运筹学--线性规划的对偶理论

对偶单纯形法求解思路


对偶单纯形法
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对偶单纯形法
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对偶单纯形法

对偶单纯形法并不是所有线性规划问题的通用 解法，它只能从检验数已经符合最优化条件的 基本解开始求解。
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对偶单纯形法

1- 约束条件为“≥”

初始解可以是非可行解。当检验数都为负数时，就 可以进行基变换，不需要加入人工变量。

2- 变量多于约束条件


对于变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单 纯形法计算可以减少计算工作量。 变量少，约束条件很多的线性规划问题，可以将其 变换为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。
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对偶单纯形法示例1
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对偶单纯形法示例1
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对偶单纯形法示例1
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灵敏度分析


线性规划问题的最优解，是在设定问题模型中 的������������������、������������、������������都为已知常数的前提下求解得到 的。 对于许多实际问题，这些系数都是采用经验法 或统计、预测方法得到的估计值。

这里需注意区分xi是最优表中的基变量还是非 基变量：

如果xi为非基变量，如产品C的原材料消耗系数pi发 生变化时，判断和求解的方法与前一种情况相同， 即检查xi的检验数是否满足最优条件；
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灵敏度分析示例1

如果xi是基变量（例如产品A或产品B的资源消耗系 数p1或p2发生变化），那么p������的变化将引起基矩阵B 的变化。B的变化将影响单纯形法迭代过程中几乎 所有的计算项目，问题只能重新迭代。
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1

1-目标函数中非基变量系数的变化

目标函数中非基变量系数的变化只会影响该非基变 量的检验数。
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灵敏度分析示例1
例3-7中产品C的单位利润在什么范围内变化时，原最优解 仍为最优？ 当产品C的单位利润增加至4元时，最优解是什么？
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灵敏度分析示例1
产品C的单位利润增加至4元时：（采用基本 单纯形法继续计算）
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灵敏度分析

灵敏度分析的起点一般为最优单纯形表，而基 本的分析是在改进单纯形法中的矩阵形式单纯 形表基础上，直观分析和计算不同系数变化对 最优解的影响。
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灵敏度分析示例1

F公司每周根据采购的原材料������1和������2安排产品 A，B和C的生产活动，已知生产3种产品的单件 资源消耗和利润如表所示。求F公司最优的产 品生产组合。
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
当A的单位利润增加至10元时，最优解：
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灵敏度分析示例1

3-基变量和非基变量的目标函数系数同时变化

目标函数的系数发生变化，只会影响当前最优解的 非基变量的检验数！
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灵敏度分析示例1

例3-7中产品A、B、C的单位利润变为6、3、4 元，最优解是什么？
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对偶问题的经济意义

4-影子价格只是一种边际价格，它只是相应的 资源在发生微量的变化时为最优总利润带来的 边际贡献。
5-最优生产计划中某种资源未充分利用时，其 影子价格必然为0。这意味着增加该资源的供 应量不会为企业带来利润或产出的增加。

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对偶单纯形法

对偶单纯形法并不是求解原问题的（线性规划 问题的）对偶问题的单纯形法，而是应用对偶 原理和单纯形法来求解原问题的一种方法。
问：此时的最优解是什么？当产品D的单位利 润为4元时，最优解又是什么？

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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1

6-约束矩阵中的系数列向量的变化

在生产计划问题中，改变生产单位某产品的资源消 耗系数，等价于改变对应决策变量xi在约束矩阵系 数列向量pi。
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1

7-引入新的约束条件

在例3-7中，由于劳动力市场出现劳动力短缺，F公 司每周能够使用的劳动力工时被限制在720个小时 ，而生产单位产品A、B、C分别需要12、10、6个 小时。问：此时的最优解是什么？
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灵敏度分析示例1


对于这类问题，不急于写出新的线性规划模型 。 首先检验原最优解是否满足新引入的约束条件 ，如果满足，则原最优解不受新约束的影响仍 为最优。
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灵敏度分析示例1

