图像分割

如图所示．在图中，若用阈值来进行边 缘检测，则在a和b之间的所有点都被记 为边缘点．但通过去除一阶导数中的非 局部最大值，可以检测出更精确的边 缘．一阶导数的局部最大值对应着二阶 导数的零交点这意味着在边缘点处有一 阶导数的峰值，同样地，有二阶导数的 零交叉点．这样，通过找图像强度的二 阶导数的零交叉点就能找到边缘点．
物体或区域的像素聚类方法, 即区域法；其二是通过直接确定区 域间的边界来实现分割的边界方法；其三是首先检测边缘像素， 再将边缘像素连接起来构成边界形成分割。在图像分割技术中， 最常用的是利用阈值化处理进行的图像分割。
常用的图像分割方法是把图像灰度分成不同的等级， 然后 用设置灰度门限（阈值）的方法确定有意义的区域或分割物体
x2 2 2
cosxdx
2
2v 2
2 e

,
v
2
1

2
.
为了在 =0 时振幅为1。成为低通滤波器，即模板系数为1
2 1 g[ x ] e 2 2 x2
一维信号

对于二维傅立叶变换是一个重积分。 所以为了使模板系数为1。
h x, y
1 2
7.2.1 边缘检测与微分运算 如前所述，边缘点是信号“变化剧烈”的地方，但这么说并 不准确，需要定义一个准确的边缘数学模型。以一维信号为例， 图5-8（a）是一种阶跃信号，我们当然认为 A点处为边缘点。在 实际情况中，物理信号不可能有理想的突变， 而是如图5-8（b） 所示的逐渐增大的信号，对图5-8（b）中所示A、B、C三点， 一 般称 B 点为边缘点。在图 5-8 （ c ） 5-8 （ d ）中，如果台阶比
2
e
x2 y2 2 2

空间域频率参数为ω ，高斯函数在频率域内的 散布控制，是空间域散布参数σ 的倒数．这表 明，高斯函数在空间域越窄，则在频率域里的 频谱越宽，反之亦然．这一性质和高斯滤波器 的抑制噪声能力有关．窄带空间域高斯函数的 平滑能力较低，因为在频率域内其频带较宽， 能通过更多的高频噪声和细纹理信号．随着高 斯函数在空间域的宽度增加，高斯函数的平滑 能力也增强了．
（4）定位。精确确定边缘的位置。

边缘检测
图象滤波 梯度算子
平滑图象
边缘增强
梯度图象
边缘检测 边缘定位
原始图象 边缘的二 值图象
阈值分割

可用一阶导数的幅度值来检测边缘的存在， 幅度峰值一般对应边缘位置。可用二阶导 数的过零点检测边缘位置，而用二阶导数 在过零点附近的符号确定边缘象素在图象 边缘的暗区或明区。

边缘检测

边缘检测算法的基本步骤

（1）滤波。边缘检测主要基于导数计算，但受噪 声影响。但滤波器在降低噪声的同时也导致边缘强 度的损失。 （2）增强。增强算法将邻域中灰度有显著变化的 点突出显示。一般通过计算梯度幅值完成。


（3）检测。但在有些图像中梯度幅值较大的并不 是边缘点。最简单的边缘检测是梯度幅值阈值判定。

高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参 数σ 表征的，而且σ 和平滑程度的关系 是非常简单的．σ 越大，高斯滤波器的 频带就越宽，平滑程度就越好．通过调 节平滑程度参数σ ，可在图像特征过分 模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细 纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平 滑)之间取得折衷．
（1）旋转对称性

二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器 在各个方向上的平滑程度是相同的．一般 来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道 的，因此，在滤波前是无法确定一个方向 上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对 称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检 测中不会偏向任一方向．

