小学四年级数学创新思维竞赛试题一及答案

小学四年级数学创新思维竞赛试题

一、高斯求和

1+ 2+ 3 + 4 + 5…… +50，这一串数中，每两个相邻数的差都相等。这样的一串数，我们称它为等差数列。等差数列求和可用下面的公式表示：和=（首项+末项）×项数÷2

例1 计算：1+2+3+4+…1998+1999

分析这是一个等差数列，首项=1，末项=1999项数=19999。

解原式=（1+1999）×1999 ÷2

=2000 × 1999 ÷2

=1999000

例2 计算：5+8+11+ … +254+257

分析这个数列的首项=5，末项=257，公差=3，先求出项数，再求出这个等差数列的和。

解项数=（257-5）÷ 3+1=85

原式=（5+257）×85 ÷2 =262 × 85 ÷2=11135

试一试：1+2+3+4+5+ …+2000

计算：1+2 +3 + 4 …+77+78

1+3 + 5 + … +97 + 99

4 + 8 + 12 + …+ 96

3 + 10 + 17 +…+101

15 + 21 + 27 +…＋1011 + 1017

2．有数组：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），……（100，101，102）这100组中的300个数之和是。

3．9个数的平均数是15，其中三个数的平均数是11，其余6个数平均数是。

4．马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑，白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子，穿一双鞋，问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？

5．某数加7，减8，乘以9，除以10，等于90，这个数是。

6．下面字母代表什么数时，算式成立。

7．将1—6这个数分别填入下图中的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等。

8．一个长方形纸片，用剪刀剪掉一角后，剩下的部分有个角。

9．图中共有个三角形。

10．一幢高楼，小明从一层爬到四层共爬了36级台阶，那么他从一层爬到十层共爬级台阶。

11．一个三位数的各个数位数之和为25，这样的三位数共有个。

12．有一串数字9213……，从第3个数字起，每个数字都是它前面2个数字的和的个位数字。问第100个数字是。

13．△，○，□代表3个数，并且

△+△=□+□+□

□+□+□=○+○+○+○

△+□+○+○=400

求△，□，○各代表的数。△= ，□= ，○= ，

14．甲、乙两人中一人总说谎话，一人总说实话，一天，甲说：“我把20粒糖分给了6个小朋友，每人至少1粒，且每个小朋友得到的糖粒数各不相。”甲、乙两人说实话的是，说谎话的是。

15．把字母换成数字，使竖式成立。

A= ，B= ，C= ，D= ，F=

16．游泳池里男生的人数比女生的4倍少8人，比女生的3倍多24人，那么男生有人。

17．小红在计算两个数的和时，把其中一个加数个位上的

0漏掉了，结果算出的和是81，已知这两个数的和应为135，那么它们的差大减小是。

18．数一数，下图中共有个三角形。

19．在数列：1，2，3，4，3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10……问第1002个数是。

20．有10个盒子和54个玻璃球，能不能把54个玻璃球装到10个盒子里，每个盒子里都至少装有一个玻璃球，且使每个盒子里装的玻璃数不相等？如果能，请写出装球的方案，如果不能，说明理由。09春季班四年级数学思维训练) 标签：四年级竞赛校园分类：竞赛题

（每小题5分）

1、有一只一小时快10分钟的表，这个表8点时对好了，当这个表11点30分的时候，正确的表应是（）点钟。

2、在一张长方形的纸面上画4条直线，最多能把这张纸分成（）部分。

3、某数加上5，然后再乘以4的题，错算成某数先乘以5，然后再加上4得34。正确的答案应该是（）。

4、甲、乙、丙三人练习投篮，共投进了150次，有64次没投进。已知甲和乙一

共投进46次，乙和丙一共投进70次。乙投进了（）次。

5、王叔叔从小卖店买来了一箱啤酒，有24瓶。小卖店规定：喝完酒后，每三个空瓶可以换回一瓶啤酒。他一共可以喝（）瓶啤酒。

6、甲、乙两人共有30元钱，甲给乙5元后，甲比乙还多2元钱。那甲原来有（）元钱。

7、把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9写成两个多位数，使这两个多位数的差最小。这个最小的差是（）。

8、小明在玩“苹果人”游戏，游戏提供了三张不同的脸，4个不同的身体，2双不同的脚。问小明一共可以组成（）个不同的“苹果人”。

9、果园里有桃数和杏数一共500棵，桃数的棵数比杏数的2倍少116棵。桃数有（）棵。

10、表兄弟二人，哥哥和弟弟的年龄分别是30岁和12岁，（）年后哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍。

