大学高等数学第一册考试试题(可编辑修改word版)

x =

1 1

2 一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共

5 小 题 ， 每 题 3 分 ， 共 15 分 ）

1. lim x n 存在是数列

{x n }有界的

(

)

n →∞

A. 必要而非充分条件;

B. 充分而非必要条件;

C. 充要条件;

D. 既非充分又非必要条件.

2. 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f ' (0) 存在，则 g (x )

=

f (x ) ( )

x

A. 在 x=0 处左极限不存在 ;

B. 有跳跃间断点 x=0 ;

C. 有可去间断点 x=0 ;

D. 在 x=0 处右极限不存在.

f " (x ) 3. 设 f(x)有二阶连续导数，且 lim

x →0

x

= 1,则

( )

A.

(0, f (0)) 是曲线 y=f(x)的拐点;

B. C. f (0) 是 f(x)的极大值;

D.

(0, f (0)) 不是曲线 y=f(x)的拐点;

f (0) 是 f(x)的极小值.

4 若? f (x )dx = F (x ) + c ，则? e -x f (e -x )dx =

(

)

A. F (e x ) + c ;

B; - x

- F (e x ) + c ; F (e - x )

C.

F (e ) + c ;

D.

x 3 -1

+ c . x

5. 设函数 f(x)连续，且 ?

f (t )dt = x ，则 f(7)=

(

)

1 A. 1 ;

B.

;

C.

2

1

1 ;

D.

.

12

12

二、填空题（本大题共 7 小题，每题 3 分，共 21 分）

1

1. 已知当 x → 0 时， (1 + ax 2

) 3 - 1 与cos x - 1是等价无穷小，则 a =

.

f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )

2. 设 f(x)在 x= x 0 处可导,则lim

h →0

= .

h

3. 设 y= (1 + sin x ) x + e 5

,则 dy

= .

2 ? 3x

- 5 ? 2 x

4. 不定积分? 3x

dx = .

+∞ x

5. 广义积分 ?0 1 + x 2 dx =

. 6. ?-1

x cos x + x 2

x 2 + 1

dx = . 7. 设 ?0

f (x )dx = 1, 且 f (2) = 1 , f 2

(2) = 0 ，则 ?0 x f " (2x )dx = .

三、计算题（本大题共 6 小题，每题 8 分，共 48 分）

2

- '

1. 求lim( x →∞ x + 3 x + 6

x -1

)

2

1

dy d 2 y 2. 求由方程 x - y + sin y = 0 所确定的隐函数 y=f(x)的一阶和二阶导数 ,

.

2 1 + sin x - e x

3. 求lim .

dx dx 2

x →0 1 - x 2

- 1

4. 求

? 5. 求? tan 2 x sec 4 xdx . dx

2

6. 求 I= ?

e 2x cos xdx

.

四

、

应

用

题

（

6 分

）

曲线小 xy = 4, y = 1, y = 2, x = 0 围成一平面图形,求此平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体 积.

五 、 证 明 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 题 5 分 ， 共 10 分 ）

x

(1) 证明：:当 x>0 时，

1 + x

< ln(1 + x ) < x .

(2) 设函数 f(x)在[－1,1]上连续，在（－1，1）内可导,,且 f(－1)=f(1).证明在（－1，1）内至少存在一点，使 f '

() = 2f () .

(综合题)

一、 选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）

1. B ;

2. C ;

3. A ;

4. B ;

5.D .

二、填空题（本大题共 9 小题，每题 3 分，共 27 分）

3

(2) ) x 1.

- ;

2. 2 f '

(x ) ;

3.

-dx ; 4.

2x - 3 + c ;

2

1

ln 2 - ln 3

5.

; 6.

2

2 +

; 7. 0

.

2

三、计算题（本大题共 6 小题，每题 8 分，共 48 分）

1. 解：原式= lim(1 + x →∞ 1 x + 6

- 3

x -1 ) 2

- 3

=…= e 2

dy 2 d 2 y - 4 sin y

2. 解：

=

，

2 =

3

dx 2 - cos y dx

(2 - cos y )

1

(1 + 3

x ) x

?

3. 解：原式= lim x →0 1 + sin x - e x - 1 x 2

2

=－2 lim x →0 1 + sin x - e x x 2 = lim x →0 e x - cos x x

=…=1 4. 解：原式= ? tan 2 x (1

+ tan 2 x )d tan x =…= 1 tan 3 3 x + 1 tan 5

5

x + c 5. 解：令 6 原式=2 6? x = t , x = t 6 t 2

2 dt =……= 6 x - arctan 6 x ) ) + c

)

1 + t

2

6. 解：I=

?0

e 2x d sin x = e - 2 2 e 2x d cos x =… ........ = e - 2 - 4I 0

I = 1

(e - 2)

5

. 四

、

应 用 题 （ 6 分 ）

4 2

4 2

解： x ( y ) =

y

,V y =

?1 ( y ) dy =… ..... = 8

五、证明题（5+5=10 分）

(1) 证明：略 （2）证明：令 F(x)= e -

x 2

f (x ) ,F(－1)=F(1),由罗尔定理： ?∈ (-1,1) 使

F ' () = [ f ' () - 2f ()]e -2

= 0(e -

2

≠ 0) ,故 f ' () = 2f ()

(

6