第七章 电力系统静态稳定 - 第五次作业
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d ( 1)0 dt EqU d 1 ( PT sin ) dt TJ xd
(7-7)
非线性状态 方程组
dX F ( X ) ，则： 状态方程的形式整理为： dt ( 1)0 x 1 f1 X F(X ) 1 EqU x ( P sin ) f T 2 2 21
线性化
d x1 dt d x2 d X dt dt d xn dt
dF ( X ) A dX X 0
f1 x 1 f 2 x 1 f n x1
d X AX dt
(7-6)
线性系统稳定或不稳定→非线性系统稳定或不稳定。
d ( 1)0 dt d 1 (P T P E) dt TJ
t 0 tt t 0 a点是静态稳定运行点 b点是静态不稳定运行点
图 7-2
5
7.1.2 简单系统的静态稳定判据
a点稳定，处于功角特性的上升沿，该点的斜率大 于0；b点不稳定，处于功角特性的下降沿，该点 的斜率小于0。 简单系统的稳定判据：运行点处功角特性的斜率 （导数）大于0，即： dPE 0 (7-2) 整步功率系数 S E
TJ
xd
0
PE
21
0
(7-12)
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定
——线性状态方程组
d 0 dt 矩阵形式： 1 dPE d T ( d ) 0 J dt
25
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定
——振荡频率与角频率 dPE 等幅振荡。 ) 0 0 时， 当( d
0 dPE 1,2 j ( ) TJ d 振荡角频率和振荡频率 f 分别为：
0
0 dPE ( ) TJ d
f 1Hz
sin
(7-1)
4
7.1.1 物理过程分析
——小扰动后功角变化曲线 EqU
P
b b b a 周期衰减振荡 转移到a点 b a a a a a
非周期失稳
a
PM
PE
b
xd
sin
P T P 0
a
a
图7-1 (b)
b
b PE
a a a 90 0 b b b 1800
0
i 0
xi (t )
非周期失稳，不稳定
i 0 i 0
0
t
单调衰减，稳定
0
0 不变，稳定不定
t t
15
0
0
特征值为复数时线性系统的稳定性
i ai ji
振荡角频率
xi (t ) 2ci e
ai t
cos i t
j
正实部共轭根
xi (t )
自发振荡，不稳定
——系统静态稳定的判据
系统静态稳定的判据： 整步功率系数 S E
q
与物理过程分 析得到的判据 一致
dPE 0 d
无励磁调节系统的情况下，简单系统必须运行在 SEq>0的状况下。SEq的大小可以说明系统静态稳定的程 度，即标志着小扰动下同步发电机维持同步运行的能力。 随着功角的逐步增大，SEq逐步变小，静态稳定的程度逐 步降低。当SEq=0时，则达到了稳定极限点。当SEq<0时， 同步发电机就没有能力维持同步运行，系统将失去静态 稳定 。
0
( 1)0 x 1 f1 X F(X ) 1 E U q x ( P sin ) f 2 21 T 2
d 0 dt 1 dPE d T ( d ) 0 dt J
E q
U G
U L
I
U
xd
xT
xL
不考虑发电机的励磁调节器作用——空载电势Eq恒定 不考虑原动机调速器的作用——发电机的机械功率PT恒定
Eq C
P T P 0
PE
EqU xd
sin
(7-1)
19
7.2.1小干扰法分析简单系统静态稳定
——发电机转子运动的状态方程组
作业4
26. 整步功率系数的定义及其与简单系统静态稳定 的关系？ 27. 静态稳定储备系数KP的概念，在电力系统实际 运行中对KP的具体要求。 28. 简单系统和电动机的静态稳定判据是什么？
9
7.2 小干扰方法分析简单系统静态稳 定
小干扰法的基本原理 线性系统的稳定性（补充） 7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定 例7-1 7.2.2 阻尼作用对静态稳定的影响
(7-14)
A I 0
2
0 dPE ( ) 0 TJ d
0
可求得特征值为：
1,2
0 dPE ( ) 0 TJ d
(7-15)
23
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定
——整步功率系数对系统静态稳定的影响
1,2
dPE ) 0 0 当( d
dPE ) 0 0 当( d
根据我国现行的《电力系统安全稳定导则》：
K p (15% ~ 20%) 正常运行方式的静态稳定储备要求 K p 10%
事故后运行方式的静态稳定储备要求
7来自百度文库
简单系统中发电机为凸极机时的静态 稳定分析
PEm
P T P 0
PE
a
PE
b b b
EqU xd
U 2 xd xq sin sin 2 2 xd xq (6-25)
第七章 电力系统静态稳定
