高中数学必修系列：10.4二项式定理(第二课时)

10.4.2 二项式定理(二)

●教学目标

(一)教学知识点

1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.

2.“赋值法”.

(二)能力训练要求

1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.

2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.

(三)德育渗透目标

1.提高学生的数学素质.

2.树立由一般到特殊的意识.

●教学重点

1.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

(2)增减性：∵k

n C =

k k n 1+-1C -k n , ∴当k ＜2

1+n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n 为偶数时，中间一项(第2

n +1项)的二项式系数最大，最大值为2C n n . 当n 为奇数时，中间两项(第

21+n 项和第21+n +1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为21

C -n n 或21

C +n n .

(4)各二项式系数和0

C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C =2n .

2.“赋值法”在解题中的运用.

●教学难点

与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.

●教学方法

发现法

●教具准备

投影片一张.

内容：课本P 107图10-9.

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师生共同活动］

(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…n

n C b n .

T r +1=r n C a n-r b r .

Ⅱ.讲授新课

［师］通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数，(a +b )n 展开式的二项式系数，当n

不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

［师］能用我们所学知识解释一下吗？

［生］设这一数为r n 1C +,其肩上的数则为1C -r n 和r n C ，由组合数知识可知r n 1C +=1C -r n +r n C .

［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.

(打出投影片)

［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.

同学们看出哪些性质？

［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

［师］为什么呢？

［生］因为m n C =m n n

-C . ［师］还有什么性质？

［生］增减性与最大值.

当k ＜

2

1+n 时，二项式系数是逐渐增大的； 当k ＞21+n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当n 是偶数时，2C n n 最大；

当n 是奇数时, 21

C -n n ,21

C +n n 相等，且最大.

［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此r n C 可看成是以r 为自变量

的函数f (r ),其定义域是{0,1,2,…,n }.

［师］可以解释上述性质吗？

［生］∵k n C =k

k k n n n n ⋅-+---)!1()1()2)(1( =1C -k n ·k k n )1(+-， ∴当k k n 1+-＞1，即k ＜21+n 时,1C C -k n

k

n ＞1,即k n C ＞1C -k

n .

当k k n 1+-＜1,即k ＞21+n 时，1C C -k n

k

n ＜1,即k n C ＜1C -k n . ［师］还有其他性质吗？

［生］∵(1+x )n =0

C n +1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+n n C x n ,

当x =1时， 2n =0

C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C ，

即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .

［师］是否还可发现其他性质呢？

［生］在(a +b )n 的展开式中，

令a =1,b =-1,则可得

0=0

C n -1C n +2C n -3C n +…=(0C n +2C n +…)-(1C n +3C n +…)，

即0

C n +2C n +…=1C n +3C n +….

也就是说，在(a +b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.

［师］下面看怎样应用这些性质.

［例1］求(1+2x -3x 2)5的展开式中的x 5项的系数.

［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？

［生甲］我认为可以将(2x -3x 2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x 5项的系数，最后通过求和得到所求.

［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x 5项的系数有些烦琐.

［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.

［生丙］我注意到括号内的(1+2x -3x 2)恰好可以分解因式为(1-x )(1+3x ),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x 5项的多种情形：x 0·x 5,x 1·x 4,x 2·x 3,x 3·x 2,x 4·x 1,x 5·x 0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.

［师］很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.

解法一：∵(1+2x -3x 2)5=［1+(2x -3x 2)］5

=1+5(2x -3x 2)+10(2x -3x 2)2+10(2x -3x 2)3+5(2x -3x 2)4+(2x -3x 2)5

=1+5x (2-3x )+10x 2(2-3x )2+10x 3(2-3x )3+5x 4(2-3x )4+x 5(2-3x )5,

∴x 5项的系数为上式各项中含x 5项的系数和，即

1023C ·21·(-3)2+51

4C ·23·(-3)1+25=92.

解法二：∵(1+2x -3x 2)5=(1-x )5·(1+3x )5=(1-5x +10x 2-10x 3+5x 4-x 5)·

(1+15x +90x 2+270x 3+405x 4+243x 5),

∴展开式中x 5项的系数为

243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.

［例2］求(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16的展开式中x 3项的系数.

［师］请大家审读题目后，考虑如何获得含x 3项的系数.