绍兴文理学院数学分析2019--2020年考研初试真题

a
x→+∞
2．若函数 f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处两个偏导数存在，则 f (x, y) 在该点连续.
3．定义在有限区间[a,b] 上的 Riemann 可积函数一定是 Riemann 绝对可积.
∑ ∑ ∞
4．对数项级数 un
n=1
，若 un
≠
0
，
n
∈
N+
，且
lim
n→∞
un+1 un
二、计算题（每小题 11 分，共 8 小题，总计 88 分）
1.
求极限
lim
x→0
1 ln(1 +
x)
−
1 x
.
2. 求曲面 x + y + z = 1的切平面在三个坐标轴上的截距乘积最大值.
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∫ 3. 设两常数 a, b 满足 b > a > 0 ，计算积分 +∞ e−ax − e−bx dx .
0 1+ x2
x，
7.
设
f
(
x)
=
x
+
1，
−π < x < 0 的 Fourier 展开式是 a0
0≤ x≤π
2
+ ∑(an cos nx + bn cos nx) ，则 b2
=
−1.
8. 若二元函数 f (x, y) 的累次极限 lim lim f (x, y) 与 lim lim f (x, y) 都存在且相等，则重极限
二、计算题（每小题 10 分，共 8 小题，总计 80 分）
( ) 1.求极限 lim
x2 − sin2 x
.
x x→0 3 1+ x − 1− x
2.求椭球面 x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 在第一卦限中的切平面与三个坐标平面所围四面
绍兴文理学院 2020 年硕士研究生入学考试初试试题（A 卷）
报考专业： 基础数学、计算数学、应用数学、数学教育
考试科目： 数学分析
科目代码： 651
注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。
一、判断题 （判断下列命题的对与错，对的请打“√”，错的请打“×”。每小题 3 分，共
10 小题，总计 30 分）
1．因为当 x → 0 时，有 sin x :
x, tan x :
x
，所以
lim
x→0
tansx= in−xs3in x
lxi= →m0 xx−3 x
0.
2．若 f (x) 在 (a,b) 上连续有界，则 f (x) 在 (a,b) 上一致连续.
3．若 f (x) 在[a,b] 上有界，则 f (x) 在[a,b] 上可积.
∫∫ 如果 ∀(x0, y0 ),∀r > 0 均有 f (x, y)dxdy = 0 ,则 f (x, y)= 0,∀∈(x, y) ∈ R2 .
Dr
7.
若数列
{xn
}
满足
lim
n→∞
xn
= 0 ， 则lim n n→∞
xn
= 0.
8. 若函数 f (x) 在 (0,+∞) 内可导，且 f '(x) 在 (0,+∞) 内有界，则 f (x) 在 (0,+∞) 内一 致连续.
报考专业：
基础数学
考试科目： 数学分析
科目代码：
651
注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。
一、判断题 （判断下列命题的对与错，对的请给出证明，错的请举出反例说明。 每小题 4 分，共 10 小题，总计 40 分）
+∞
∫ 1．若 f (x)dx 收敛，则 lim f (x) = 0 ，其中 a 是确定的实常数.
4. 函数 f (x)= (x2 − x − 2) ⋅ x3 − x 的不可导点的个数是 2 个.
5．若函数 P(x, y),Q(x, y) 在区域 D 内具有一阶连续偏导数，且 ∂Q = ∂P ，则对 D 内任一光滑 ∂x ∂y
∫ 曲线 L ，曲线积分 Pdx + Qdy 与路径无关. L
∫ 6．含参量非正常积分 +∞ sin xy dx 关于 y ∈ (−∞, +∞) 是绝对收敛但非一致收敛.
∫∫∫ 8. 计算积= 分 I
x2 + y2 dV ，其中 Ω 为=z x2 + y2 与 z = 2 − x2 − y2 所围成的空间区域.
Ω
三、证明题（每小题 16 分，共 2 小题，总计 32 分）
1.若函数 z = f (x, y) 的偏导数在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域上存在，且它的两个偏导数 fx 与 f y 在 (x0 , y0 ) 连续，则函数 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可微.
=l
< 1存在，则
∞
un
n=1
收敛.
5．若当 x → x0 时，函数 f ( x) 与 g ( x) 均为无穷小量，则它们间必可进行阶的比较.
6．若函数 f (x, y) 在 R 2 上连续，记 Dr (x0 , y0 ) = {(x, y) | (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 ≤ r 2} ，
y→ y0 x→x0
x→x0 y→ y0
lim f (x, y) 必存在.
( x, y )→( x0 , y0 )
9. 若函数在 z = f (x, y) 点 (x0, y0 ) 处的两个偏导数存在，则 z = f (x, y) 点 (x0, y0 ) 处连续.
10. 若 (x0, f (x0 )) 是曲线 y = f (x) 的一个拐点，则 y = f (x) 在 x0 点处必可导.
2.设 f ′(x) 在[0,1] 上存在，而且
∫ f (1) = 1 a xe1−x f (x)dx ，
a0
其中 a ∈ (0,1) .求证： ∃ξ ∈ (0,1) ，使得 f ′(ξ=)
1
−
1
ξ
f
(ξ )
.
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绍兴文理学院 2019 年硕士研究生入学考试初试试题（A 卷）
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∞
∞
∑ ∑ 9.
若级数
n=1
(a2n−1
+
a2n
)
收敛，且
lim
n→∞
an
= 0 ，则级数 an 收敛.
n=1
10.
若百度文库数
x
∫ f (x) 在[a,b] 上可积，且 F (x) = a
f (t)dt 在点 x0 (∈(a,b)) 处可导，
则 F′(x0 ) = f (x0 ) .
0
x
∫ 4.计算定积分 π ex sin2xdx . 0
∫∫ 1
5. 计算曲面积分
dS ，其中 Σ 为以原点为中心， a 为半径的上半球面.
Σ x2 + y2 + ( z + a)2
∫ +∞ ln x
6.计算积分 0 1+ x2 dx .
∞
7. 求幂级数 ∑ nxn 的和函数 f (x) . n=1