11、有一个周长是88厘米的长方形，它是由三个正方形拼成的。求这个长方形的面积是（）平方米。

12、四年级一班有50名学生。在数学考试中，成绩排前十名的同学平均分比全班平均分高8分，其余同学的平均分比全班平均分低（）分。

13、以知甲、乙丙、丁四个数的和是96，并且甲+3=乙－3=丙×3=丁÷3，那么丁=（）

14、一个电影院的第一排有25个座位，以后每排都比前一排多2个座位，最后一排有75个座位。这个电影院一共有（）个座位。

15、一艘船从甲地到乙地，去时每小时行15千米，回来时每小时行10千米。求这艘船往返的平均速度是（）千米。

16、甲、乙两辆汽车同时从同一地到另一地，甲的速度是每小时50千米，乙的速度是每小时75千米，结果甲比乙晚到2小时。这两地间的距离是（）千米。

17、两根同样长的铁丝，第一根剪去10厘米。第二根剪去26厘米。余下的铁丝，第一根是第二根的5倍。原来每根铁丝长（）厘米。

18、同学们乘大、中型两种车去春游，大型车每辆可坐65人，中型车每辆可坐26人。现有学生和教师共338人，要使每人都有一个座

位，并且车上没有空余座位，大型车需要（）辆，中型车需要（）辆。

19、某钢铁基地有甲、乙两座矿山及单位：千元／万吨

A、B、C、三个炼铁厂。甲矿山有矿

石65万吨，乙矿山有矿石45万吨，

这些铁矿石要分别运往A、B、C、

三个工厂。三个工厂的矿石需要量

分别为50万吨，30万吨及80万吨。

运费如右表：

最省的运费是（）千元。

20、甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同。一列火车从甲身边驶过用了8秒钟，火车遇到甲20秒钟后又遇到乙，从乙身边驶过用了7秒钟。那么从火车遇到乙开始，再过（）秒钟甲、乙两人相遇。

小学四年级奥数试卷姓名得分

1,654321×909090+654321×9090920

2,已知大正方形比小正方形边长多4多厘米,大正方形比小正方形大96平方厘米,求大正方形,小正方形的面积各多大

大正方形的面积平方厘米,小正方形的面积平方厘米.

3,甲仓库存粮108吨,乙仓库存粮140吨,要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍,必须从乙仓库运出吨放入甲仓库.

4,立新小学举行运动会,参加赛跑的人数是参加跳远的4倍,比参加跳远的多66人,参加赛跑的有人,参加跳远的有人.

5,鸡兔同笼,共100个头,320只脚,那么,鸡有只,兔有只.

6,小明今年2岁,妈妈26岁,那么, 年后妈妈的年龄是小明的3倍.

7,警方查询了三个可疑的人,这三个人中有一个是小偷,讲的全是假话.有一个人是从犯,说起话来真真假假,还有一个人是好人,句句话都是真的,查询中问及三个人的职业,回答是:

甲:我是推销员,乙是司机,丙是美工设计师.

乙:我是医师,丙是百货公司的业务员,甲呀,你要问他,他肯定说是推销员.

丙:我是百货公司的业务员,甲是美工设计师,乙是司机.

请问这三个人中说假话的小偷是.

8,小张,小王和小李练习投篮球,一共投了100次,有43次没投进,已知小张和小王一共投进了32次,小王和小李一共投进了46次,小王投进了次.

9,有不同的语文书5本,数学书6本,英语书3本,自然书2本.从中任取一本,共有种取法.

10,学雷锋小组为学校搬砖,如果每人搬18块,还剩2块;如果每人搬20块,就有一位同学没砖可搬.共有块砖.

11,甲乙两港相距360千米,一轮船往返两港需要35小时,逆流航行比顺流航行多花了5小时,现有一机帆船,速度每小时12千米.这只机帆船往返两港要多少小时12,某列车通过342米的遂道用了23秒,接着通过234米的遂道用了17秒,这列火车与另一列长88米,速度为每秒22米的列车错车而过,问需要几秒

1．1993年的元旦是星期五，请你算一算，1997年的元旦是星期几？2000年的元旦是星期几？

答: 星期三、星期六

2．某年的10月有5的星期六，4个星期日，问这一年的十月一日是星期几？答: 星期一

3．

第一列第二列第三列第四列第五列

614......27101518 38111619 49121720 (51321)

问：（1）300排在第几列？（2）1000排在第几列？

答: 第四列、第三列

4．用5÷14，商的小数点后面第1997位上数字是几？

答: 4

5．1÷7的商小数点后面2001个数字之和是多少？

答:2001÷6=333……3,(1+4+2+8+5+7)×333+1+4+2=8998

6．数列1，3，4，7，11，18……，从第三项开始，每项均为它前面相邻两项之和，数列中第2001个数被4除余几？

答: 0

7、将1----100的自然数按下面的顺序排列：

答：正方形里的9个数和是90，能否照这样框出9个数，使它们的和分别是170、216、630？

分析与解答：首先先观察9个数的特点。上下两个数的平均数是10，左右两个数的平均数也是10，对角线的平均数还是10。说明10是这九个数的平均数，它们的和就是90。从这里可以看出，用3×3的正方形框出来的9个数的和一定是9的倍数。170不是9的倍数，所以不可能和是170。225和630都是9的倍数，是不是这两个数都可以呢？可以发现，排在最左边一列和最右边一列上的数，不能做这9个数的平均数，因为画不出正方形。216和630÷9分别等于24和70，这两个数分别在哪一列呢？8个一循环，24÷8=3，正好在最右边一列，所以画不出来。而70÷8=8……6，余数是6，排在第6列，所以能画出来。

