2005年考研数学二真题解析

2005年考研数学二真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设x

x y )sin 1(+=，则π

=x dy

= dx π- .

【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.

【详解】 方法一： x

x y )sin 1(+==)

sin 1ln(x x e +，于是

]s i n 1c o s )s i n 1[l n ()

s i n 1l n (x

x

x x e y x x +⋅

++⋅='+，

从而 π

=x dy

=.)(dx dx y ππ-='

方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得

x

x

x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x

x

x x x y x

+⋅++⋅+='，故

π

=x dy

=.)(dx dx y ππ-='

（2） 曲线x

x y 2

3)

1(+=

的斜渐近线方程为2

3+

=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)

1(lim )(lim

2

3=+=+∞→+∞

→x

x x x x f x x []2

3)1(lim

)(lim 2

32

3

=

-+=-=+∞

→+∞

→x

x

x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.2

3+=x y （3）

=--⎰1

2

2

1)2(x x

xdx

4

π . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则

=--⎰1

2

2

1)2(x x

xdx

⎰-2

2

cos )sin 2(cos sin π

dt t

t t

t =.4

)arctan(cos cos 1cos 2

020

2π

π

π

=

-=+-⎰t t

t

d

（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.9

1ln 31x x x y -=

. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：

⎰

+⎰⎰

=-])([)()(C dx e x Q e y dx

x P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】 原方程等价为

x y x

y ln 2

=+

'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=

+⎰⋅⎰=-

]ln [1]ln [2

22

2

C xdx x x

C dx e

x e

y dx

x dx

x =

21

91ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.9

1

ln 31x x x y -=

（5）当0→x 时，2

)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则

k=

4

3 . 【分析】 题设相当于已知1)

()

(lim

0=→x x x αβ，由此确定k 即可.

【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(lim

kx

x

x x x x x x -+=→→αβ =)

cos arcsin 1(cos 1arcsin lim

20

x x x kx x x x x ++-+→

=

k 21143cos 1arcsin lim 2

0==-+→k x x x x x ，得.43=k

（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵

),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .

【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】 由题设，有

)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B

=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .2219

4132

11

11=⨯=⋅=A B

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数n n

n x

x f 31lim )(+=∞

→，则f(x)在),(+∞-∞内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1

→n n

n x

x f ；

当1=x 时，111lim )(=+=∞

→n n x f ；

当1>x 时，.)11(

lim )(3

133

x x

x x f n

n

n =+=∞

→

即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩

⎪

⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示

“M 的充分必要条件是N ”，则必有

(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰

+=

x

C dt t f x F 0

)()(，且).()(x f x F ='

当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰

x

dt t f 0

)(为偶函

数，从而⎰

+=

x

C dt t f x F 0

)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.

方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2

2

1x , 排除(D); 故应选(A).