静态稳定是指电力系统在某一正常运行状态下受到小 干扰后，不发生自发振荡或非周期性失步，自动恢复 到原始运行状态的能力。静态稳定问题实际上就是确 定小扰动下系统的某个运行稳态点能否保持。
0
0
自发振荡， 静态失稳
静态稳定
t
非周期性失步， 静态失稳
0
0
0
t
1
0
t
主要内容
简单系统 发电机转子运动的状态方程 状态方程的线性化处理 线性状态方程的矩阵形式 特征方程及特征值 特征值与系统静态稳定的关系 振荡频率与角频率 系统静态稳定的判据
18
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定
——简单系统
简单系统：
隐极机
G
～
T
L
无限大系统
E E Q q
xq xd
0
f1 非线性函数向量 F ( X ) fn
dX F(X ) dt
(7-5)
dx1 dt dX dt dxn dt
线性状态方程组
dX F(X ) 其中， dt
0
1 0 dPE f ( ) 2 2 TJ d
d X AX dt
(7-6)
对于线性状态方程组，其解的性态完全由A的 特征值所决定。解的通式可写成：
xi t ci eit
其中，c i 为常数。i 为A的第i个特征值。
i 可能为实数，也可能为复数。
14
特征值为实数时线性系统的稳定性
xi (t ) ci e
i t
j
x1 状态向量 X xn
在扰动前的平衡点 X 0 处：F ( X 0 ) 0 dX d ( X 0 X ) d X 受到小扰动后： X X 0 X ，则： dt dt dt 雅可比矩阵A 利用泰勒级数展开可得： dF ( X ) dF ( X ) F ( X ) F ( X 0 X ) F ( X 0 ) X X dX X 0 dX X 12
10
小干扰法的基本原理
小干扰法的理论基础是19世纪俄国学者李雅普 诺夫奠定的。对于一个非线性动力系统， 首先列写描述系统运动的非线性状态方程组； 然后利用泰勒级数对非线性状态方程组进行线 性化处理； 再根据线性状态方程组系数矩阵的特征值判断 系统的稳定性。
11
非线性状态方程组的线性化
非线性状态方程组
A 其中，
0
0
(7-12)
dPE d dPE d
整步功率系数 整步功率
22
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定
——特征方程及特征值
特征方程：
0 0 0 1 dPE ( ) 0 0 TJ d
f1 f1 x2 xn x1 f 2 f 2 x 2 x2 xn X xn f n f n x2 xn X0
13
线性系统的稳定性
——特征值与 X 的时域响应函数关系
q
d
整步功率系数大小可以说明系统静态稳定的程度。整 步功率系数值越小，静态稳定的程度越低。整步功率系 数等于0，则是稳定与不稳定的分界点，即静态稳定极 限点。在简单系统中静态稳定极限点所对应的功角就是 功角特性的最大功率所对应的功角。 6
静态稳定储备系数
静态稳定储备系数
PM P0 (7-4) Kp 100% P0 PM 稳定极限点对应的功率 P0 某一运行情况下的输送功率
a
a
dPE b点：静态不稳定运行点 0 稳定判据：整步功率系数 S Eq 8 d
Eq m
0 0 a a a P 90
a a b b 0 b b b 180 0 a点：静态稳定运行点 0 90
b a b a P P P P b a ba ba T T ba ba b b T ab a P b T b a a a P
0 dPE ( ) 0 TJ d
(7-15)
特征值分别为一个正实根和负实 根， 非周期性发散，发电机 失去同步，系统失去静态稳定。
等幅振荡。 特征值为一对虚根， 实际中，若系统存在正阻尼， 作衰减振荡，发电机最终恢复同 步，系统稳定。
24
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定
7.1 7.2 7.3 响 7.4 7.5
简单系统的静态稳定 小干扰法分析简单系统静态稳定 自动调节励磁系统对静态稳定的影
多机系统静态稳定近似分析 提高系统静态稳定性的措施
2
7.1 简单电力系统的静态稳定
7.1.1 物理过程分析 7.1.2 简单系统的静态稳定判据
3
7.1.1 物理过程分析
——简单系统的功角特性
简单系统：
隐极机
G
～
T
L
无限大系统
E E Q q
xq xd
E q
U G
U L
I
U
xd
xT
xL
不考虑发电机的励磁调节器作用——空载电势Eq恒定 不考虑原动机调速器的作用——发电机的机械功率PT恒定
Eq C
P T P 0
PE
EqU xd
TJ xd
PE
21
20
dX F(X ) dt
线性化
其中，
d x1 d X dt dt d x2 dt
f1 x 1 A f 2 x 1
d X AX dt
f1 x1 x2 X x f 2 2 x2 X
0
a
负实部共轭根
0 0
t
衰减振荡，稳定
0 0
a
共轭虚根
t
等幅振荡
a
0
t
16
特征值与线性系统的静态稳定性关系
1）特征值实部均为负值，系统稳定。 2）只要有一个正实部根，系统非周期性失稳或 自发振荡，系统不稳定。 3）无实部根，系统稳定性不定。
17