8、有一个数列：

1，2，3，5，8，13，……。（从第3个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的和）

求第1993个数被6除余几？（这道题需要你耐心解答呦）

分析：如果能知道第1993个数是哪个数，问题很容易解决。可是要做到这一点不容易。由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被6除，余数构成的数列，问题也可以得到解决。

解：根据“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a除的余数，等于各个加数被a除的余数的和再被a除的余数”。得到数列各项被6除，余数组成的数列是：

1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，……。

观察规律，发现到第25项以后又重复出现前24项。呈现周期性变化规律。一个周期内排有24个数。（余数数列的前24项）

1993÷24＝83……1。

第1993个数是第84个周期的第1个数。因此被6除是余1。

提高班练习

1．1993年的元旦是星期五，请你算一算，1997年的元旦是星期几？2000年的元旦是星期几？

答: 星期三、星期六

2．某年的10月有5的星期六，4个星期日，问这一年的十月一日是星期几？答: 星期一

3．

第一列第二列第三列第四列第五列

614......27101518 38111619 49121720 (51321)

问：（1）300排在第几列？（2）1000排在第几列？

答: 第四列、第三列

4．用5÷14，商的小数点后面第1997位上数字是几？

答: 4

5．1÷7的商小数点后面2001个数字之和是多少？

答:2001÷6=333……3,(1+4+2+8+5+7)×333+1+4+2=8998

6．数列1，3，4，7，11，18……，从第三项开始，每项均为它前面相邻两项之和，数列中第2001个数被4除余几？

答: 0

7、将1----100的自然数按下面的顺序排列：

答：正方形里的9个数和是90，能否照这样框出9个数，使它们的和分

别是170、216、630？

分析与解答：首先先观察9个数的特点。上下两个数的平均数是10，左

右两个数的平均数也是10，对角线的平均数还是10。说明10是这九个数的平均数，它们的和就是90。从这里可以看出，用3×3的正方形框出来

的9个数的和一定是9的倍数。170不是9的倍数，所以不可能和是170。

225和630都是9的倍数，是不是这两个数都可以呢？可以发现，排在最左边一列和最右边一列上的数，不能做这9个数的平均数，因为画不出正

方形。216和630÷9分别等于24和70，这两个数分别在哪一列呢？8个一循环，24÷8=3，正好在最右边一列，所以画不出来。而70÷8=8……6，

余数是6，排在第6列，所以能画出来。

8、有一个数列：

1，2，3，5，8，13，……。（从第3个数起，每个数恰好等于它前面相

邻两个数的和）

求第1993个数被6除余几？（这道题需要你耐心解答呦）分析：如果能知道第1993个数是哪个数，问题很容易解决。可是要做到

这一点不容易。由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被6

除，余数构成的数列，问题也可以得到解决。

解：根据“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a除的余数，等于各个加数被a除的余数的和再被a除的余数”。得到数列各项被6除，余

数组成的数列是：

1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，

5，1，0，1，1，2，3，5，……。

观察规律，发现到第25项以后又重复出现前24项。呈现周期性变化规律。一个周期内排有24个数。（余数数列的前24项）

1993÷24＝83……1。

第1993个数是第84个周期的第1个数。因此被6除是余1。第7讲找

规律（一）

我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。

什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季

过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是

冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，

0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。

下面，我们通过一些例题作进一步讲解。

例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问：

（1）第100盏灯是什么颜色？

（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？

分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12

盏灯一个周期循环出现。

（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。

（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。

例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？

分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同。

同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。

也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是

25-（3+6+7）=9。

这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。

例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？

628088640448…

分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：

当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。

从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。

例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？

135761939237134…

分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3

的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到

奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……

可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。

例5A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2

个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？

分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：

可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。

（100-1）÷4＝24……3，

所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5个球。

3．四年级上学期奥数班测试题

1、某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。问宿舍有多少间？学生有多少人？（10分）

2、小明今年10岁，父亲38岁，再过多少年后父亲的年龄正好是小明年龄的3倍？（12分）

3、修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人这样剩下的部分再用多少天可以完成？（14分）

4、妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。问

妈妈、女儿今年各是多少岁？（12分）

5、用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面，余7米；如果把绳子5折垂

到水面，余1米。求绳长与井深。（12分）

6、修一条路，5人6天可以铺300米，照这样的速度，120人40天才能全部

修完。由于工作需要，调走了20人，而每天每人要多铺5米，这样全程可提前几天修完？（14分）

7、小红家买来一篮橘子，分给全家人。如果其中两人每人分3只，其余每人分2只，就多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺14只。问：小红家买来多少只橘子？小红家共有几人？（14分）

