高等数学上：1-1 函数与映射

Rf , 或f(X), 即
Rf f(X){f(x)|xX}.
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二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY,
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❖邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).
设>0, 则称 U(a, )(a-, a){x| |x-a|<}
为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半
径.
❖去心邻域 。
U(a, ){x|0<|x-a|<}.
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二、映射
1.映射的概念
❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使
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❖集合的表示 •列举法
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
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§1.1 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、集合
1.集合 ❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. ❖元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
(AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
提示:
如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本
集.
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❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA,
ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC),
(AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC),
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❖几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.
❖子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子
集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB.
(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.
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二、映射
1.映射的概念
❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
说明:
Rf 是在R的几一何个上真, 这子个集映. 射表示将平面上一个圆心在原点 的单位对圆于周Rf中上的的元点素投y影, 除到yx轴0外的,区它间的[原-1像, 1不]上是. 唯一的. 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2.
得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与
之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY.
• y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x),
•元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;
•集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX. •X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为
显然, NZ, ZQ, QR.
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
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3.区间和邻域 ❖无限区间
[a, ){ x|ax}, (-, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x}, (-, b){ x|x<b}, (-, ){ x| |x|<}.
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f : XY. •需要注意的问题
(2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定RfY .
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
的集合, RR常记作R2.
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3.区间和邻域 ❖有限区间
数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}.
[a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间.