡二叉树AVL树与红黑树平衡二叉树(AVL树)与红黑树概述：平衡二叉树与红黑树是常见的自平衡二叉搜索树，用于解决传统二叉搜索树在频繁插入、删除等操作下出现的性能问题。

本文将介绍平衡二叉树(AVL树)与红黑树的原理、特点以及应用场景。

一、平衡二叉树（AVL树）：1.1 原理：平衡二叉树，又称AVL树，是一种特殊的二叉搜索树。

它通过在每个节点上记录一个平衡因子来保持树的平衡。

平衡因子为左子树的高度减去右子树的高度，平衡因子的绝对值不超过1。

当平衡二叉树失去平衡时，通过旋转操作来恢复平衡。

1.2 特点：1) 每个节点的平衡因子只能为-1、0、1；2) 左右子树的高度差不超过1；3) 插入、删除操作可能导致平衡因子失衡，需要进行旋转操作；4) 查询、插入、删除时间复杂度为O(logn)。

1.3 应用场景：平衡二叉树适用于插入、删除频繁的情况下的搜索、排序操作。

由于其严格的平衡性，适合用于对数据集的高效维护和查找。

二、红黑树：2.1 原理：红黑树是另一种自平衡的二叉搜索树结构。

每个节点都有一个颜色属性，红色或黑色，用来确保树的平衡。

红黑树通过一些额外的性质来保持平衡，包括：1) 节点是红色或黑色；2) 根节点是黑色；3) 所有叶子节点（NULL节点）是黑色；4) 不能有相邻的两个红色节点；5) 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

2.2 特点：1) 相对于平衡二叉树，红黑树的平衡性更宽松，插入、删除操作后的调整更灵活；2) 查询、插入、删除时间复杂度为O(logn)；3) 可用于范围查询和有序输出。

2.3 应用场景：红黑树广泛应用于各种编程语言的标准库中，如C++的STL中的map、set等数据结构。

其平衡性和高效性使其在高性能的存储系统中得到广泛应用。

三、平衡二叉树（AVL树）与红黑树的比较：在性能方面，平衡二叉树(AVL树)和红黑树的查询、插入、删除操作的时间复杂度都为O(logn)。

AVL树的插入

A VL树的插入再向一颗本来是高度平衡的A VL树中插入一个新节点是，如果树中的某个节点的平衡因子的绝对值|bf|>1，则出现了不平衡，需要做平衡化处理。

设新插入的节点为p,从节点p到根节点的路径上，每个节点为根的子树的高度都可能增加1,因此在每执行一次二叉搜索树的插入运算后，都需要从新插入的节点p开始，沿该节点的插入路径向根节点方向回溯，修改各节点的平衡因子，调整子树的高度，恢复被破换的平衡性质。

新节点p的平衡因子为0。

现在考察它的父节点pr,若p是pr的右子女，则pr的平衡因子增加1,否则pr的平衡因子减少1,按照修改后pr的平衡因子值有三种情况：1、节点pr的平衡因子为0,说明刚才是在pr的较矮的子树上插入了新节点，节点pr处平衡，且高度没有增减，此时从pr到根的路径上各节点为根的子树高度不变，从而各各节点的平衡因子不变，可以结束重新平衡化的处理，返回主程序。

2、节点pr的平衡因子绝对值bf=1，说明插入前pr的平衡因子是0,插入新节点后，以pr为根的子树没有失去平衡，不需要平衡化旋转，但该子树的高度增加，还需从节点pr向根的方向回溯，继续考察节点pr的父节点的平衡状态。

3、节点pr的平衡因子的绝对值bf=2，说明新节点在较高的子树上插入，造成了不平很，需要做平衡化旋转，分两种情况考虑：3.1 若节点pr的bf=2，说明右子树高，结合其右子女q的bf分别处理:1\若q的bf=1，执行左单旋转；2\若q的bf=-1, 执行先右后左双旋转3.2 若节点pr的bf=-2，说明左子树高,结合其左子女q的bf分别处理：1\若q的bf=-1，执行右单旋转；2\若q的bf= 1, 执行先左后右双旋转A VL树的删除若删除节点后破坏了A VL树的平衡，则需要进行平衡旋转1、如果被删除节点p有两个子女节点，首先搜索p在中序下的直接前驱q（也可以是直接后继）,再把节点q的内容传送给节点p,问题转移到删除节点q，把节点q当做被删除节点p，它是只有一个子女的节点。