8、有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙队人数的2倍。从甲队调出10人到乙队后，甲队仍比乙队多5人。甲队原有多少人？（提示：画线段图分析）（12分）

4．四年级数学竞赛测试

一填空

①按规律填数：

25,19,21,17,17,15,13,13,( ),( )

②计算：

100－98＋96－94＋92－90＋……＋8－6＋4－2=( )

③把大小一样的三个正方形拼成一个长方形后，长方形的周长比原来三个正叫蔚闹艹ぶ图跎倭?0厘米，原来每个正方形的面积应是( )平方厘米。

④在○中填上同一个数，使等式成立。

○＋○－○×○÷○=17

⑤小刚今年6岁，爸爸今年年龄是他的5倍，( )年后，爸爸的年龄是小刚年龄的3倍。

⑥减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是( )

⑦两人见面都要握手一次，照这样规定6人见面共互相握手( )次。

⑧一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有73个座位，这个电影院共有( )排座位。

⑨规定a$b=(a+b)÷2，那么1998$2000=( )

⑩用4,5,6这三个数字，可以组成( )个没重复数字的三位数。

二应用题(列式解答)

①小兰的三门功课，平均成绩是93分，如果不算数学成绩，两门功课的平均成绩比三门功课的平均成绩要降低1分，小兰的数学成绩是多少分

②小马有1角、5角硬币共35枚，一共是9元5角，问两种硬币各多少枚

③一个数加上2，减去3，乘以4，除以5得12，问这个数是几？

④四年级参加植树活动，如果每班种10棵，还剩6棵树苗，如果剩下的每班再种2棵，就少4棵树苗。四年级一共要植树多少棵？

⑤弟弟以每小时6千米的速度从家里出发步行去公园，2小时后，哥哥离开家以每小时18千米的速度骑车去追赶弟弟。问多长时间后能追上弟弟？

5．合理分类正确解题（四年级）

在数学问题中有一类被称作“数字问题”的题目，与同学们在书本上学到的一些数学问题相比，似乎“不太规则”，有的数学课外参考书称它为“杂类问题”。解答这类题目要求同学们要认真审题，悉心研究题意，关键是做到合理分类，这样才能正确解题。

例1 在1～1999内，是3的倍数，不是5的倍数的数一共有多少个？为什么？

[分析与解]这道题要求3的倍数有多少个，但有两个条件限制：（1）规定在1～1999内；（2）只是3的倍数，但不是5的倍数。比如：3×5=15，15是3的倍数，但它同时又是5的倍数，不符合题目要求，所以在1999内，15以及15的倍数都不能算进去。这样在1～1999内就把3的倍数分为两类：一类是3的所有倍数；一类是15以及15的倍数。然后从3的所有倍数的个数中减去15以及15的倍数的个数，即为题目所求的问题。有三种解法：

解法（一）在1～1999内3的倍数共有：1999÷3=666……1。余1，不到3的1倍，可以不考虑。在1～1999内15的倍数共有：1999÷15=133……4。余4，不到15的1倍，也不考虑。两者相减，便是所求的问题：666-133=533（个）。

解法（二）在1～1999内3的倍数共有666个，那么，666中又包含多少个5的倍数呢？666÷5=133……1。余1，比5小，可以不考虑。两者相减，便是所求的问题：666-133=533（个）。

解法（三）把数字分段来考虑：比如在1～30中，3的倍数有10个，但要去掉同时能被3、5整除的数2个，还剩10-2=8（个）。1999÷30=66……19。余数19，19÷3=6……1。余数1比3小，不考虑，但要注意，在最后的6个3的倍数中，有一个是5的倍数（1995），应去掉。每段8个，共有：8×66+（6-1）=533（个）。

例2 43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片。问所买的3分画片的总数是多少张？

[分析与解]先来分析一下题目的要求：

（1）从8分到5角就是以“分”为单位，从8到50的43个连续自然数，这

正好与43个同学一一对应。

（2）每个同学都把身上带的全部钱各自买画片，就是每人都不许有余钱。

（3）每人既要把钱花光，又要尽量多买5分一张的画片。

我们把钱数是5的倍数（0、15、20、25、30、35、40、45、50）的九个人分为一类。他们不能买3分一张的画片。

钱数被5除余3分（8、13、18、23、28、33、38、43、48）的九个人分为另一类。他们可以买1张3分的画片，9人共买9张。

钱数被5除余1分（11、16、21、26、31、36、41、46）的八个人分为第三类。因为他们身上所余的钱数不是3的倍数，只好退下一个5分与余数1分合成6分，这样每人可以买2张3分画片，8人共买：2×8=16（张）。