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定
(7-7)
非线性状态 方程组
dX F ( X ) ，则： 状态方程的形式整理为： dt ( 1)0 x 1 f1 X F(X ) 1 EqU x ( P sin ) f T 2 2 21
线性化
d x1 dt d x2 d X dt dt d xn dt
dF ( X ) A dX X 0
f1 x 1 f 2 x 1 f n x1
d X AX dt
(7-6)
线性系统稳定或不稳定→非线性系统稳定或不稳定。
d ( 1)0 dt d 1 (P T P E) dt TJ
t 0 tt t 0 a点是静态稳定运行点 b点是静态不稳定运行点
图 7-2
5
7.1.2 简单系统的静态稳定判据
a点稳定，处于功角特性的上升沿，该点的斜率大 于0；b点不稳定，处于功角特性的下降沿，该点 的斜率小于0。 简单系统的稳定判据：运行点处功角特性的斜率 （导数）大于0，即： dPE 0 (7-2) 整步功率系数 S E
TJ
xd
0
PE
21
0
(7-12)
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定
——线性状态方程组
d 0 dt 矩阵形式： 1 dPE d T ( d ) 0 J dt
25
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定
——振荡频率与角频率 dPE 等幅振荡。 ) 0 0 时， 当( d
0 dPE 1,2 j ( ) TJ d 振荡角频率和振荡频率 f 分别为：
0
0 dPE ( ) TJ d
f 1Hz
sin
(7-1)
4
7.1.1 物理过程分析
——小扰动后功角变化曲线 EqU
P
b b b a 周期衰减振荡 转移到a点 b a a a a a
非周期失稳
a
PM
PE
b
xd
sin
P T P 0
a
a
图7-1 (b)
b
b PE
a a a 90 0 b b b 1800
0
i 0
xi (t )
非周期失稳，不稳定
i 0 i 0
0
t
单调衰减，稳定
0
0 不变，稳定不定
t t
15
0
0
特征值为复数时线性系统的稳定性
i ai ji
振荡角频率
xi (t ) 2ci e
ai t
cos i t
j
正实部共轭根
xi (t )
自发振荡，不稳定
——系统静态稳定的判据
系统静态稳定的判据： 整步功率系数 S E
q
与物理过程分 析得到的判据 一致
dPE 0 d
无励磁调节系统的情况下，简单系统必须运行在 SEq>0的状况下。SEq的大小可以说明系统静态稳定的程 度，即标志着小扰动下同步发电机维持同步运行的能力。 随着功角的逐步增大，SEq逐步变小，静态稳定的程度逐 步降低。当SEq=0时，则达到了稳定极限点。当SEq<0时， 同步发电机就没有能力维持同步运行，系统将失去静态 稳定 。
0
( 1)0 x 1 f1 X F(X ) 1 E U q x ( P sin ) f 2 21 T 2
d 0 dt 1 dPE d T ( d ) 0 dt J
E q
U G
U L
I
U
xd
xT
xL
不考虑发电机的励磁调节器作用——空载电势Eq恒定 不考虑原动机调速器的作用——发电机的机械功率PT恒定
Eq C
P T P 0
PE
EqU xd
sin
(7-1)
19
7.2.1小干扰法分析简单系统静态稳定
——发电机转子运动的状态方程组
作业4
26. 整步功率系数的定义及其与简单系统静态稳定 的关系？ 27. 静态稳定储备系数KP的概念，在电力系统实际 运行中对KP的具体要求。 28. 简单系统和电动机的静态稳定判据是什么？
9
7.2 小干扰方法分析简单系统静态稳 定
小干扰法的基本原理 线性系统的稳定性（补充） 7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定 例7-1 7.2.2 阻尼作用对静态稳定的影响
(7-14)
A I 0
2
0 dPE ( ) 0 TJ d
0
可求得特征值为：
1,2
0 dPE ( ) 0 TJ d
(7-15)
23
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定
——整步功率系数对系统静态稳定的影响
1,2
dPE ) 0 0 当( d
dPE ) 0 0 当( d
根据我国现行的《电力系统安全稳定导则》：
K p (15% ~ 20%) 正常运行方式的静态稳定储备要求 K p 10%
事故后运行方式的静态稳定储备要求
7来自百度文库
简单系统中发电机为凸极机时的静态 稳定分析
PEm
P T P 0
PE
a
PE
b b b
EqU xd
U 2 xd xq sin sin 2 2 xd xq (6-25)
第七章 电力系统静态稳定
静态稳定是指电力系统在某一正常运行状态下受到小 干扰后，不发生自发振荡或非周期性失步，自动恢复 到原始运行状态的能力。静态稳定问题实际上就是确 定小扰动下系统的某个运行稳态点能否保持。
0