高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤 波器用像素邻域的加权均值来代替该点 的像素值，而每一邻域像素点权值是随 该点与中心点的距离单调递减的．这一 性质是很重要的，因为边缘是一种图像 局部特征，如果平滑运算对离算子中心 很远的像素点仍然有很大作用，则平滑 运算会使图像失真．
第七章 图像分割与边缘检测
5.1 图像分割
5.2 边缘检测
5.3 轮廓跟踪与提取
5.4 图像匹配
5.5 投影法与差影法
5.6 应用实例
7.1 图 像 分 割
71.1 概述 图像分割是将图像划分成若干个互不相交的小区域的过程， 小区域是某种意义下具有共同属性的像素的连通集合。如不同 目标物体所占的图像区域、 前景所占的图像区域等。连通是指 集合中任意两个点之间都存在着完全属于该集合的连通路径。 对于离散图像而言，连通有4连通和8连通之分，如图5-1所示。
用阈值进行边缘检测和用二阶导数的零交点进行边缘检测示意
拉普拉斯算子
注意：与梯度算子的不同, 只需 要一个卷积模板
0 1 0 2 1 4 1 0 1 0
当拉普拉斯算子输出出现过零点时就表明有边 缘存在，其中忽略无意义的过零点(均匀零 区)．计算拉普拉斯算子，生成双边缘图像。 定位边缘就是找到两个边缘之间的零叉点。
Roberts算子

Roberts交叉算子为梯度幅值计算提供了 一种简单的近似方法：
G[i, j ] f [i, j ] f [i 1, j 1] f [i 1, j ] f [i, j 1]
用卷积模板，上式变成：
G[i, j ] G x G y

其中和由下面的模板计算：
1 1 2 2 2 1 1
1 2 2 4 2 2 1
2 2 4 8 4 2 2
2 4 8 16 8 4 2
2 2 4 8 4 2 2
1 2 2 4 2 2 1
பைடு நூலகம்
1 1 2 2 2 1 1
7 7 高斯模板
LoG算法

利用图像强度二阶导数的零交叉点来求 边缘点的算法对噪声十分敏感，所以， 希望在边缘增强前滤除噪声．为此， Marr和Hildreth[146]将高斯滤波和拉普 拉斯边缘检测结合在一起，形成LoG （Laplacian of Gaussian, LoG）算法， 也称之为拉普拉斯高斯算法．LoG边缘检 测器的基本特征是：
较窄，即可以认为B点为边缘点，也可以认为该信号有两个边缘
点A与C。
A
B (b)
C
A
B (c)
C
A
B (d)
C
图5-8 不同的边缘信号
(a)
(b)
(c)
(d)
图5-9 （a） 边界； （b） 线； （c） 折线变化； （d） 缓慢的平滑变化
图5-10
图5-10 用Prewitt算子进行边缘检测的结果
Gx 1 0 0 1
Gy
0 1 1 0
Roberts算子是该点连续梯度的近似值．
Sobel算子

和其他的梯度算子一样，和可用卷积模 板来实现：
1 0 1 sx 2 0 2 1 0 1
1 2 1 sy 0 0 0 1 2 1
请注意这一算子把重点放在接近于模板中 心的像素点．Sobel算子是边缘检测器中最 常用的算子之一
高斯平滑滤波

高斯滤波器是一类根据高斯函数的形状 来选择权值的线性平滑滤波器．高斯平 滑滤波器对去除服从正态分布的噪声是 很有效的．一维零均值高斯函数为：
g( x) e

x2 2
2

其中，高斯分布参数σ 决定了高斯滤波 器的宽度．对图像处理来说，常用二维 零均值离散高斯函数作平滑滤波器．这 种函数的图形如图5．7所示，函数表达 式为：
f
图5-2 阈值变换曲线
在图像的阈值化处理过程中， 选用不同的阈值其处理结果 差异很大。如图5-3所示, 阈值过大， 会提取多余的部分； 而 阈值过小，又会丢失所需的部分（注意： 当前背景为黑色，
对象为白色时刚好相反）。因此，阈值的选取非常重要。
图5-3(a)原始图像的直方图如图 5-4所示。分析该直方图可 知， 该直方图具有双峰特性，图像中的目标（细胞）分布在较 暗的灰度级上形成一个波峰，图像中的背景分布在较亮的灰度 级上形成另一个波峰。此时，用其双峰之间的谷低处灰度值作

把高斯函数从直角坐标变换到极坐标， 则可以清楚地看到高斯函数的旋转对称 特性．二维高斯函数为：
g[i , j ] e

i2 j2 2 2

由于极坐标中的矢径由公式确定，因此 很容易得出高斯函数的极坐标表达式：
g (r , ) e
r2 2 2
,
它不依赖于极角θ 自然也就旋转对称了．
(a)
(b)
图5-1 4连通和8连通
4 连通指的是从区域上一点出发，可通过 4 个方向，即上、 下、左、右移动的组合，在不越出区域的前提下，到达区域内 的任意像素； 8连通方法指的是从区域上一点出发，可通过左、 右、上、下、左上、右上、左下、右下这8个方向的移动组合来 到达区域内的任意像素。
图像分割有三种不同的途径：其一是将各像素划归到相应