用同样的方法，把钱数被5除余2分的8个人再分为一类，每人可买3分画片4张，共买：4×8=32（张）。

把钱数被5除余4分的9个人也分为一类，他们每人可买3分画片3张，共买：3×9=27（张）。

因此，他们所买3分画片的总数共是：

9+16+32+27=84（张）。

追及问题

51.甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若乙比甲先跑2秒钟，则甲跑4秒钟能追上乙。问：两人每秒钟各跑多少米？

52.甲、乙两地相距600千米，一列客车和一列货车同时由甲地开往乙地，客车比货车早到2.5小时，客车到达乙地时货车行驶了全程的4/5。问：货车行驶全程需要多少时间？

53.两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以每小时9千米的速度由仓库开往农场，30分钟后，第二辆以每小时12千米的速度由仓库开往农场。问：（1）第二辆追上第一辆的地点距仓库多远？

（2）如果第二辆比第一辆早到农场20分钟，仓库到农场的路程有多远？

54.甲、乙二人绕周长为1200米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的1.2倍。现在甲在乙的后面400米，问：乙追上甲还需多少时间？

55.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明。求小强骑自行车的速度。

56.甲、乙两匹马相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后。如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：何时两马相距70米？

57.一种导弹以音速（每秒330米）前进，已知两架飞机相距1500米同向飞行，前面一架飞机的速度是每秒210米，后面一架飞机的速度是每秒180米。当后面的飞机发出导弹时，多长时间可以击中前面一架飞机？

58.甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发龇⑹奔自谝液竺妫龇⒑?分钟甲第一次超过乙，22分钟时甲第二次超过乙。假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面多少米？

59.学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。甲、乙两人早

晨6点一起从学校出发，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，丙上午8点才从学校出发，下午6点甲、丙同时到达军训驻地。问：丙在何时追上乙？

60.小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？

61.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地，两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员。问：甲乙两地相距多远？

*62.自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。求自行车队和摩托车的速度。

*63.在上题中，如果将自行车队出发12分钟后通信员去追他们改为出发10分钟后，其它条件不变，那么，自行车队出发多长时间后，通信员第二次追上他们？

64.快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。已知快、慢车的时速分别为24和19千米，求中速车的速度。

69.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？

70.甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙。那么，甲出发后多长时间追上乙？

71.小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追他，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分钟到达学校，这时爸爸也刚好到家。已知爸爸的速度是小马虎速度的4倍，问：小马虎从家到学校共用多少时间？

72.乌龟和小白兔赛跑，比赛场地从起点到插小红旗处为104米。比赛规定，小白兔从起点出发跑到小红旗处马上返回，跑到起点再返回，…，已知小白兔每秒跑10.2米，乌龟每秒跑0.2米，如果从起点出发算它们第一次相遇，问：（1）出发后多长时间它们第二次相遇？

（2）第三次相遇距起点多远？

（3）从第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了多远？

（4）龟乌爬到50米时，它们共相遇了几次？

73.两名游泳运动员在长为50米的游泳池里游泳，他们的速度分别为每秒0.8米和0.6米。他们同时分别从游泳池的两端出发，来回游了5分钟，如果不计转向的时间，那么他们在这段时间内共相遇了几次？（包括超过的次数）

74.游船顺流而下每小时前进7千米，逆流而上每小时前进5千米。两条游船同时从同一地点出发，一条顺流而下然后返回，一条逆流而上然后返回，结果1小时后它们同时回到出发点。如果忽略游船调头的时间不计，在1小时内两条游船有多长时间前进的方向相同？是顺流还是逆流？

75.甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为每秒1.0米和0.8米，问：

（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？

（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？

*（3）在比赛过程中，两人同方向游了多长时间？

*76.A、B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B 地出发不停顿地往返于A、B两地之间。他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次超过甲。问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？

77.甲、乙、内三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去。已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度。

78.小明在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是每秒2米，这时从他后面开过来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了21秒，已知火车全长336米，求火车的速度。

79.铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆汽车正以每小时40千米的速度行驶，这时，一列长375米的火车以每小时67千米的速度从后面开过来，问：火车从车头到车尾经过汽车身旁需要多少时间？

80.铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以每小时20千米的速度行驶，这时，一列火车以每小时56千米的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒钟，求火车的全长。

81.骑车人以每分钟300米的速度沿公共汽车路线前进，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，它的速度为每分钟700米，并且每行3分钟到达一站停车1分钟。问：公共汽车多长时间追上骑车人？

82.甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每小时行5千米，而乙第一小时行1千米，第二小时行2千米，以后每行1小时都比前1小时多行1千米。问：经过多长时间乙追上甲？

*83.甲、乙二人赛汽车，第一分钟甲的速度是每秒6.6米，乙的速度是每秒2.9米，以后，甲每分钟的速度都是自己前一分钟速度的2倍，乙每分钟的速度都是自己前一分钟速度的3倍。问：出发后多长时间乙追上甲？