4-右端常数向量b的变化

常数向量b的变化不会影响解的最优性。 但由式XB=B-1b可知，b的变化必然影响解的数值。
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灵敏度分析示例1

在例3-7中，如果原材料������1的周供应量由320千 克增至360千克，最优解有什么变化？


������1的周供应量������1在什么范围内变化时，原生产组合 （仅生产A和B）仍为最优组合？ ������1增加至500时，最优解是什么？
第3章
线性规划的对偶理论 (Duality Theory)
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基本概念

任意一个线性规划问题都有一个与其关联的线 性规划问题，这两个相互对应的问题被称为“ 原问题”和“对偶问题”，它们不仅在数学形 式上呈一定的对称关系，而且在目标函数值、 基本解上都有一定的对应。
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引例


(例1-1) F公司每周根据原材料M1和M2的采购 数量来安排其产品A、B和C的生产计划。 问：这3种产品各应生产多少，能使F公司获得 最大的利润？
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对偶问题的经济意义

影子价格（shadow price）

又称最优计划价格，它是指依据一定原则确定的， 能够反映资源稀缺程度、使资源得到合理配置的价 格。 影子价格反映了某种最优状态下的资源稀缺程度和 对最终产品的需求情况，有利于资源的最优配置。

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对偶问题的经济意义

1-某种资源的影子价格表明了该资源的稀缺性 ，影子价格越高则该资源越为稀缺。 2-影子价格应被理解为一种机会成本或附加价 值。 3-资源的市场价格是已知的且相对稳定的，而 其影子价格的价格形成机制取决于最优生产计 划。
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灵敏度分析示例1

如果例3-14中每周能够使用的劳动力工时为 480个小时，最优解是什么？


因为12������1+10������2+6������3=560>480当前最优解不满足 新的约束条件。 这时，可以将新约束加入原始模型，作为一个新的 问题重新求解，但这不是灵敏度分析推崇的方式。 较为便捷的作法是：将新约束条件加入原最优表， 经过简单的改写，就可以应用对偶单纯形法求出新 的最优解。
产品B 4 2 4 产品C 5 1 2 可用资源 320 100
单位消耗 产品A 原材料M1 8 原材料M2 2 5 单位产品利润
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引例

企业F决定不安排生产，而是将本周所采购的 原材料M1和M2全部转让出售，那么这两种原 材料的单位转让收益分别应为多少才是可接受 的？
【注】企业卖出相同数量关系的原材料，收益 应不低于用其生产出最终产品而获得的利润。
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1

常数向量b的变化可能使得最终单纯形表向量b 中出现负元素从而影响原最优基的可行性，进 而使最优解发生变化。
因为b的变化不会直接影响非基变量的检验数 ，那么只要b的变化没有造成最优基的变化， 则资源的影子价格保持不变，此时可直接用影 子价格乘以新增/减少的资源数量得出最优利 润的变化。
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灵敏度分析示例1

当������1 =500时，最优基发生了变化。此时，原 材料������1和������2的影子价格分别变为2/3和2/3， 就不能再简单地使用影子价格乘以资源的增量 来计算其对最优利润的贡献了。
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灵敏度分析示例1

F公司在采购完本周的320千克的������1后，原材料 市场上������1发生了缺货，如需再购进������1则需在 原价的基础上另外承担0.2元/千克的溢价。问 ：在保持产品A、B仍为最优组合的前提下，F 公司是否应购入������1扩大生产？如应购入������1 ， 应购入多少？
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对偶单纯形法

基本单纯形法求解过程


在基本可行解的前提下，寻找检验数全部小于等于 零的最优解。 （在始终保持基的可行性(b>=0)的前提下，通过基 变换逐步找到一个对偶可行基。） 在检验数全部小于等于零的基本解的前提下，寻找 可行解。 （从一个对偶可行基出发（此基对原问题不一定可 行），在始终保持基的对偶可行性的前提下，通过 基变换逐步找到一个可行基。） 19
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灵敏度分析