0
自发振荡， 静态失稳
静态稳定
t
非周期性失步， 静态失稳
0
0
0
t
1
0
t
主要内容
简单系统 发电机转子运动的状态方程 状态方程的线性化处理 线性状态方程的矩阵形式 特征方程及特征值 特征值与系统静态稳定的关系 振荡频率与角频率 系统静态稳定的判据
18
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定
——简单系统
简单系统：
隐极机
G
～
T
L
无限大系统
E E Q q
xq xd
0
f1 非线性函数向量 F ( X ) fn
dX F(X ) dt
(7-5)
dx1 dt dX dt dxn dt
线性状态方程组
dX F(X ) 其中， dt
0
1 0 dPE f ( ) 2 2 TJ d
d X AX dt
(7-6)
对于线性状态方程组，其解的性态完全由A的 特征值所决定。解的通式可写成：
xi t ci eit
其中，c i 为常数。i 为A的第i个特征值。
i 可能为实数，也可能为复数。
14
特征值为实数时线性系统的稳定性
xi (t ) ci e
i t
j
x1 状态向量 X xn
在扰动前的平衡点 X 0 处：F ( X 0 ) 0 dX d ( X 0 X ) d X 受到小扰动后： X X 0 X ，则： dt dt dt 雅可比矩阵A 利用泰勒级数展开可得： dF ( X ) dF ( X ) F ( X ) F ( X 0 X ) F ( X 0 ) X X dX X 0 dX X 12
10
小干扰法的基本原理
小干扰法的理论基础是19世纪俄国学者李雅普 诺夫奠定的。对于一个非线性动力系统， 首先列写描述系统运动的非线性状态方程组； 然后利用泰勒级数对非线性状态方程组进行线 性化处理； 再根据线性状态方程组系数矩阵的特征值判断 系统的稳定性。
11
非线性状态方程组的线性化
非线性状态方程组
A 其中，
0
0
(7-12)
dPE d dPE d
整步功率系数 整步功率
22
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定
——特征方程及特征值
特征方程：
0 0 0 1 dPE ( ) 0 0 TJ d
f1 f1 x2 xn x1 f 2 f 2 x 2 x2 xn X xn f n f n x2 xn X0
13
线性系统的稳定性
——特征值与 X 的时域响应函数关系
q
d
整步功率系数大小可以说明系统静态稳定的程度。整 步功率系数值越小，静态稳定的程度越低。整步功率系 数等于0，则是稳定与不稳定的分界点，即静态稳定极 限点。在简单系统中静态稳定极限点所对应的功角就是 功角特性的最大功率所对应的功角。 6
静态稳定储备系数
静态稳定储备系数
PM P0 (7-4) Kp 100% P0 PM 稳定极限点对应的功率 P0 某一运行情况下的输送功率
a
a
dPE b点：静态不稳定运行点 0 稳定判据：整步功率系数 S Eq 8 d
Eq m
0 0 a a a P 90
a a b b 0 b b b 180 0 a点：静态稳定运行点 0 90
b a b a P P P P b a ba ba T T ba ba b b T ab a P b T b a a a P
0 dPE ( ) 0 TJ d
(7-15)
特征值分别为一个正实根和负实 根， 非周期性发散，发电机 失去同步，系统失去静态稳定。
等幅振荡。 特征值为一对虚根， 实际中，若系统存在正阻尼， 作衰减振荡，发电机最终恢复同 步，系统稳定。
24
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定
7.1 7.2 7.3 响 7.4 7.5
简单系统的静态稳定 小干扰法分析简单系统静态稳定 自动调节励磁系统对静态稳定的影
多机系统静态稳定近似分析 提高系统静态稳定性的措施
2
7.1 简单电力系统的静态稳定
7.1.1 物理过程分析 7.1.2 简单系统的静态稳定判据
3
7.1.1 物理过程分析
——简单系统的功角特性
简单系统：
隐极机
G
～
T
L
无限大系统
E E Q q
xq xd
E q
U G
U L
I
U
xd
xT
xL
不考虑发电机的励磁调节器作用——空载电势Eq恒定 不考虑原动机调速器的作用——发电机的机械功率PT恒定
Eq C
P T P 0
PE
EqU xd
TJ xd
PE
21
20
dX F(X ) dt
线性化
其中，
d x1 d X dt dt d x2 dt
f1 x 1 A f 2 x 1
d X AX dt
f1 x1 x2 X x f 2 2 x2 X
0
a
负实部共轭根
0 0
t
衰减振荡，稳定
0 0
a
共轭虚根
t
等幅振荡
a
0
t
16
特征值与线性系统的静态稳定性关系
1）特征值实部均为负值，系统稳定。 2）只要有一个正实部根，系统非周期性失稳或 自发振荡，系统不稳定。 3）无实部根，系统稳定性不定。
17
7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳 定