也就是说，在频率域内，高斯函数越窄， 通过高频噪声和细纹理信号就越少．高斯 函数在空间域的宽度与在频率域的频谱宽 度之间的简单关系有利于高斯滤波器在实 际设计中的应用．
离散高斯滤波器

若一幅图像用 n n 离散高斯滤波器进行平滑， 接着再用 m m 离散高斯滤波器平滑的话，那 么平滑结果就和用 (n m 1) (n m 1) 离散高斯滤 波器平滑的结果一样．
的边界。常用的阈值化处理就是图像的二值化处理， 即选择一
阈值，将图像转换为黑白二值图像， 用于图像分割及边缘跟踪 等预处理。 图像阈值化处理的变换函数表达式为
0 f ( x, y ) T g ( x, y ) 255 f ( x, y ) T
(5-1)
g 2 55
0
T
2 55
点检测

当掩模的中心位于鼓励点时，掩模的响 应必须是最强的，而在亮度不变的区域 中响应为零。若|R|>=T，则我们就可以 说在掩模中心位置已经检测出了一个孤 立点。常用模板如下：
1 1 1 1 8 1 1 1 1
线检测

与点检测相比，线检测要复杂一些。若 第一个掩模在图上四处移动，则它会更 强烈地响应（一个象素宽的）水平线。 每个掩模的系数之和为0，表明亮度不变 区域中来自掩模的响应为0。
为阈值T 进行图像的阈值化处理，便可将目标和背景分割开来。
(a)
(b)
(c)
(d)
图5-3 (a) 原始图像； (b) 阈值T=91； (c) 阈值T=130； (d) 阈值T=43
二值图像转换函数
g=im2bw(f,T) 该函数通过阈值处理，将一幅亮度图像f 转换为一幅二值图像g。输出二值图像g 中为0的象素点，对应于输入亮度图像f 中值小于阈值T的象素点，输出二值图 像g中值为1的象素点则对应于输入亮度 图像f中的其他象素点。T的取值必须在 区间[0，1]内。
1 1 2 1 2 1 2 1 1
+45度
1 1 1 2 2 2 1 1 1
水平
1 2 1 1 2 1 1 2 1
垂直
2 1 1 1 2 1 1 1 2
-45度
边缘检测
边缘是灰度值不连续的结果，这种不连 续常可利用求导数方便地检测到，一般 常用一阶和二阶导数来检测边缘。
2
e jx dx (cos x j sin x)dx cos xdx j e
x2 2 2
e e



sin xdx

高斯函数是偶函数，而正弦函数是奇函 数，因此第二个积分式的值必然等于零， 从而整个付立叶变换可简化为：
F{g ( x)} e
（2）付立叶变换性质

高斯函数有一个十分有趣的性质，即它 的付立叶变换也是一个高斯函数．由于 高斯函数的付立叶变换是一个实函数， 所以其付立叶变换前后的幅值不一 样．高斯函数的付立叶变换通过下式计 算：
F {g ( x)} g ( x)e jx dx


e


x2 2 2 x2 2 2 x2 2
g[i , j ] e

(i 2 j 2 ) 22

高斯函数具有五个重要的性质，这些 性质使得它在早期图像处理中特别有 用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无 论在空间域还是在频率域都是十分有效 的低通滤波器，且在实际图像处理中得 到了工程人员的有效使用．高斯函数具 有几个十分重要的性质，它们是：
Prewitt算子

Prewitt算子与Sobel算子的方程完全一样， 只是常量c=1
sx 1 0 1 1 0 1 1 0 1
sy
1 1 1 0 0 0 1 1 1
请注意，与Sobel算子不同，这一算子没有 把重点放在接近模板中心的像素点．
二阶微分算子

前面讨论了计算一阶导数的边缘检测器， 如果所求的一阶导数高于某一阈值，则 确定该点为边缘点．这样做会导致检测 的边缘点太多