第三节双正态总体的假设检验.

根据一次抽样后得到的样本观察值
x1 , x2 ,, xn1 和 y1 , y2 ,, yn2 ,
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设H0 ,
若 u u / 2 , 则接受原假设H0 .
类似地，对单侧检验有：
(2) 右侧检验 H0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
(1) 双侧检验 H0 : 1 2 0 , H1 : 1 0 ,
其中 0 为已知常数. 当 H0 为真时，
U x y 0 ~ N (0,1),
2 1
/
n1
2 2
/
n2
选取 U作为检验统计量，记其观察值为 u, 相应的检
验法称为 u检验法.
由于 X 与 Y 是 1 与 2 的无偏估计量, 当 H0成立时,
H0 : 1 22, H1 : 1 22, 此处 1, 2 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片
后至起作用的时间间隔的总体的均值. 设两总体均
为正态总体 ,
且方差分别为已知值
2 1
,
2 2
,
现分别在
两总体中取一样 X1 , X 2 ,, X n1 和 Y1 ,Y2 ,,Yn2 , 设
两个样本独立,
其中 0 为已知常数，可得拒绝域为
u
x y 0
2 1
/
n1
2 2
/
n2
u .
例1 设甲、乙两厂生产同样的灯泡, 其寿命X ,Y分别
服从正态分布
N
(1,
2 1
),
N
(2 ,
2 2
),
已知它们寿命
的标准差分别为84h和96h, 现从两厂生产的灯泡中
各取60只, 测得平均寿命甲厂为129h, 乙厂为1பைடு நூலகம்30h,
试成绩不相上下吗? (显著性水平 0.05 ).
解 把男生和女生物理考试的成绩分别近似地看作
由于 x 1295, y 1230, 1 84, 2 96, 所以
u x y 3.95 1.96,
2 1
2 1
n1 n2
故应拒绝 H0 , 即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差
异.
例2 一药厂生产一种新的止痛片, 厂方希望验证服用
新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至
少缩短一半, 因此厂方提出需检验假设
能否认为两厂生产的泡寿命无显著差异( 0.05)?
解
(1) 建立假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
(2) 选择统计量 U
X Y ~ N (0,1).
2 1
n1
2 2
n2
解 (3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使
P{| U | k}
查标准正态分布表 k u / 2 u0.025 1.96, 从而拒绝域 为 | u | 1.96.
其中
S
2 w
(n1
1) S12 n1
(n2 n2 2
1) S 22
.
选取T 作为检验
统计量， 记其观察值为 t, 相应的检验法称为 t 检验
法.
由于
S
2 w
也是
2
的最小方差无偏估计量，当
H0
成立
时，t 不应太大，当 H1 成立时， t 有偏大的趋势，
故拒绝域形式为 t x y 0 k（ k 待定）
其中 0为已知常数，可得拒绝域为
u
x y 0
2 1
/
n1
2 2
/
n2
u ;
(2) 右侧检验 H0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
其中 0为已知常数，可得拒绝域为
u
x y 0
2 1
/
n1
2 2
/
n2
u ;
(3) 左侧检验 H0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
试给出上述假设
H
的拒绝域,
0
取显著
性水平为 .
解 检验假设 H0 : 1 22 , H1 : 1 22 , 采用
X
2Y
~
N
1
22
,
2 1
n1
4
2 2
n2
.
在 H0成立下
U X 2Y (1 22 ) ~ N (0,1).
2 1
n1
4
2 2
n2
因此, 类似于右侧检验,
则 H0 成立时
类似地，对单侧检验有：
（2）右侧检验 H0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
其中0 为已知常数，得拒绝域为
t
Sw2
x y 0
1/ n1 1/ n2
t (n1
n2
2).
（3）左侧检验 H0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
其中0 为已知常数，得拒绝域为
u 不应太大, 当 H1 成立时, u 有偏大的趋势, 故拒绝
域形式为 u x y 0 k
2 1
/
n1
2 2
/
n2
（ k 待定）
对于给定的显著性水平 , 查标准正态分布表得
k u / 2 , 使 P{U u / 2 } ,
由此即得拒绝域为
u
x y 0
2 1
/
n1
2 2
/
n2
u / 2 ,
(1 22 ),
W
x 2y
2 1
n1
4
2 2
n2
u
.
2.
方差
2 1
,
2 2
未知，但
2 1
2 2
2 情形
(1) 双侧检验 H0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
其中0 为已知常数，当 H0 为真时，
T
X Y 0
Sw2 1/ n1 1/ n2
~
t ( n1
n2
2),
第三节 双正态总体的假设检验
一、双正态总体均值差的假设检验
设
X1,
X2
,,
X
n1
为取自总体
N
(1,
2 1
)
的一个样本,
Y1
,Y2
,,Yn2
为取自总体
N
(
2
,
2 2
)
的一个样本,
并且
两个样本相互独立，记 X 与Y分别为相应的样本均值,
S12与 S22 分别为相应的样本 方差.
1.
方差
2 1
,
2 2
已知情形
t
S
2 w
x y 0
1/ n1 1/ n2
t (n1
n2
2).
例3 某地某年高考后随机抽得15名男生、12名女生 的物理考试成绩如下:
男生 49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40 女生 46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34 从这27名学生的成绩能说明这个地区女生的物理考
Sw 1/ n1 1/ n2
对于给定的显著性水平 , 查得分布表得
k t / 2(n1 n2 2), 使 P{T t / 2 (n1 n2 2)} ,
得拒绝域为
t
x y 0
Sw2 1/ n1 1/ n2
t / 2(n1 n2 2).
根据一次抽样后得到的样本观察值
x1 , x2 , xn1 和 y1 , y2 ,, yn2 , 计算出 T 的观察值 t, 若 t t / 2(n1 n2 2), 则拒绝原假设 H0 , 否则接受原假设 H0 .