相遇问题

26.甲、乙两人在400米环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，两人第一次和第二次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑6米，问：乙每秒跑多少米？

27.一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米。问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？

28.一列客车和一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后两车相距342千米，求两车的速度。

29.一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18小时两车在某处相遇，已知客车每小时行50千米，货车每小时比客车少行8千米，货车每行驶3小时要停驶1小时。问：两地之间的铁路长多少千米？

30.已知甲、乙两车站相距470千米，一列火车于中午1时从甲站出发，每小时行52千米，另一列火车于下午2时30分从乙站开出，下午6时两车相遇。问：从乙站开出的火车的速度是多少？

31.一辆卡车和一辆大客车从相距320千米的两地相向而行，已知卡车每小时行45千米，大客车每小时行40千米，如果卡车上午8时开出，问：大客车何时开出两车才能在中午12时相遇？

32.甲、乙两辆车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。

33.甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟。问：甲、乙的速度各是多少？

34.甲、乙两车从相距330千米的两地同时相向而行，三小时后相遇，已知甲车速度是乙车速度的1.2倍，求两车的速度。

35.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离。

36.甲、乙两车同时从两地相向而行，2.5小时后相遇。已知甲车速度是乙车速度的四分之三，相遇时乙车比甲车多走40千米，求两车的速度。

37.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？

38.甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需48分钟，出发后30分钟两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间？

39.小王和小李同时从两地相向而行，小王走完全程要60分钟，小李走完全程要40分钟。出发后5分钟，小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了5分钟，小李再出发后多长时间两人相遇？

40.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。

41.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。

42.湖中有A、B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从

A、B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。问：两岛相距多远？

43.甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行。若甲先出发2小时，则在乙动身2.5小时后两人相遇；若乙先出发2小时，则甲动身3小时后两人相遇。求甲、乙二人的速度。

44.客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时。两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。

45.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要8小时，比快车从乙地到甲地所需时间多1/3。如果两车同时开出，相遇时快车比慢车多行48千米，求甲、乙两地的距离。

46.两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用13秒钟，求乙车全长多少米。

47.小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是每秒2米，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。

48.铁路线旁有一沿铁路方向的公路，在公路上行驶的一辆拖拉机司机看见迎面驶来的一列火车从车头到车尾经过他身旁共用了15秒。已知火车车速为每小时60千米，全长345米，求拖拉机的速度。

49.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？

50.某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。问：该列车与另一列长320米、时速64.8千米的列车错车而过需要几秒？

相遇和追及（一）

在行程问题中，有时要讨论两个或几个运动物体（人、车、船等）行进的关系，当它们在同一段路两个不同的地点相向而行时，如果同时到达一个地点，通常叫做相遇；当它们同向而行时，如果后面的行进速度比前面快，后面的与前面的同时到达同一地点，通常叫做追及。

例1：小明上午8时骑自行车以每小时12千米的速度从A地到B地，小强上午8时40分骑自行车以每小时16千米的速度从B地到A地，两人在A、B两地的中点处相遇，A、B两地间的路程是多少千米？

解：这是一个相向而行相遇求路程的问题。但两人不是同时出发，如果能转换成同时出发，并且求出行多少小时相遇，就可以用数学课学的方法解答。

两人在两地间的路程的中点相遇，但小明比小强多行了40分钟，如果两人同时出发，相遇时，小明行的路程就比小强少12÷60×40=8（千米），就是当小强出发时，小明已经行了8千米，从8时40分起两人到两人相遇，由于小明每小时比小强少行16－12=4（千米），说明两人相遇时间是8÷4=2（小时），那么，A、B两地间的路程是8＋（12＋16）×2=64（千米）。

答：A、B两地间的路程是64千米。

例2：甲、乙两村相距3550米，小伟从甲村步行往乙村，出发5分钟后，小强骑自行车从乙村前往甲村，经过10分钟遇见小伟。小强骑车每分钟行的比小伟步行每分钟多160米，小伟每分钟走多少米？

解：如果小强每分钟少行160米，他行的速度就和小伟步行的速度相同，这样小强10分钟就少行了160×10=1600（米），小伟（5＋10）分钟和小强10分钟一共行走的路程是3550－1600=1950（米），那么小伟每分钟走的路是1950÷（5＋10＋10）=78（米）。

答：小伟每分钟走78米。

例3：客车从东城和货车从西城同时开出，相向而行，客车每小时行44千米，

货车每小时行36千米，客车到西城比货车到东城早2小时。两车开出后多少小时在途中相遇？

解：当客车到西城时，货车离东城还有2×36=72（千米），而货车每小时行的比客车少44－36=8（千米），客车行东西城间的路程用的时间是72÷8=9（小时），因此东西城相距44×9=396（千米），两车从出发到相遇用的时间是；396÷（44＋36）=4.95（小时）