灵敏度分析（Sensitivity analysis，又称敏感性分析） 1. 目标函数中系数的变化（产品价格和成本的变化 ）

2. 约束条件右端常数向量的变化（有限资源的变化 ）

3. 约束条件的变化，包括：

(1) 加入新的决策变量 (2) 约束矩阵系数列向量的变化 (3) 增加新的约束条件
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灵敏度分析示例1


在原最优表中，������1的影子价格为1/4。在本例 中，虽然������1的价格上涨了0.2，但是剔除此额 外成本后，购入������1仍然能产生正的边际贡献 0.05 (=0.25−0.2)，正确的决策是应继续采购 ������1 。 分析可知，只要������1的供应量在200至400之间 时，原最优基仍为最优基，产品A、B仍为最优 生产组合，亦即F公司最多应再采购400 − 320 = 80千克������1用于扩大生产，能带来的额外收益 为0.05 × 80 = 4元。
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基本概念


4-原问题约束条件中变量的系数矩阵，是对偶 问题约束条件中变量系数矩阵的转置。 因此，原问题的约束条件的个数等于对偶问题 变量的个数。同理，对偶问题约束条件的个数 10 等于原问题变量的个数。
基本概念
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基本概念

两个问题互为对偶问题，即对称性。
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对偶问题的性质
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对偶问题的性质
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灵敏度分析示例1

2-目标函数中基变量系数的变化

目标函数中基变量系数的变化将影响所有非基变量 的检验数！
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灵敏度分析示例1

在例3-7中，最优基变量组合为{������1, ������2}，现考 虑改变������1的目标函数系数，亦即产品A的单位 利润������1。问：产品A的单位利润在什么范围内 变化时，原最优解维持最优？当A的单位利润 增加至10元时，最优解是什么？

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引例
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引例
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基本概念


1-原问题的目标函数系数(行)向量对应于对偶 问题约束条件的右端常数(列)向量。 同理，原问题约束条件的右端常数(列)向量对 应于对偶问题的目标函数系数(行)向量。
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基本概念

2-原问题与对偶问题约束不等式的不等号方向 相反。
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基本概念

3-如果原问题的目标函数是求最大值，则对偶 问题的目标函数是求最小值，反之亦然。


当数学模型中的某些系数与现实状况存在偏差时， 模型的最优解不一定就是实际问题的最优解。 即使数学模型很好地反映出了现实状况，但环境的 多变性也会使现时条件下成立的最优解在短期内就 变得不再最优。
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灵敏度分析

例如，在生产计划问题例1-1中，产品市场的 销售状况发生变化将会影响产品的销售价格， 进而影响产品的利润系数������������；资源供应量的变 化，就会影响到������������；技术进步会影响产品的生 产工艺和原材料消耗，将导致模型中约束条件 的系数������������������发生变化。当这些变化发生时，已经 求得的最优生产组合可能不再是最优解。
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灵敏度分析

因此，仅仅求出给定系数设定下特定线性规划 问题的最优解无法完全满足现实生产经营活动 的需求，还需要进一步解决以下问题：



1. 当某个系数发生变化时，原来求得的最优解有没 有变化或有什么样的变化？ 2. 当某个系数在一个什么样的范围内变化时，原来 求得的最优解或最优基不变？ 3. 当某个系数的变化已经引起最优解变化时，如何 用最简单的方法求得新的最优解？
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灵敏度分析示例1

在本例中，只要������1落在[200, 400]内，最优基 维持不变，原材料������1和������2的影子价格仍然分 别为1/4和3/2，������1周供应量的增量Δ������1所带来 的最优利润增值为(1/4)Δ������1。
Z=240=230+40*(1/4)
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灵敏度分析示例1

5-引入新的决策变量

新的决策变量的引入，在当前的最优单纯形表中， 其表现为非基变量。因此，只需要判定该变量的检 验数为非负，最优基将不变。
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灵敏度分析示例1

在例3-7中，经过技术创新，F公司已经具备了 生产一种市场需求旺盛的新产品D的能力。生 产1件产品D消耗3千克M1和2千克M2，单位利 润为3元。