AVL树的插入和删除

A VL树的插入

再向一颗本来是高度平衡的A VL树中插入一个新节点是，如果树中的某个节点的平衡因子的绝对值|bf|>1，则出现了不平衡，需要做平衡化处理。

设新插入的节点为p,从节点p到根节点的路径上，每个节点为根的子树的高度都可能增加1,因此在每执行一次二叉搜索树的插入运算后，都需要从新插入的节点p开始，沿该节点的插入路径向根节点方向回溯，修改各节点的平衡因子，调整子树的高度，恢复被破换的平衡性质。

新节点p的平衡因子为0。现在考察它的父节点pr,若p是pr的右子女，则pr的平衡因子增加1,否则pr的平衡因子减少1,按照修改后pr的平衡因子值有三种情况：

1、节点pr的平衡因子为0,说明刚才是在pr的较矮的子树上插入了新节点，节点

pr处平衡，且高度没有增减，此时从pr到根的路径上各节点为根的子树高度

不变，从而各各节点的平衡因子不变，可以结束重新平衡化的处理，返回主程

序。

2、节点pr的平衡因子绝对值bf=1，说明插入前pr的平衡因子是0,插入新节点后，

以pr为根的子树没有失去平衡，不需要平衡化旋转，但该子树的高度增加，还

需从节点pr向根的方向回溯，继续考察节点pr的父节点的平衡状态。

3、节点pr的平衡因子的绝对值bf=2，说明新节点在较高的子树上插入，造成了

不平很，需要做平衡化旋转，分两种情况考虑：

3.1 若节点pr的bf=2，说明右子树高，结合其右子女q的bf分别处理:

1\若q的bf=1，执行左单旋转；

2\若q的bf=-1, 执行先右后左双旋转

3.2 若节点pr的bf=-2，说明左子树高,结合其左子女q的bf分别处理：

1\若q的bf=-1，执行右单旋转；

2\若q的bf= 1, 执行先左后右双旋转

A VL树的删除

若删除节点后破坏了A VL树的平衡，则需要进行平衡旋转

1、如果被删除节点p有两个子女节点，首先搜索p在中序下的直接前驱q（也可

以是直接后继）,再把节点q的内容传送给节点p,问题转移到删除节点q，把节

点q当做被删除节点p，它是只有一个子女的节点。

2、如果被删除节点p最多只有一个子女q，可以简单的把p的父节点pr中原来指

向的指针该指到q,如果节点p没有子女，p父节点pr的相应指针为NULL，然

后将原来的节点pr为根的子树的高度减1,并沿pr通向根的路径反向追踪高度

的这一变化对路径上各节点的影响；

考察节点q的父节点pr，若q是pr的左子女,则pr的平衡因子增加1,否则减少1,根据修改后的pr的平衡因子,按三种情况分别进行处理：

(1)pr的平衡因子原来为0,在它的左子树或右子树被缩短后，则它的平衡因子改为

1或-1,由于以pr为根的子树高度没有改变，从pr到根节点的路径上所有节点

都不需要调整，此时可结束本次删除的重新平衡过程。

(2)节点pr的平衡因子原不为0，且较高的子树被缩短，则p的平衡因子改为0，

此时pr为根的子树平衡，但其高度减1,为此需要继续考察节点pr的父节点的

平衡状态，

(3)节点pr的平衡因子原不为0，且较矮的子树被缩短，则在节点pr发生不平衡，

为此需要进行平衡化德旋转来恢复平衡，令pr的较高的子树的根为q（该子树未被缩短）,根据q的平衡因子，有3中平衡化操作

1、如果q的平衡因子为0,执行一个单旋转来恢复节点pr的平衡，由于平衡

旋转后以q为根的子树的高度没有发生改变，从q到跟的路径上所有结点的平衡因子不变，此时可以结束重新平衡过程。

2、如果q的平衡因子与pr的平衡因子正负号相同，则执行一个单旋转来恢

复平衡，节点pr和q的平衡因子均改为0，由于经过平衡旋转后节点q的子树高度降低1,故需要继续延插入路劲上考查节点q的父节点的平衡状态，即将当前考查节点向跟节点方向上移。

3、如果pr与q的平衡因子正负号相反，则执行一个双旋转来恢复平衡。新

的根节点的平衡因子置为0，其他节点的平衡因子相应处理，同时由于经过平衡化处理后子树的高度降低1，还需要考查它的父节点，继续向上层进行平衡化工作。