第六讲 图形变换

第六讲 图形变换
图形变换是计算机图形学的基础内容。 有二维（三维）图形的平移、旋转、变 比、对称等变换，三维图形的投影透视
变换等。
本讲主要内容
• 图形变换的数学基础 • 二维图形的基本变换、复合（组合）变换； • 三维图形基本变换、复合（组合）变换；
变换的数学基础
• 图形变换是计算机图形学的基本内容之一， 是图形显示过程中必不可少的一个环节，通 过图形变换可以把简单的图形生成复杂的图 形，变换本身也是描述图形的有力工具。
• 行列式
上机编程，实现两个矩阵相乘
变换的数学基础(1/4)
• 矢量
矢量具有方向和大小两个参数，可以表示为一个n元组， 通过坐标系对应n维空间的一个点。例如，二维矢量 (x,y)或三维矢量(x,y,z)可分别用来表示空间中的二维点 或三维点。设有两个矢量U(x,y,z)和V(x,y,x)：
ux
U
最基本的图形变换可以分别用矩阵形式表示为： 平移变换 P′＝P＋Tm Tm＝[Mx My] Mx、My分别为X方
向和Y方向的平移量。
比例变换 P′＝P×Ts
Ts＝Sx0
0 Sy
Sx、Sy分别表示比例因子。
旋转变换 P＇＝P×Tr
cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ
θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转 阶的矩阵A 定义为
(2)矩阵的加法
设 其加法定义为：
为两个阶数相同的矩阵，
数乘矩阵
k乘矩阵A的每一个元素而得到的矩阵叫做k
与A之积，记做kA 或者Ak均可
矩阵的乘法 乘法，如下：
A的列数与B的行数相同时，可对它们做
则C为一个m行p列的矩阵，且
矩阵的乘法满足结合律，即： 矩阵的乘法和加法还满足分配律：
齐次坐标
• 规范化齐次坐标表示就是h＝1的齐次坐 标表示。如何从齐次坐标转换到规范化 齐次坐标？n维向量的齐次坐标：
转换为：
这就完成了到规范化齐次坐标表示的表示。 此时，前面的几项才表示点的实际物理坐标 值。
齐次坐标的优越性
(1).提供了用矩阵运算把二维，三维甚至高 维空间中的一个点集从一个坐标系变换到 另一个坐标系的有效方法。在定义了规范 化齐次坐标系后，图形变换可以表示为图 形点集的规范化齐次坐标矩阵与某一变换 矩阵进行矩阵相乘的形式。
齐次坐标
• 所谓点的齐次坐标系就是 n 维向量由 n+1 维 向量来表示 。n维空间中点的位置向量用非齐 次坐标表示时，具有n个坐标分量（P1,P2,…， Pn），且是唯一的。若用齐次坐标表示时， 此向量又n＋1个坐标分量表示，且表示不唯一， 即是形成了一对n的关系：
例如齐次坐标(8,4,4)、(4,2,2)、(2,1,1)都表示二维点（2,1）。
• 图形变换是指对图形的几何信息经过几何变 换后产生新的图形。图形变换可以看作是坐 标系不动而图形变动，变动后的图形坐标系 中的坐标值发生变化；也可以看作是图形不 动而坐标系发生变化。
图形变换的数学基础
• 矢量运算 • 矩阵运算
特别注意： 矩阵相乘不适合交换律
• 矩阵
• 单位矩阵
• 逆矩阵
• 转置矩阵
u
y
uz
vx
V
v
y
vz
– 矢量和
ux vx
U
V
u y
v
y
uz vz
变换的数学基础(2/4)
– 矢量的数乘
kux
k
•U
k
uy
kuz
– 矢量的点积
U •V uxvx uyvy uzvz • 性质 U •V V •U
U •V 0 U V U •U 0 U 0
变换的数学基础(3/4)
A可逆则称为为非奇异矩阵，否则称A为 奇异矩阵。
由于A 与 B 处于对称的地位,所以A 为非 奇异矩阵时, 其逆B 也非奇异,即是说A与 B 互逆.
矩阵运算的基本性质:
• 1. 加法交换律和结合律 ： • A+B=B+A • (A+B)+C=A+(B+C)
• 2.数乘矩阵的分配律和结合律：
• 3.矩阵乘法结合律与分配律: • 4.一般地,距阵的乘法不适合交换律:
– 矢量的长度
U
U •U
ux2
u
2 y
u
2 z
• 单位矢量 • 矢量的夹角
cos U •V
U •V
– 矢量的叉积
i jk U V ux uy uz =(uyvz-vyuz,uzvx-vzux,uxvy-vxuy)
vx vy vz
叉积的性质：UxV=-VxU A(BxC)=AxB+AxC
变换的数学基础(4/4)
单位矩阵
• 在一矩阵中，其主对角线各元素为1，其 余各元素均为零的矩阵叫作单位矩阵：
对于任一矩阵A，有
转置矩阵
• 把矩阵的行，列互换而得到的n行m列矩 阵叫做A的转置矩阵。
转置矩阵具有一下几条基本性质：
矩阵的逆
• n阶矩阵成为可逆的，若存在另一个n阶 矩阵B，使得AB＝BA=I,此时称B为A的 逆矩阵，记为
• 原因：
(1).当A，B可以相乘时，如果A，B不为方阵， 那么B，A 不能相乘。
(2).即使A，B都是n阶方阵，在一般情况下AB 与BA仍然不相等。例如：
齐次坐标
—用n+1维向量表示n维向量
• 齐次坐标技术是从几何学中发展起来的。齐次坐 标的表示在投影几何中常作为一种证明定理的工 具。有时在n维空间中较难解决的问题，交换到n ＋1空间中就比较容易得到问题的解答。通过将 齐次坐标技术应用到计算机图形学中，图形的变 换可以转换为表示图形的点集矩阵与某一变换兆 进行矩阵相乘这单一问题，因而可以借助计算机 的高速计算功能，很快得到变换后的图形，从而 为高动态的计算机图形显示提供了可能性。
齐次坐标
从形式上来说，用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的 方法称为齐次坐标表示。
例如二维平面上的点(x，y)的齐次坐标表示为(h×x，h×y， h)，h是任一不 为0的比例系数。
给定一个点的齐次坐标表示 : (x，y，h)， 该点的二维笛卡儿直角坐标： (x / h，y / h)。 同样，对于一个三维空间的向量(x，y，z)， 它在四维空间中对应的向量即 齐次坐标为(x×h，y×h，z×h，h)，其中h≠0。
(2).可以表示无穷远点。例如：n＋1维中，h ＝0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无 穷远点。
图形几何变换
• 基本原理：
– 按某种规律，改变图形的形状、大小、位置等
• 方法：
– 坐标系不动，图形变动后坐标值变化； – 坐标系变化后图形在新坐标系中的新值。
图形变换的特点
图形变换就是改变图形的几何关系，即改变图形顶点的坐标， 但图形的拓扑关系不变。