答：两车开出后4.95小时在途中相遇。

例4：甲、乙二人同一天从北京出发沿同一条路骑车往广州，甲每天行100千米，乙第一天行70千米，以后每天都比前一天多行3千米，直到追上甲，乙出发后第几天追上甲？

解：二人同时、同地出发同向而行，但开始时，乙比甲行得慢，当乙的速度增加到与甲相同前，两人间的距离越拉越大，当乙的速度超过甲时，两人间的距离又越来越近，直到乙追上甲。

开始时，乙一天行的比甲少100－70=30（千米），以后乙每天多行3千米，到与甲速相同要经过30÷3=10（天），即前10天，甲、乙之间的距离是逐天拉大的，第11天两人速度相同，从第12天起，乙的速度开始比甲快，与甲的距离逐天拉近，所以，乙追上甲用的时间是：10×2＋1=21（天）。

答：乙出发后第21天追上甲。

例5：甲、乙两地相距10千米，快、慢两车都从甲地开往乙地，快车开出时，慢车已行了1.5千米，当快车到达乙地时，慢车距乙地还有1千米，那么快车在距乙地多少千米处追上慢车？

解：慢车行了1.5千米，快车才开出，而快车到达乙地时，慢车距乙地还有1千米，就是在快车行10千米的时间里，比慢车多行的路程为1.5＋1=2.5（千米）。快车每行1千米比慢车多2.5÷10=0.25（千米）。

而快车开出时，慢车已经行了1.5千米，快车在追上慢车，就要在两车同时行的时间里比慢车多行1.5千米，这一时间快车要行1.5÷0.25=6（千米），这时快车距乙地10－6=4（千米）。

答：快车在距乙地4千米处追上慢车。

*例6：如下图所示，甲骑自行车从A出发，同时乙、丙从B出发，相背步行，甲每分钟行320米，乙、丙步行速度相同，乙走了1200米与甲相遇，此后甲又行了10分钟追上丙。A、B相距多少米？

解：乙走了1200米与甲相遇，丙的速度和乙相同，丙也走了1200米，就是这时甲在丙后面：1200＋1200=2400（米），甲用了10分钟追上丙，甲每分钟比丙多行：2400÷10=240（米），那么，乙和丙步行都是每分钟走320－240=80（米），乙和甲从出发到相遇所用的时间是：1200÷80=15（分），A、B相距的路程是（320＋80）×15=6000（米）。

答：A、B相距6000米。

应用练习

1．A、B两城相距60千米，甲、乙两人都骑自行车从A城同时出发往B城，甲的速度比乙每小时慢4千米，乙到达B城立即返回，在距B城12千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？

2．某工厂每天派小汽车于上午8时准时到总工程师家接他到工厂上班，有一天早晨总工程师临时决定提前回工厂办事，匆匆从家步行出发，途中遇到接他的小汽车，立即上车到工厂，结果比平时早40分钟到达。总工程师上车时是几时几分？

3．快、慢两列火车分别长150米和200米，相向行驶在两股平行的轨道上，如果坐在快车上的人见慢车驶过窗口的时间是8秒，那么，坐在慢车上的人见快车驶过窗口所用的时间是多少秒？

4．甲、乙两人分别从一个边长56米围墙的对角顶点（如图）同时出发绕围墙按同一方向跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒跑5米，经过多少秒钟甲第一次看见乙？

5．甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒，甲跑4秒钟就追上乙。甲、乙两人每秒钟各跑多少米？6．小巴（即小公共汽车）和轿车先后开车从A地至B地，轿车速度是小巴速

度的1.25倍。小巴要在两地的中点停10分钟，轿车中途不停车，轿车比小巴在A地晚出发11分钟，早7分钟到达B地，小巴上午9时开出。轿车超过小巴是几时几分？

*7．两地相距1800米，甲、乙两人同时从这两地出发，相向而走，甲比乙走得快，12分钟两人在A点相遇；如果两人每分钟都多走25米，那么两人在离A点33米处相遇。甲原来每分钟走多少米？

*8．小方和爸爸从家去公园，小方先步行出发，5分钟后，爸爸骑车出发，在距家600米处追上小方，这时想起没带相机，于是爸爸立即返回家拿相机，又立即回头追小方，再追上时距家1200米，小方每分钟走多少米？爸爸骑车每分钟行多少米？

课后练习

1．客车和货车同时从甲、乙两城开出，相向而行，3小时相遇，相遇后客车继续行驶2小时到达乙城，货车每小时行32千米，甲、乙两城相距多少千米？ 2．敌舰以每分钟800米的速度逃窜，我军鱼雷快艇在距敌舰1200处向敌舰发射鱼雷，鱼雷的速度是敌舰的3倍，发射后多少秒钟鱼雷击中敌舰？

3．小马虎步行去上学，他离家15分钟后，爸爸发现他忘记带笔盒了，急忙带上笔盒骑车去追他，把笔盒交给小马虎后立即返回，到家一看表，正好用了10分钟，爸爸骑车的速度是小马虎步行速度的几倍？

4．小聪和小敏分别从甲、乙两地同时出发，相向而走，按预定的速度行走，6小时相遇；如果两人各自都每小时多走0.8千米，可以提前1小时相遇。甲、乙两地相距多少千米？

5．甲、乙二人从相距36千米的两地出发，相向步行。如果甲先出发2小时，乙出发后2.5小时二人相遇；如果乙先出发2小时，甲出发后3小时二人相遇。甲、乙每小时各走多少千米？

假设法

假设法

在鸡兔同笼问题中，我们已经学习了如何运用假设法来解题，下面我们进一步探讨用假设法解答的其他问题。

例1：水果店卖出83千克苹果和65千克梨，一共卖得582.6元，每千克苹果的售价比每千克梨贵0.6元。每千克苹果和每千克梨的售价各是多少元？

解：假设每千克苹果的售价降低0.6元，这样卖得的钱就减少0.6×83=49.8（元），这时苹果和梨售价相同，即卖出的苹果和梨一共83＋65=148（千克），共售得582.6－49.8=532.8（元），每千克的售价是532.8÷148=3.6（元），这是每千克梨的售价。每千克苹果的售价是3.6＋0.6=4.2（元）。

答：每千克苹果的售价是4.2元，每千克梨的售价是3.6元。

例2：第一车间和第二车间做同一种零件，第一车间每人做60个，第二车间每人做70个，一共做了8440个这种零件。已知第一车间比第二车间多28人，两个车间一共有多少人？

解：假设第一车间减少28人，这样两个车间的人数同样多，第一车间减少28人，做的零件就减少28×60=1680（个），两车间一共做的零件就是8440－1680=6760（个）。

第一车间和第二车间各1人一共可以做零件的个数是60＋70=130（个）。那么，第一车间和第二车间各有6760÷130=52（人），加上假设第一车间减少的28人，两个车间一共有52×2＋28=132（人）。

答：两个车间一共有132人。

例3：甲村与乙村间要开挖一条长580米的水渠，甲村比乙村每天可以多挖2米，于是乙村先开工5天，然后甲村再动工与乙村一起挖，从开始到完成共用了35天，那么乙村每天挖多少米？

解：在35天中，甲村共开工30天，假设甲村每天少挖2米，这样就少挖2米，这样就少挖2×30=60（米），挖的米数为580－60=520（米），而甲村和乙村每天挖的米数相同，甲村和乙村开挖的天数相当于乙村开挖35＋30=65（天），乙村每天挖的米数是520÷65=8（米）。

答：乙村每天挖8米。

例4：小李和小张做同一种零件，小李每小时做的比小张少3个，小李做了9小时，小张做了7小时，小李做零件的总数比小张多3个。小李做了多少个零件？

解：假设小李只做了7小时，一共比小张少做零件3×7=21（个），实际小李做了9小时，多做了9－7=2（小时），这2小时不仅补足比小张少的21个，还比小张多了3个，小李每小时做零件（21＋3）÷2=12（个），一共做零件12×9=108（个）。

答：小李做了108个零件。

例5：在操场活动的男、女生一共有48人，后来，操场上的男生人数增加一倍半，女生增加了15人，这时在操场上活动的男、女生人数同样多，这时在操场活动的男、女生有多少人？

解：一倍半就是1.5倍，男生人数增加1.5倍，是原来男生人数1＋1.5=2.5倍，女生增加15人后与男生人数同样多，就是女生增加15人后，是原来男生人数的2.5倍，假设只是女生增加15人，而男生没有增加，这时操场上就共有48＋15=63（人），这个人数是原有男生人数的1＋2.5=3.5倍，原有男生63÷3.5=18（人），这时在操场活动的男、女生一共有18×2.5×2=90（人）。

答：这时在操场活动的男、女生一共有90人。

*例6：如右图，从A到B，步行走粗线道A→D→B需要35分钟，坐车行细线道A→C→D→E→B需要22.5分钟，D→E→B车行驶的距离是D至B步行距离的3倍，A→C→D车行驶的距离是A至D步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至D步行，再从D→E→B坐车共需要多少分钟？

解：假设A→C→D车行驶的距离也是A至D步行距离的3倍，那么A→C→D→E→B车行驶的距离是ADB的3倍，这样，车行驶用的时间是35×3÷6=17.5（分），比实际需要的22.5分钟少了：22.5－17.5=5（分），这是因为ACD车行驶的距离是A至D步行距离的5倍。

所以，A至D步行的时间为5÷（5－3）×6=15（分）；

D→E→B坐车需要的时间为（35－15）×3÷6=10（分）；